勾股定理的逆定理直角三角形的判定经典实用

1、勾股定理的逆定理直角三角形的判定x直角三角形的判定勾股定理的逆定理直角三角形的判定按照这种做法真能得到一个按照这种做法真能得到一个直角三角形直角三角形吗？吗？ 古埃及人曾用下面的方法得到直角：古埃及人曾用下面的方法得到直角：用用13个等距的结个等距的结,把一根绳子把一根绳子分成等长的分成等长的12段段,然后以然后以3个结，个结，4个结，个结，5个结的长度为边长，个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是一个角便是直角直角。勾股定理的逆定理直角三角形的判定 下面的三组数分别是一个三下面的三组数分别是一个三角形的三边长角形的三边长a，b，c：（1） 3，4，5

2、；（；（2） 4，6，8；（3） 6，8，10。（1）这三组数都满足）这三组数都满足222cba 吗？吗？（2）它们都是直角三角形吗？）它们都是直角三角形吗？动手画一画动手画一画勾股定理的逆定理直角三角形的判定勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为斜边为c，那么，那么a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2勾股定理勾股定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.且边且边c所对的角为直角所对的角为直角互逆定理a a2 2 + b+ b2 2 = c

3、= c2 2勾股定理的逆定理直角三角形的判定勾股定理的逆命题的证明勾股定理的逆命题的证明如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。的平方和，那么这个三角形是直角三角形。 cabbca已知：在已知：在abc中，中，ab=c bc=a ca=b 且且a2+b2=c2求证：求证： abc是直角三角形是直角三角形证明：证明：画一个画一个abc,使使 c=900,bc=a, ca=bababc勾股定理的逆定理直角三角形的判定已知：在已知：在abc中，中，ab=c，bc=a，ca=b，满足，满足 abbcab1a1b1c证明：

4、作证明：作 111cbabacacb1111,111122211,accacbbcbaba1111222baabcbacba在abc和 111cba111111baabaccacbbcabc )(111ssscbac= 1c1cca222cba 求证：求证：c=90使则有则有中，=90 =90,勾股定理的逆定理直角三角形的判定三角形的三边长三角形的三边长a、b、c满足：满足：a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2那么这个三角形是那么这个三角形是直角三角形直角三角形,且边且边c所对的所对的角为直角角为直角.a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2 直角三角形直角三角形c

5、abbca（1）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系，它是解决直角三角形中有关计算与的数量关系，它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要依据；证明的主要依据；（2）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据形的判定依据勾股定理的逆定理直角三角形的判定例例1 判断由判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：组成的三角形是不是直角三角形：

6、(1) a15 , b 8 , c17例题解析例题解析(2) a13 , b 15 , c14分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条不是直角三角形，只要看两条较小边较小边的平方的平方和是否等于和是否等于最大边最大边的平方。的平方。解：解：1528222564 289, 172289 15282172这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形 。角形这个三角形不是直角三2222221514132251536519616914132 勾股定理的逆定理直角三角形的判定 下面以下面以a,b,c为边长的三角形是不是直为边长的三角形是不是直

7、角三角形？如果是那么哪一个角是直角？角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1) a=25 b=20 c=15 _ _ ;(2) a=13 b=14 c=12 _ _ ;(4) a:b: c=3:4:5 _ _ ;是是是是不是不是 是是 a=900 b=900 c=900(3) a=1 b=2 c= _ _ ;3勾股定理的逆定理直角三角形的判定像像( (3 3，4 4，5 5) )、( (6 6，8 8，1010) )、( (2525，2020，1515) )、 ( (5,12,135,12,13) )等满足等满足a a2 2+b+b2 2=c=c2 2的一组的一组正整数正整数, , 通常称为通

8、常称为勾股数。勾股数。利用勾股数可以构造直角三角形利用勾股数可以构造直角三角形. .n21，2n，n21（n为大于为大于1的正整数）是勾股数吗？的正整数）是勾股数吗？3k、4k、5k（k2为正整数）也是一组勾为正整数）也是一组勾股数吗股数吗勾股定理的逆定理直角三角形的判定13abcdabcd34512例例2 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中件中a和和dbc都应为直角。工人师傅量得这都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求零件符合要求吗？吗？例题解析例题解析勾股定理的逆定理直角三角形的判定

9、 例例 3.在在abc中，中，a=15, b=17, c=8,求求此三角形的面积此三角形的面积。22222217815bca解为直角三角形为直角三角形,且且b=90 abc的面积为的面积为.608152121ca81517abc勾股定理的逆定理直角三角形的判定 已知：如图，四边形已知：如图，四边形abcd中，中，b900，ab3，bc4，cd12，ad13,求四边形求四边形abcd的面积的面积?abcd准备好了吗?s四边形四边形abcd=36中考链接中考链接勾股定理的逆定理直角三角形的判定b) (,2)(22则此三角形是满足条件、三角形三边长abcbacbaa、锐角三角形、锐角三角形 b、直角

10、三角形、直角三角形c、钝角三角形、钝角三角形 d、等边三角形、等边三角形1.练一练练一练勾股定理的逆定理直角三角形的判定3如果如果abc的三边分别为的三边分别为a、b、c且满足且满足 a2b2c2506a8b10c， 判定判定abc的形状的形状. (二二)解答题：解答题： 练练 习习 这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形 勾股定理的逆定理直角三角形的判定3、abc三边三边a,b,c为边向外作正方形，为边向外作正方形，以三边为直径作半圆，若以三边为直径作半圆，若s1+s2=s3成立，成立，则则abc是直角三角形吗？是直角三角形吗？acabcs1s2s3babcabcs1s2s3思维训练思

11、维训练勾股定理的逆定理直角三角形的判定 吗?说明理由abc是直角三角形 n是正整数)，m,n,(m且cb,a, 分别为abc三角形的三边 1、已知 n nm m= =c c2 2m mn n, ,= =b b, ,n n- -m m = =a a2 22 22 22 2分析：分析：先来判断先来判断a,b,c三边哪条最长，三边哪条最长，可以代可以代m,n为满足条件的特殊值来试，为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则则a=9,b=40,c=41,c最大。最大。2222222222)()2()(cnmmnnmba 解：abc是直角三角形是直角三角形练一练练一练勾股定理的逆定理直角三角形的判定1、

12、勾股定理的逆定理、勾股定理的逆定理2、怎样判断一个三角形是否为直角三角形、怎样判断一个三角形是否为直角三角形?3、熟悉常用的勾股数。、熟悉常用的勾股数。勾股定理的逆定理直角三角形的判定七七：师生互动（小结）师生互动（小结）abcabcc如果的三边长为 、 、 其中 为最长边1abc222，若a +b =c 则为：2abc222，若a +b c 则为：3abc222，若a +b c 则为：直角三角形锐角三角形钝角三角形 , ,abca b c一 通过本节课的学习你知道的三边在数量上满足如下关系时分别为什么三角形？二二 满足222a +b =c的三个正整数， 称为勾股数。勾股定理的逆定理直角三角形

13、的判定prqsne 例2 “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行, “远航”号每小时航行16海里, “海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?拓广与应用勾股定理的逆定理直角三角形的判定勾股定理的逆定理直角三角形的判定勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方于斜边的平方.?b?c?a?c?b?a几何语言表述几何语言表述:勾股定理的逆定理直角三角形的判定例例2 2已知某校有一块四边形空地已知某校有一块四边形空地abcd，如图，现计，如图，

14、现计划在该空地上种草皮，经测量划在该空地上种草皮，经测量a90，ab3m，bc12m，cd13m，da4m， 若每平方米草皮需若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？元，问需投入多少元？3.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理直角三角形的判定 设设abc的的3条边长分别是条边长分别是a、b、c，且且an21，b2n，cn21问：问：abc是是直角三角形吗？直角三角形吗？拓展延伸：拓展延伸：3.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理直角三角形的判定若若abc的三边的三边a、b、c满足条件满足条件a2b2c233810a24b26c，试判断，试判断abc的的

15、形状形状. 思考：思考：3.23.2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理直角三角形的判定思考：思考：如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b,ca,b,c满足满足 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 , ,那么这个三角形是不是直角三角形？那么这个三角形是不是直角三角形？勾股定理的逆定理直角三角形的判定定理：定理：如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b,ca,b,c满足满足 a a2 2+b+b2 2=c=c2 2 , ,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. .这个结论是勾股定理的逆定这个结论是勾股定理的逆定理理书写格式：书写格式：aa2 2+b+b2

16、2=c=c2 2 abc abc为为rtrt满足满足a a2 2+b+b2 2=c=c2 2的的三个正整数三个正整数, ,称为称为勾股数勾股数勾股定理的逆定理直角三角形的判定三角形的三边长三角形的三边长a、b、c满足：满足：a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2那么这个三角形是那么这个三角形是直角三角形直角三角形。已知：已知：cabbcaabc中，中，ab=c bc=a ca=b 且且a2+b2=c2求证：求证： abc是直角三角形是直角三角形勾股定理的逆定理直角三角形的判定 7如图，一块四边形地，测得四边长如图所如图，一块四边形地，测得四边长如图所示，且示，且abc90，求这个

17、四边形地的面积。，求这个四边形地的面积。（单位：米）（单位：米）abdc341312 8已知已知3、4、5是一组勾股数，那么是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k2为正整数）也是一组勾为正整数）也是一组勾股数吗股数吗勾股定理的逆定理直角三角形的判定(二二)解答题：解答题： 1已知：am2n2，b2mn，cm2n2 (m、n为正整数，mn). 试判定由a、b、c组成的三角形是不是直 角三角形 不是练练 习习 勾股定理的逆定理直角三角形的判定思考思考1:abc三边三边a,b,c为边向外作正方形，为边向外作正方形，若若s1+s2=s3成立，则成立，则abc是什么三角形？是什么三角形？为什么？为什么？

18、abcabcs1s2s3acb思考思考2:已知已知abc是直角三角形是直角三角形,以以a,b,c为边向外作正方形，为边向外作正方形，有有s1+s2=s3？为什么？为什么？a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2直角三角形直角三角形直角三角直角三角形形a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2勾股定理的逆定理直角三角形的判定7.如图：如图：adcd ， acbc ,ab=13， cd=3 ， ad=4 。求：。求：(1)求求ac长长 (2)求求bc长长8.如图如图, adcd ，ab=13， bc=12 ，cd=3 ， ad=4 。求：。求：(1)求求ac长长 (2)acb

19、的度数。的度数。badc1334badc121334勾股定理与逆定理的勾股定理与逆定理的综合运用综合运用勾股定理的逆定理直角三角形的判定9.如图如图, acbc ，ab=13， bc=12 ，cd=3 ， ad=4 。求：。求：(1)求求ac长长 (2)求求 的面积。的面积。badc121334adc勾股定理的逆定理直角三角形的判定勾股定理的逆命题勾股定理的逆命题 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为斜边为c，那么，那么a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2勾股定理勾股定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形。且边那么这个三角形是直角三角形。且边c年所对的角为直角年所对的角为直角.a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2互逆命题逆定理逆定理定理定理勾股定理的逆定理直角三角形的判定1、一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件、一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中中a和和dbc都应为直角工人师傅量出了这个都应为直角工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗? 此时四边形此时四边形abcd的面积是多少的面积是多少?2、 已知