选修21空间向量与立体几何

1、空间向量与立体几何知识导航1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 ;运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律：运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（），/存在实数，使。（3）三点共线：a、b、c三点共线&l

2、t;=> <=>（4）与共线的单位向量为4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。（3）四点共面：若a、b、c、p四点共面<=> <=>5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。6. 空间向量的直

3、角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。注：点a（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yoz中的点设为(0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=（x,y,z）（3）空间向量的直角坐标运算律：若，则， ， 。若，则。一个向量在直角坐

4、标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若，则点p坐标为。推导：设p（x,y,z）则,显然，当p为ab中点时，三角形重心p坐标为abc的五心：内心p：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量）外心p：外接圆的圆心，中垂线的交点。垂心p：高的交点：（移项，内积为0，则垂直）重心p：中线的交点，三等分点（中位线比）中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若，则，（5）夹角公式：。abc中<=>a为锐角<=>a为钝角，钝角（6）两点间的距离公式：若，则，或 7. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空

5、间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。（4）空间向量数量积的性质：。（5）空间向量数量积运算律：。（交换律）。（分配律）。不满足乘法结合率：二空间向量与立体几何1线线平行两线的方向向量平行1-1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2面面平行两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1线面垂直线与面的法向量平行2-2面面垂直两面的法向量垂直3线线夹角（共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角，3-1线面

6、夹角：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.3-2面面夹角（二面角）：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 4点面距离 ：求点到平面的距离： 在平面上去一点，得向量;； 计算平面的法向量;.4-1线面距离（线面平行）：转化为点面距离4-2面面距离（面面平行）：转化为点面距离典型例题讲解及思维拓展例1：已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？例2： 如图正方体中，求与所成角的余弦值 例3： 正方体abcd-a1b1c1d1中

7、，求二面角a-bd-c1的正切为 .将题目略作变化，二面角a1-bd-c1的余弦值为 .例4：如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求直线与平面所成的角的大小；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值.例5：如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由. 例6： 如图，在直四棱柱abcd-abcd中，底面abcd为等腰梯形，ab/cd，ab=4, bc=cd=2, aa=2, e、e、f分别是棱ad、aa、ab的中点。e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d （1）

8、 证明：直线ee/平面fcc；（2） 求二面角b-fc-c的余弦值。 例7： 在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求点到平面的距离.例8：图7edcbal二面角-l-的大小是变量，点b、c在l上，a、d分别在面、内，且adbc，ad与面成角，若abc的面积为定值s，求bcd面积q的最大值.拔高强化1.在正三棱柱abca1b1c1中，d是ac的中点，ab1bc1，则平面dbc1与平面cbc1所成的角为( )(a)30° (b)45° (c)60° (d)90&#

9、176;2. 设动直线与函数和的图象分别交于、两点，则的最大值为（ ） a b c2 d33.如图, 在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，aa14，点d是ab的中点， （i）求证：acbc1； （ii）求证：ac 1/平面cdb1；4.如图，正三棱柱的所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点 （1）求证：； （2）求二面角的大小（用反三角函数表示）； （3）求点到平面的距离。5.a如图，在三棱锥中，是的中点，且，（i）求证：平面平面；（ii）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为6.正方体，e为棱的中点() 求证：；() 求证：平面；（）求三棱锥的体积7.在四棱锥p-abcd中

10、，底面abcd是矩形，侧棱pa垂直于底面，e、f分别是ab、pc的中点 （1）求证：平面pad； （2）当平面pcd与平面abcd成多大二面角时， 直线平面pcd？课后作业(高考题初涉)1. （2010·广东高考理科）若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,则= .2. （2006年辽宁高考）已知正方形 、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为 (i) 证明平面;(ii)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值 3. (2008海南、宁夏理)如图，已知点p在正方体abcda1b1c1d1的对角

11、线bd1上，pda=60°。（1）求dp与cc1所成角的大小；（2）求dp与平面aa1d1d所成角的大小。4. （2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。（）求异面直线ab与md所成角的大小；（）求点b到平面ocd的距离。5. abcdoo1aboco1d（2005湖南文、理）如图1，已知abcd是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴oo1折成直二面角，如图2。（）证明：acbo1； （）求二面角oaco1的大小。6.（2007安徽文、理)如图,在六面体中,四边形abcd是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面abcd，dd1=2。()求证:与ac共面，与bd共面. ()求证:平面 ()求二面角的大小.7.(2007海南、宁夏理)如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点 （）证明：平面；（）求二面角的余弦值8.(2007四川理）如图，是直角梯形，90°，1，2，又1，120°，直线与直线所成的角为60°. （）求证：平面平面; （）求二面角的大小;（）求三棱锥的体积.