W2_7洛必达法则

1、1 高等数学 第十六讲2三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式00第七节洛必达法则 第二章 3)()(limxgxf函数之商的极限导数之商的极限 转化00( 或 型)()(limxgxf本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则4若两个函数 xaxxFxf或当,时都趋于零或趋于。那么， xFxflim可能存在，也可能不存在。通常此种极限称为未定式。分别简记为.,00这种极限不能用“商的极限等于极限的商”的法则来计算。此外，还有0,0,100共七种类型。如两个重要极限：00sinlim0 xxx 111limexxx未定式.,00等仅是一个习惯记号，没有运

2、算意义。如：2tanlimxxx)sin11(lim0 xxx都不对！都不对！5一、一、001) lim( )lim( )0 xxxxf xg x0( )3) lim( )xxfxg x存在 (或为 )00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxg xg x02)( )( )(),f xg xx与在内可导( )0 x且g定理定理 1.型未定式型未定式00(洛必达法则洛必达法则) 6( 在 x , 之间)证证:0 x0 x不妨假设00()()0,f xg x在指出的邻域内任取0,xx则( ),( )f xg x在以 x, 为端点的区间上满足柯001) lim( )lim( )0 x

3、xxxf xg x故00( )()( )( )( )()f xf xf xg xg xg x( )( )fg0( )lim( )xxf xg x0( )lim( )xfg0( )lim( )xxfxg x)3定理条件定理条件: 西定理条件,0( )3) lim( )xxfxg x存在 (或为 )02)( )( )(),f xg xx与在内可导( )0g x且0 x7推论推论1. 定理 1 中0 xx换为0,xx0,xx,xx之一,推论推论 2. 若( )lim( )fxg x0,( ),( )0fxg x仍属型 且满足定理1条件, 则( )( )limlim( )( )f xfxg xg x(

4、 )lim( )fxgx条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,x00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxg xg x洛必达法则洛必达法则8例例1. 求.123lim2331xxxxxx解解: 原式 lim1x型00266lim1xxx23注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx9例例2 求00sinlim30 xxxx解解: 原式)()sin(lim30 xxxx203cos1limxxx00006sinlim0 xxx)3()cos1 (lim20 xxx6110例例3. 求.arctanlim12x

5、xx解解: 原式 limx型00221limxxx1211x21x型11例例4. 求.sintanlim20 xxxxx解解: 注意到xsin原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31x型00例例5. 求20n(1)lim.xlxxx型00解解:原式201lim1.1xx0.x 2ln(1) .xxx12二、二、型未定式型未定式001) lim( )lim ( )xxxxf xg x 0( )3) lim( )xxfxg x存在 (或为)0( )lim( )xxf xg x定理定理 2.证略证略: 0( )lim( )xxfxg

6、 x(洛必达法则)02)( )( )(),f xg xx与在内可导( )0g x 且13.3tantanlim2xxx型解解:原式xxxxxcos3cos3sinsinlim2（有时可以化简再计算）xxxcos3coslim2xxxsin3sin3lim23例例1. 求14例例2. 求. )0(lnlimnxxnx解解:型原式11limnxxxnnxxn1lim0例例3. 求求解解:原式0 xnxexn1limxnxexnn22) 1(limxnxen!lim. )0, 0(limnexxnx型15. )0(0lnlimnxxnx例2. 例3. )0, 0(0limnexxnx说明说明:1)

7、例2、3 , 表明x时,lnx后者比前者趋于更快 .而)0(xe, )0( nxn2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 .例如,xxx21lim21limxxxxxx21limxxx21lim11lim2xx1用洛必达法则163) 若,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如, 1、1cos1limxx极限不存在)sin1 (limxxx1xxxxxsintan1sinlim. 220)sec1cos1sin2(lim20 xxxxxtan1sinlim20 xxxxxx1xxxxsinlim17三、其他未定式三、其他未定

8、式:,0 ,00,1型0解决方法解决方法:通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例1. 求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx注：原式xxnxln1lim000解不出！解不出！18型. )tan(seclim2xxx解解: 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例2. 求通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化19例例3 3)ln11(lim1xxxxxxxxxxln) 1(1lnlim1)1(1ln)1(1lnlim1xxx

9、xxx)(21) 1(1lnlimxxxxx21) 1(2lnlim1xxxxx21lim120解解:203cos1limxxx30 limxx例例4.xxxx1sin1cotlim0原式xxsin222103limxxxxcos1221x61xxxxxxtansinsinlim021例例5. 求.lim0 xxx型00通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化解解: xxx0limxxxeln0lim0e1xxxe1ln0lim2110limxxxexxe0lim注：利用等价无穷小xxxsin0limxxx0lim22例例6 求nnnlim解：解： 根据数列极限和函数极限的关系，

10、取 xxxf1xxx1lim1xxxeln1limxxxelnlimxxe1lim10 e当x取正整数时，即有且nn,nnnlimnnn1lim23例例7 求下列极限0lim. 1111xxxx)1 (解：解： 原式xxxeln111limxxxe1lnlim100 xxe1lim11exxx22tanlim. 20)(0解：解： 原式xxxetanln)2(20limxxxe21tanlnlim02xxxecos)2(lim20200 xxxesin)2(2lim0210e24xxxtan01lim. 4)(0)0(0 xxxln1arctan2lim. 3解：解：原式)arctan2ln(ln1limxxxexxxeln)arctan2ln(lim)arctan2(111lim2xxxxe10exxxtan0解：解： 原式xxxeln0limxxxe1lnlim0 xxe0lim10e注：注： 未定式只有化为.,00才能应用罗必塔法则！25思考与练习思考与练习)1ln()cos1 (cossin3lim120 xxxxxx原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(xx)03(2123解解:2)cos1 (lim0 xx26内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令取