信号与系统：第17讲 拉普拉斯变换

1、第第9 9章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 9.1-9.1-9.39.3拉普拉斯变换；拉普拉斯变换； 拉普拉斯变换收敛域；拉普拉斯变换收敛域； 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2021-11-1信号与系统第17讲2n采样概念采样概念n连续信号到离散序列的转换连续信号到离散序列的转换n采样定理采样定理n采样的频率大于信号的最高频率两倍采样的频率大于信号的最高频率两倍n连续信号的恢复连续信号的恢复n零阶插值、一阶插值、带限内插零阶插值、一阶插值、带限内插n欠采样欠采样n混叠现象，相位倒置，取样示波器混叠现象，相位倒置，取样示波器n连续时间信号的离散处理连续时间信号的离散处理n离散序列消除了采样间隔的量纲

2、，是对以连续方式表达的采样信号离散序列消除了采样间隔的量纲，是对以连续方式表达的采样信号的归一化处理的归一化处理n离散时间序列的采样离散时间序列的采样n整数倍的采样，序列的抽取整数倍的采样，序列的抽取-减采样，序列的扩充减采样，序列的扩充-增采样增采样2021-11-1信号与系统第17讲3n傅里叶变换对连续时间信号的分析傅里叶变换对连续时间信号的分析n将信号表示为复指数信号的线性组合将信号表示为复指数信号的线性组合n如果如果s不是纯虚数，是普通复数，傅里叶变换可行吗？不是纯虚数，是普通复数，傅里叶变换可行吗？n在傅里叶变换中，对信号有个绝对可积的要求在傅里叶变换中，对信号有个绝对可积的要求n不

3、满足绝对可积条件的信号要想利用傅里叶变换怎么办？不满足绝对可积条件的信号要想利用傅里叶变换怎么办？n傅里叶变换对系统的频率响应有很便捷的分析傅里叶变换对系统的频率响应有很便捷的分析n但是都是限于稳定系统的分析，非稳定系统的频率响应怎么办？但是都是限于稳定系统的分析，非稳定系统的频率响应怎么办？n如果能分析非稳定系统，那么能不能分析系统的稳定性如果能分析非稳定系统，那么能不能分析系统的稳定性n拉普拉斯变换将面对上述问题进行讨论拉普拉斯变换将面对上述问题进行讨论n对不满足绝对可积信号的变换对不满足绝对可积信号的变换n对非稳定系统的频域分析对非稳定系统的频域分析n对系统稳定性的分析对系统稳定性的分析

4、n更简便的运算更简便的运算,ste sj2021-11-1信号与系统第17讲4n拉普拉斯变换的引入拉普拉斯变换的引入( )LTI( )( ), ( )( )stststh tey tH s eH sh t edt一个单位冲激响应为的系统，对的响应其中：,()( )( ), ( )( )( )j tstsjH jh t edth tsjH sh t edth t为纯虚数的时候，为的傅里叶变换为一般复数时，称为的拉普拉斯变换( ) ( )( )stx tX sx t edt定义信号的拉普拉斯变换为:( )( ) ( )( )x tX sx tX s拉普拉斯变换的标注： =或者 LL( )( )sj

5、X sx t傅里叶变换与拉普拉斯变换： = F()()( )()( )( )j tjttj tX jx t edtjjXjx t edtx t eedt对傅里叶变换：，用替换拉普拉斯变换可拉普拉斯变换可看成信号与指数看成信号与指数函数相乘后再进函数相乘后再进行的傅里叶变换行的傅里叶变换拉普拉斯变换表达式拉普拉斯变换表达式2021-11-1信号与系统第17讲5n拉普拉斯变换举例拉普拉斯变换举例01( )( ),0()atatj tx teu taX jeedtaj有信号 其傅里叶变换在时收敛：=()00atsta s teedtedt信号的拉普拉斯变换：()0()()atj tatXjeedte

6、如果用傅里叶变换表示：可以看成为信号的傅里叶变换1() 0()Xjaaj，1( ) 1( ) atX ssasaeu tsasa 用拉普拉斯变换表示：，标注为：，R eLR e0,( )1( ) 0au tu tss得单位阶跃函数的拉普拉斯变换为：，LR e 0,( )00 sasaaX sasa 拉普拉斯变换并非对任何函数都收敛收敛，不收敛若在等同傅里叶变换傅里叶变换不存在，但只要，拉普拉斯变换存在R eR eR e2021-11-1信号与系统第17讲6n拉普拉斯变换收敛域拉普拉斯变换收敛域( )()atx teut 考虑信号 ，求其拉普拉斯变换00()1( ), 0 atsta s tX

7、seedtedtassaas 或 R eR e1() ateutsasa 标注为：-，LR e1( )-(- )( ) ( ) atatatateu teu tsaeu tsaeu tsa 不同的时域函数和，有相同的拉普拉斯变换但收敛域不同，对应而对应R eR esROC确定拉普拉斯变换应包含两方面：代数表达式和收敛域收敛域（）：拉普拉斯变换积分收敛的 取值范围R eImS平面aR eImS平面a( )ateu t收敛域()ateut收敛域2021-11-1信号与系统第17讲7n拉普拉斯变换收敛域举例拉普拉斯变换收敛域举例（实指数函数之和的拉普拉斯变换）（实指数函数之和的拉普拉斯变换）2( )

8、3( )2( )ttx teu te u t考虑信号 ，求其拉普拉斯变换20200( )32323221ttsttsttstX seeedteedte edtss21( ) 221( ) 11tteu tsse u tss 对于，收敛域对于，收敛域R eR eLLR eImS平面1 1s 能保证两项都收敛的应该是它们的公共收敛域：R e2213( )2( ) 122ttseu te u tsss 综合得到：，R eL2021-11-1信号与系统第17讲8n拉普拉斯变换收敛域举例拉普拉斯变换收敛域举例（实指数和复指数之和的拉普拉斯变换）（实指数和复指数之和的拉普拉斯变换）2( )( )(cos3

9、 ) ( )ttx teu tet u t考虑信号 ，求其拉普拉斯变换2(1 3 )(1 3 )00011( )322tstj tstj tstX seedteedteedt(1 3 )(1 3 )1( ) 11 31( ) 11 3j tj teu tsjseu tsjs ，R eR eLLR eImS平面111111( ) 1221 321 3X sssjsjs 综合得到：，R e2(1 3 )(1 3 )( )(1/2)(1/2)( )tj tj tx teeeu t由欧拉公式得到：21( ) 22teu tss ，R eL2222512( )(cos3 ) ( ) 1(2)(210)t

10、tsseu tet u tssss ，R eL2021-11-1信号与系统第17讲9n拉普拉斯变换的零极点图拉普拉斯变换的零极点图n一个有理的拉普拉斯变换式，可表示为复变量一个有理的拉普拉斯变换式，可表示为复变量s的两个多项式之比的两个多项式之比n数学上保证，只要数学上保证，只要x(t)是实函数或复指数函数线性组合，是实函数或复指数函数线性组合，X(s)为有理的为有理的n一个多项式一个多项式N(s)或或D(s)，如果由其根来表示，只相差一个常数，如果由其根来表示，只相差一个常数nN(s)的根使得的根使得X(s)等于等于0，称为，称为X(s)的零点，作图用的零点，作图用O表示表示nD(s)的根使

11、得的根使得X(s)无穷大，称为无穷大，称为X(s)的极点，作图用的极点，作图用X表示表示n用用X(s)的极点和零点来表示的极点和零点来表示X(s)，只相差一个常数，只相差一个常数nx(t)的拉普拉斯变换用的拉普拉斯变换用X(s)的极点和零点以及的极点和零点以及ROC表示，只差一个常数表示，只差一个常数222( )(cos3 ) ( )2512 1(2)(210)tteu tet u tssssss ，R eL( )( )( )N sX sD s2232( )1 122tteeu tssss ，R eLR eI mS平 面121R eI mS平 面1212021-11-1信号与系统第17讲10n

12、无限远点的零极点无限远点的零极点( )( )( )( )( )( )( )N sX sD sN sD ssX sX s对于：如果的阶数高于，当，。在无穷远点有极点( )( )( )0( )D sN ssX sX s 如果的阶数高于，当，。在无穷远点有零点( )( )( )( )( )( )D sN s kX skN sD s kX sk若的阶数高于阶，在无穷远点有 阶零点若的阶数高于阶，在无穷远点有 阶极点222( )(cos3 ) ( )2512 1(2)(210)tteu tet u tssssss ，R eL( )X s 在无穷远点有1阶零点2232( )1 122tteeu tssss

13、 ，R eL( )X s 在无穷远点有1阶零点2021-11-1信号与系统第17讲11n拉普拉斯变换零极点分析举例拉普拉斯变换零极点分析举例241( )( )( )( )33ttx tte u te u t考虑信号 ，求其拉普拉斯变换20041( )( )33sttsttstX st edte edte edt21( ) 111( ) 22tte u tsse u tss ，R eR eLL4111( )1 2313 2X ssss 综合得到：，R e( )1 ts ，R eL2241(1)( )( )( ) 233(2)(1)ttste u te u tsss，R eLR eI mS平 面1

14、21,0( )sjsjX s拉普拉斯变换为傅里叶变换，即，不收敛傅里叶变换不存在2021-11-1信号与系统第17讲121( )X sROCsj性质：的在 平面内由平行于轴的带状区域所组成( )X sROC说明：在极点处为 不收敛，显然极点不在中ROC性质2：对有理拉普拉斯变换来说，内不包括任何极点( )( )( ),ttX sx t ex t eROCjROCj说明：源于对做傅里叶变换，绝对可积，则傅里叶变换存在，而绝对可积的 区域为拉普拉斯变换。s=所以为平行轴的带状区( )x tROC性质3：如果为有限持续期，并且绝对可积，那么就是整个平面21211,2( ) ( )( )( )TTtT

15、tTx tx t dtT Tex t edtx tROCs 说明：绝对积分则：而在区间，无论 取什么值，都是有界的所以积分 ， 而的也就是整个 平面( ),0,( )0),atx tetTtx t 为其他值求其拉普拉斯变换()01( )1Tatstsa TX seedtesa()()()1/s a Tsas a TsaXadedsd sadsTeTsa 是否为极点？2021-11-1信号与系统第17讲1300( ) ROC ROCx tsss性质4：如果是右边信号，而如果这条线在内，那么，的所有 值都在内。R eR e01010111101,010( )Re ,( )( )Re tTttttT

16、TTROCx t edtTseex t edtx t edtssROC 说明： 右边信号从 到无穷大，如果在内，则积分 ， 在区间，对所有的 ，有： 所以 。 的 在内00( ) ROC ROCx tsss性质5：如果是左边信号，而如果这条线在内，那么，的所有 值都在内。R eR e20012201202010( ),Re ,( )( )Re TtttTTttTROCx t edtTseex t edtx t edtssROC 说明： 左边信号从负无穷大到 ，如果在内，则积分 ， 在区间(，对所有的，有： 所以 。 的 在内T1如果小于0，怎样解释？2021-11-1信号与系统第17讲14(

17、),00btx tebhb和如图所示，求拉普拉斯变换006( ) x tsROCROCss性质 ：如果是双边信号，而如果这条线在内，那么，就一定是由 平面的一条带状区域组成，直线位于带中R eR eR eImS平面rR eImS平面lR eImS平面rl( )( )()1( ) 1() btbtbtbtx teu te uteu tsbbse utsbbs ，LLR eR e0ROC 0ROCbbsbb若，左右边信号存在公共区间，若，左右边信号没有公共区间，信号不收敛 R e22112( )() btbtbeu te utbsbbsbssb+=，LR eR eImS平面bb0T说明： 双边信号

18、可以看成从 处分开的左边信号和右边信号之和。ROCr右边信号在右半平面，收敛边界为,ROCl左边信号在左半平面，收敛边界为,ROC,ROClrrl双边信号是左边信号和右边信号的公共ROC若则信号收敛，为,2021-11-1信号与系统第17讲157( )( )( )x tX sROCROCX s性质 ：如果的拉普拉斯变换是有理的，那么它的是被极点所界定或延伸到无限远。另外，在内，不包含的任何极点。8( )( )x tX s性质 ：如果的拉普拉斯变换是有理的，若x(t)是右边信号，则ROC在s平面上位于最右边极点的右边；若x(t)是左边信号，则ROC在s平面上位于最左边极点的左边。1( )(1)(

19、2)X sss有拉普拉斯变换表达式，通过定义收敛域，该表达式代表几种信号？哪些信号存在傅里叶变换？R eImS平面2 1 R eImS平面2 1 R eImS平面2 1 包含虚轴，包含虚轴，存在傅里叶变换存在傅里叶变换2021-11-1信号与系统第17讲16n反变换定义反变换定义n根据傅里叶变换和拉普拉斯变换之间的关系根据傅里叶变换和拉普拉斯变换之间的关系()( )()( )( )1( )()2jttj ttj tX sXjx t edtx t eedtx t eXjed()11( )()()221 ( )( )2tj tjtjstjx tXje edXjedsjx tX s e dsj 变量

20、替换：有： 这是一个复变函数的积分问题，通过引入辅助线转化为围线积分，可以用留数计算的方法来简化计算。对于X(s)为有理代数式情况，可以用部分分式法求解2021-11-1信号与系统第17讲171( )miiiAX ssan部分分式求解部分分式求解n对于对于X(s)为有理式，假设分母多项式的阶数高于分子多项式的阶数为有理式，假设分母多项式的阶数高于分子多项式的阶数， X(s)总可以展开为：总可以展开为：n反变换根据反变换根据ROC不同可以有两种可能的结果不同可以有两种可能的结果-( )-()iia tiia tiiROCsaAeu tROCsaAeut若位于极点的右边，反变换的结果为：是右边信号

21、若位于极点的左边，反变换的结果为：是左边信号1( )( )(1)(2) 1; 2 2; 3 1; X sx tsssss 拉普拉斯变换表达式，根据不同的收敛域，求其反变换。1.-2R eR eR eR eI mS平 面2 1 R eI mS 平 面2 1 R eI mS平 面2 1 2021-11-1信号与系统第17讲181( ) ( )(1)(2)12ABX sX sssss对 进行部分分式展开12(1)( )1 (1)( )1ssAsX sAsX s 11( )12X sss221( ) 111( ) 221( ) 1(1)(2)tttte u tsseu tsseeu tsss 第一种情

22、况，LLLR eR eR e221() 111() 221() 2(1)(2)tttte utsseutsseeutsss 第二种情况，LLLR eR eR e2211() 1 ( ) 2121()( ) 1(1)(2)tttte utseu tssse uteu tsss 第三种情况，-2LLLR eR eR e2021-11-1信号与系统第17讲19本讲小结本讲小结n拉普拉斯变换拉普拉斯变换n拉普拉斯变换与傅里叶变换拉普拉斯变换与傅里叶变换n将将j替换为替换为+ jn增加增加的意义的意义n傅里叶变换应用的拓展傅里叶变换应用的拓展n拉普拉斯变换收敛域拉普拉斯变换收敛域n取值决定变换存在取值决

23、定变换存在n变换存在的变换存在的取值为收敛域取值为收敛域n同一拉普拉斯变换结果对应不同信号（左边、右边、双边）同一拉普拉斯变换结果对应不同信号（左边、右边、双边）n拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换n反变换的定义反变换的定义n反变换的计算反变换的计算n极点与收敛区位置的判断，决定信号的类型（左边、右边、双边）极点与收敛区位置的判断，决定信号的类型（左边、右边、双边）n部分分式计算方法部分分式计算方法9.21(a)(d)(g)(j)9.21(a)(d)(g)(j)2021-11-1信号与系统第17讲212021-11-1信号与线性系统第10讲21n1、反变换求取的数学手段、反变换求取的数学手段n依据反

24、变换公式，这是复变函数广义积分问题依据反变换公式，这是复变函数广义积分问题n使用复变函数中围线积分和留数定理来解决使用复变函数中围线积分和留数定理来解决n如函数是有理函数，也可通过部分分式展开的方如函数是有理函数，也可通过部分分式展开的方式来求解。式来求解。2021-11-1信号与系统第17讲222021-11-1信号与线性系统第10讲22n设设F(s)为有理函数，它可由两个为有理函数，它可由两个s的多项式之比来表示。的多项式之比来表示。n式中式中ak，bk为实数，为实数，m 及及 n 为正整数。为正整数。n一般一般 m n ，取，取a n=1。n如如m n 时，应化为真分式，再分解为部分分式

25、，时，应化为真分式，再分解为部分分式，n例如例如n用长除法，可得用长除法，可得n前面两项反变换前面两项反变换 L -15= 5 (t) , L -13s=3 (t)01110111)()()(asasasabsbsbsbsDsNsFnnnnmmmmF(s) =3s3-2s2-7s+1s2+s-1s2+s-13s3-2s2-7s+13s3s3+3s2-3s-5s2-4s+1-5-5s2-5s+5s-4F(s) = 3 s 5 +s- 4s2+s-12021-11-1信号与系统第17讲232021-11-1信号与线性系统第10讲23n（1）m 0 )2jtjttjjFssjsjjejeettLL2

26、22222211( )25(1)2(1)2(1)2sssF ssssss1( )(2 cos 2sin 2 ) (t0)2tftett2021-11-1信号与系统第17讲302021-11-1信号与线性系统第10讲30n（2）m 0L -1232112132132143121312132132)()(32222021-11-1信号与系统第17讲352021-11-1信号与线性系统第10讲35n解：解：nD(s)=0有有4个根个根,一二重根一二重根 s1= 0, 一对共轭根一对共轭根 s2= +j2, s3=-j2。将将F(s)展开展开 ，并令，并令s2 = w ，得，得)4(31)(22sss

27、F411)4(144141)4(1)()(431)4(31)4(31)()(4420012122wwwwsskwwwwAwwwwsDsNssAwAwAwwsssDsNk)2(2211121)4(4224131)4(414131)4(414131431)()(222222221sssssswwwAwAsDsN122111sin 23(4 )1 22ttssLt02021-11-1信号与系统第17讲362021-11-1信号与线性系统第10讲36n拉普拉斯反变换积分拉普拉斯反变换积分n可以采用留数定理计算的积分可以采用留数定理计算的积分n围线积分的几何说明围线积分的几何说明n复平面任意闭合曲线积分等于围线内被积函数复平面任意闭合曲线积分等于围线内被积函数所有极点的留数之和乘以所有极点的留数之和乘以2jn补充积分路径的说明补充积分路径的说明n补充曲线与反变换积分路径一起形成闭合曲线，补充曲线与反变换积分路径一起形成闭合曲线，从而可以利