数理方程课件：第2章2_6固有值和固有函数

1、1内容小结内容小结1.1.对对一维波动方程一维波动方程和和热传导方程热传导方程的定解问题而言：的定解问题而言：当当方程和边界条件均为齐次方程和边界条件均为齐次时，时，不管初值条件不管初值条件如何，可直接应用如何，可直接应用分离变量法分离变量法求解；求解；当当边界条件为齐次边界条件为齐次、方程与初始条件为非齐次方程与初始条件为非齐次时，原定解问题分解成两个，时，原定解问题分解成两个，其一是其一是方程为齐次方程为齐次的并具有的并具有原初始条件原初始条件的定解的定解问题，这个问题应用问题，这个问题应用分离变量法分离变量法求解；求解；其二是其二是方程为非齐次方程为非齐次的并具有的并具有齐次初始条件齐次

2、初始条件的的定解问题，该问题应用定解问题，该问题应用固有函数法固有函数法求解；求解；2内容小结内容小结1.1.对对一维波动方程一维波动方程和和热传导方程热传导方程的定解问题而言：的定解问题而言：当当边界条件为非齐次边界条件为非齐次时，时，则必须则必须引进辅助函数引进辅助函数把把边界条件化为齐次边界条件化为齐次的，的， 然后再按照以前的方法然后再按照以前的方法求解。求解。分离变量法、分离变量法、固有函数法、固有函数法、作辅助函数法作辅助函数法方程和边界方程和边界条件齐次条件齐次方程非齐次，方程非齐次，定解条件齐定解条件齐次次边界条件非齐次边界条件非齐次32.2.对于对于二维拉普拉斯方程二维拉普拉

3、斯方程的边值问题而言：的边值问题而言：应根据求解区域的形状应根据求解区域的形状适当的选取坐标系适当的选取坐标系，使得，使得在此坐标系中边界条件的表达式最为简单，便于在此坐标系中边界条件的表达式最为简单，便于求解。求解。内容小结内容小结;0,0byax yax0,0 对对圆域、圆环域、扇形域圆域、圆环域、扇形域等采用等采用极坐标极坐标例如，例如，对于像对于像矩形矩形带形带形一类的区域采用一类的区域采用直角坐标系直角坐标系应当指出，只有当应当指出，只有当求解区域很规则求解区域很规则时，才可以应时，才可以应用分离变量法用分离变量法求解拉普拉斯方程的边值问题。求解拉普拉斯方程的边值问题。43.3.对于

4、对于二维泊松方程二维泊松方程的边值问题而言：的边值问题而言：内容小结内容小结),(112rFurururrr),0(0rr ).(|0furr(P)(P),(rw),(),(),(rwrvru, 0112vrvrvrrr),0(0rr ).,()(|00rwfvrr(Q)(Q)思路思路1 1 (1)(1)找出此找出此泊松方程泊松方程的一个的一个特解特解令令(2)(2)将泊松方程化成将泊松方程化成拉普拉斯方程拉普拉斯方程可用可用分离变量法分离变量法或或试探法试探法求解问题求解问题(Q)(Q)53.3.对于对于二维泊松方程二维泊松方程的边值问题而言：的边值问题而言：内容小结内容小结),(112rF

5、urururrr),0(0rr ).(|0furr(P)(P),(),(),(rwrvru),(112rFvrvrvrrr),0(0rr . 0|0rrv(P1)(P1)思路思路2 2 将问题将问题(P)(P)的解看成两部分，的解看成两部分，令令),(rv),(rw和和分别满足分别满足63.3.对于对于二维泊松方程二维泊松方程的边值问题而言：的边值问题而言：内容小结内容小结),(112rFurururrr),0(0rr ).(|0furr(P)(P),(112rFvrvrvrrr),0(0rr . 0|0rrv(P1)(P1), 0112wrwrwrrr),0(0rr ).(|0fwrr(P2

6、)(P2)和和固有函数法分离变量法(或试探法)72.6 2.6 固有值与固有函数固有值与固有函数. 0)()0(, 0)()( lXXxXxX 本章的前三节，我们应用分离变量法求解弦振本章的前三节，我们应用分离变量法求解弦振动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程的动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程的有关定解问题时，都需要解决一个含参变量有关定解问题时，都需要解决一个含参变量的的也属于也属于施图姆施图姆- -刘维尔问题刘维尔问题常微分方程的边值问题，常微分方程的边值问题，这样的问题称为这样的问题称为固有值问题固有值问题。8施图姆施图姆- -刘维尔方程的一般形式刘维尔方程的一般形式0)()

7、()(yxyxqdxdyxpdxd ,)()(baCxpxp);(0)(bxaxp (95)(95) ,)(baCxq ),()(baCxq; 0)(xq ,)(baCx . 0)(x其中其中 1.1.2.2.或者或者而在而在区间端点处至多有一阶极点，且区间端点处至多有一阶极点，且3.3.方程方程(95)(95)加上边界条件就称为加上边界条件就称为施图姆施图姆- -刘维尔问题刘维尔问题那些使那些使施施- -刘问题刘问题存在存在非非0 0解解的的值，值，称为该问题称为该问题的的固有值固有值，而相应于给定的固有值的，而相应于给定的固有值的非非0 0解解，称为，称为固有函数固有函数。9关于固有值和固

8、有函数的几点结论：关于固有值和固有函数的几点结论：(1)(1) 存在无穷多个实的固有值：存在无穷多个实的固有值：,21n0)(xq);, 3, 2, 1(0 nn.),(,),(),(21 xyxyxynn),(xyn)(xyn)(x0)()()(dxxyxyxnmba).(nm 当当时，时，对应于这些固有值对应于这些固有值有无穷多个固有函数：有无穷多个固有函数：(2)(2) 如果把对应于固有值如果把对应于固有值的固有函数记为的固有函数记为那么所有那么所有组成一个带权函数组成一个带权函数的的正交函数正交函数系系，即，即(96)(96)0)(222 FnrFrFr例如例如0)(222 FnrFr

9、Fr例如例如0)(222 FnrFrFr例如例如0)(222 FnrFrFr10)(xf),(ba1),()(nnnxycxfbanbanndxxyxdxxyxfxc)()()()()(2);, 3, 2, 1( n(3)(3) 类似于傅里叶级数，按类似于傅里叶级数，按固有函数系展开固有函数系展开有下有下面的面的收敛性收敛性：若函数若函数在在内有一阶连续导数及分段内有一阶连续导数及分段连续的二阶导数，并且满足所给的边界条件，连续的二阶导数，并且满足所给的边界条件，)(xf),(ba则则在在内可以按固有函数展开为内可以按固有函数展开为绝对且绝对且一致收敛一致收敛的级数：的级数：其中其中(97)(

10、97)11)(xf),(ba)(xf 0 x,)0()0(2100 xfxf),(xf),(ba若函数若函数在在(3)(3) 类似于傅里叶级数，按类似于傅里叶级数，按固有函数系展开固有函数系展开有下有下面的面的收敛性收敛性：内是分段连续函数，内是分段连续函数，则级数则级数(97)(97)在在的间断点的间断点处收敛于处收敛于且在且在上失去一致收敛性。上失去一致收敛性。1),()(nnnxycxf(97)(97)12练习练习习题二的第习题二的第1313题、第题、第1515题题13.13. 用分离变量法写出下列定解问题：用分离变量法写出下列定解问题： )()0 ,(, 0|, 0| )(),0,0(

11、02xxuuuutlxuaulxxxxxxt0的固有值问题；并写出的固有值问题；并写出(1)(1)边界条件中的边界条件中的(2)(2)边界条件中的边界条件中的时的固有值及固有函数；时的固有值及固有函数；时的固有值及固有函数；时的固有值及固有函数；1313.13. 下列定解问题：下列定解问题： )()0 ,(, 0|, 0| )(),0,0(02xxuuuutlxuaulxxxxxxt的固有值问题为的固有值问题为 . 0|, 0| )(, 0)()(0lxxXXXxXxX 0 000.|),()(,)()(lxXXXxXxX140(1)(1)边界条件中的边界条件中的时固有值问题简化为时固有值问题

12、简化为, 0)()( xXxX. 0|, 0|0lxxXX ,)(2lnn)., 2, 1, 0(cos)( nlxnxXn此时对应的固有值和固有函数为此时对应的固有值和固有函数为 0 000.|),()(,)()(lxXXXxXxX15(2)(2)边界条件中的边界条件中的时固有值问题简化为时固有值问题简化为, 0)()( xXxX. 0|, 0|0lxxXX ,)2) 12(2lnn)., 2, 1(2) 12(sin)( nlxnxXn此时对应的固有值和固有函数为此时对应的固有值和固有函数为 0 000.|),()(,)()(lxXXXxXxX1615.15. 试证问题试证问题 0)()

13、1 ()1 (, 02eyyexyyxyx)(xyn, 1 e固有函数系固有函数系x1在在上带权函数上带权函数正交。正交。tex xtln,11)1(1)1(222ttttttxxyxyxxyxxyy0yyyytttt0 yytt解解作变换作变换则有则有,1xyytx代入原方程有代入原方程有(1)(1)首先求出固有函数系首先求出固有函数系)(xyn的具体表达式的具体表达式齐次欧拉方程齐次欧拉方程17),lnsin()(xnBxynnxtln. 0) 1 ()0( yy将将代入即得代入即得), 2, 1( n0 yytt,)(2nn)., 2, 1(sin)( ntnBtynn15.15. 试证

14、问题试证问题 0)() 1 ()1 (, 02eyyexyyxyx)(xyn, 1 e固有函数系固有函数系x1在在上带权函数上带权函数正交。正交。齐次欧拉方程齐次欧拉方程解解 )lnsin()(xnxyn则原问题的固有函数系则原问题的固有函数系为为), 2, 1( n1815.15. 试证问题试证问题 0)() 1 ()1 (, 02eyyexyyxyx)(xyn, 1 e固有函数系固有函数系x1在在上带权函数上带权函数正交。正交。解解(2)(2)现在验证固有函数系现在验证固有函数系)(xyn的函数正交性的函数正交性齐次欧拉方程齐次欧拉方程dxxyxyxmne)()(1110)()(dttyt

15、ymn10sinsintdtmtn, nm ,21, 0. nm tex 作变换作变换19思考思考 试证问题试证问题 0)() 1 ()1 (, 032eyyexyyxyx)(xyn, 1 e固有函数系固有函数系x在在上带权函数上带权函数正交。正交。tex xtln,11)1(1)1(222ttttttxxyxyxxyxxyy03yyyytttt02yyyttt解解作变换作变换则有则有,1xyytx代入原方程有代入原方程有(1)(1)首先求出固有函数系首先求出固有函数系)(xyn的具体表达式的具体表达式20思考思考 试证问题试证问题 0)() 1 ()1 (, 032eyyexyyxyx)(x

16、yn, 1 e固有函数系固有函数系x在在上带权函数上带权函数正交。正交。),lnsin(1)(xnxBxynnxtln. 0) 1 ()0( yy将将代入即得代入即得), 2, 1( n02yyyttt, 1)(2nn)., 2, 1(sin)( ntneBtytnn解解)lnsin(1)(xnxxyn则原问题的固有函数系则原问题的固有函数系为为), 2, 1( n21思考思考 试证问题试证问题 0)() 1 ()1 (, 032eyyexyyxyx)(xyn, 1 e固有函数系固有函数系x在在上带权函数上带权函数正交。正交。解解(2)(2)现在验证固有函数系现在验证固有函数系)(xyn的函数

17、正交性的函数正交性dxxyxyxmne)()(1102)()(dttytyemnt10sinsintdtmtn, nm ,21, 0. nm tex 作变换作变换22第三章第三章 行波法与积分变换法行波法与积分变换法本章我们将介绍另外两个求解定解问题的方法，本章我们将介绍另外两个求解定解问题的方法，一是一是行波法行波法( (或或达朗贝尔解法达朗贝尔解法) )，二是，二是积分变换法积分变换法。行波法行波法只能用于求解只能用于求解无界区域内波动方程无界区域内波动方程的定的定解问题。解问题。 虽有很大的局限性，但对于波动问题有其虽有很大的局限性，但对于波动问题有其特殊的优点，所以该法是数理方程的基本

18、解法之一。特殊的优点，所以该法是数理方程的基本解法之一。积分变换法积分变换法不受方程类型的限制，不受方程类型的限制，主要用于无主要用于无界区域界区域，但对于有界区域也能应用。，但对于有界区域也能应用。23)()()()()()()(xuxufxvxvfdttfdxdxvxu)()(,)()(,),()()(xxxfxxxfdyyxfdxdxxdyyxfxxx)()(),(两个求导公式两个求导公式1 1 关于关于一元函数一元函数含参变量积分含参变量积分的求导公式的求导公式2 2 关于关于二元函数二元函数含参变量积分含参变量积分的求导公式的求导公式243.1 3.1 达朗贝尔公式达朗贝尔公式. .

19、波的传播波的传播3.1.1 3.1.1 弦振动方程的达朗贝尔解法弦振动方程的达朗贝尔解法如果我们所考察的如果我们所考察的弦线长度很长弦线长度很长， 而我们需要而我们需要知道的又只是在较短时间且知道的又只是在较短时间且离开边界较远的一段离开边界较远的一段范围范围内的振动情况，内的振动情况，那么那么边界条件的影响边界条件的影响就可以就可以忽略忽略。不妨把所考察弦线的不妨把所考察弦线的长度视为无限长度视为无限，而需，而需要知道的只是要知道的只是有限范围内有限范围内的振动情况。的振动情况。此时，定解问题归结为如下形式：此时，定解问题归结为如下形式：),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0

20、,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2)25),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2)对于上述初值问题，由于微分方程及定解条件对于上述初值问题，由于微分方程及定解条件都是线性的，所以都是线性的，所以叠加原理叠加原理同样成立。同样成立。),(1txu),(2txu),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6),(),(21txutxuu即如果即如

21、果和和分别是下述初值问题分别是下述初值问题和和的解，的解， 则则是原问题是原问题(1)(2)(1)(2)的解。的解。26),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6),(txf)(),(xx这表示：由这表示：由所代表的外力因素和由所代表的外力因素和由所表示的初始振动状态对整个振动过程所产生的综所表示的初始振动状态对整个振动过

22、程所产生的综合影响，合影响，可以分解为单独可以分解为单独只考虑外力因素只考虑外力因素和和只考虑只考虑初始振动状态初始振动状态是对振动过程所产生影响的叠加。是对振动过程所产生影响的叠加。27,atx ,atx ,2x.2at),(uu autxu2,2),().,(uuxt),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)首先我们考察问题首先我们考察问题(3)(4)(3)(4). .通过通过自变量变换自变量变换求解。求解。为此，令为此，令(7)(7)其逆变换为其逆变换为(8)(8)用用记新的未知函数，则记新的未知函数，则28,atx ,atx

23、),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)(7)(7)uxtxxxuuu,uu )(xxuu)(xxxxuuu).2(2uuuautt,2uuu利用复合函数微分法则，得到利用复合函数微分法则，得到同理可得同理可得(9)(9)(10)(10)将将(9)(10)(9)(10)代入方程代入方程(3)(3)化简即得化简即得29,atx ,atx ),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)(7)(7)将将(9)(10)(9)(10)代入方程代入方程(3)(3)化简即得化简即得. 0u)

24、,()(),(gfugf ,(11)(11)方程方程(11)(11)可以通过可以通过积分法积分法直接求解。直接求解。 先关于先关于积分一次，积分一次，积分一次，便可得到方程积分一次，便可得到方程(11)(11)再关于再关于的的通解通解为为(12)(12)其中其中都是具有二阶连续导数的任意函数。都是具有二阶连续导数的任意函数。再将自变量变换再将自变量变换(7)(7)代入代入(12)(12)则可得则可得30., gf ),()()(xxgxf),()()(xxgaxf a0 xc,)()()(0 xxdcxgxfa),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)

25、(3)(4)(4)方程方程(3)(3)的的通解通解可表示为可表示为).()(),(atxgatxftxu(13)(13)下面，我们利用下面，我们利用初始条件初始条件(4)(4)来确定通解来确定通解(13)(13)中中的任意函数的任意函数将将(4)(4)代入代入(13)(13)得得(14)(14)(15)(15)再将再将(15)(15)式两边积分得式两边积分得(16)(16)其中其中是任意一点，而是任意一点，而是积分常数。是积分常数。31),()()(xxgxf,)()()(0 xxdcxgxfa),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4

26、)方程方程(3)(3)的的通解通解可表示为可表示为).()(),(atxgatxftxu(13)(13)(14)(14)(16)(16),2)(21)(21)(0acdaxxfxx.2)(21)(21)(0acdaxxgxx由由(14)(14)和和(16)(16)变形得变形得(17)(17)把把(17)(17)代入通解式代入通解式(13)(13)得初值问题得初值问题(3)(4)(3)(4)的解的解322)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)方程方程(3)(3)的的通解通解可

27、表示为可表示为).()(),(atxgatxftxu(13)(13),2)(21)(21)(0acdaxxfxx.2)(21)(21)(0acdaxxgxx(17)(17)这种求解方法称为这种求解方法称为达朗贝尔解法达朗贝尔解法。(18)(18)这个公式称为这个公式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式无限长弦自由振动的达朗贝尔公式，或称或称达朗贝尔解达朗贝尔解。33),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4),0,(),(2tx

28、txfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)为了求解问题为了求解问题(5)(6)(5)(6)，我们利用，我们利用齐次化原理齐次化原理，把把非齐次方程非齐次方程的求解问题的求解问题化为化为相应的相应的齐次方程齐次方程的情况来处理，的情况来处理，从而可以直接利用前面有关齐从而可以直接利用前面有关齐次方程的结果。次方程的结果。34),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)3.1.4 3.1.4 齐次化原理齐次化原理齐次化原理齐次化原理);,(txw),(2twawxxtt ),(|, 0|xf

29、wwttt tdtxwtxu0);,(),(若若是初值问题是初值问题(21)(21)的解的解( (其中其中 为参数为参数),), 则则(22)(22)就是初值问题就是初值问题(5)(6)(5)(6)的解。的解。35),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6),(2twawxxtt ),(|, 0|xfwwttt tdtxwtxu0);,(),(21)(21)(22)(22),tt),;,();,();,(txwtxwtxw),0(2 twawxxt t ).,(|, 0|00 xfwwttt (23)(23)令令并记并记则问题则问

30、题(21)(21)可化为如下形式：可化为如下形式：362)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)(18)t axt axdfatxw.),(21);,(tdtxwtxu0);,(),(22)(22),tt),;,();,();,(txwtxwtxw),0(2 twawxxt t ).,(|, 0|00 xfwwttt (23)(23)令令并记并记则问题则问题(21)(21)可化为如下形式：可化为如下形式：由由达朗贝尔公式达朗贝尔公式(18)(18)知问题知问题(23)(23)的解为的解为37)()(.),(21);,(taxtaxdfatxw ttaxtaxddfat

31、xu0)()(.),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)tdtxwtxu0);,(),(22)(22)t axt axdfatxw.),(21);,(,tt由由将变量还原得将变量还原得(24)(24)再将再将(24)(24)代入公式代入公式(22)(22)即得初值问题即得初值问题(5)(6)(5)(6)的解的解(25)(25)38dyyxfdxdxx)()(),()( )(,xxxf)( )(,xxxfdyyxfxxx)()(),( ttaxtaxddfatxu0)()(),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)(25)(25)事实上，由事实上，由(25)(25)确定的函数确是问题确定的函数确是问题(5)(6)(5)(6)的解的解二元函数含参变量积分的求导公式二元函数含参变量积分的求导公式: :39ftudtfattaxttax)()(),(21dtaxft021),(dtaxft021),(,),(),(210dtaxftaxft ttaxtaxddfatxu0)()(),(21),(