二次根式教案

1、 课题第12课时 21.1二次根式课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1. 理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义.2. 会确定二次根式有意义的条件，知道(0)是非负数，并会运用.3. 会进行二次根式的平方运算，会对被开方数为平方数的二次根式进行化简.过程方法1. 经历观察、比较、概括二次根式的定义.2. 通过探究二次根式的条件和结果，达成知识目标2.3. 通过探究和所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质.情感态度培养学生观察、猜想、探究、归纳的习惯和能力，体验数学发现的乐趣.教学重点1.有意义的条件. 2.0时 0的应用. 3.和的运算、化简教学难点<0

2、时的化简.教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入 导语设计：在勾股定理和四边形两章中，已经用到过简单的二次根式运算，在本章中将系统地学习二次根式的运算。本课只学习二次根式的概念及其三个运算性质.二、探究新知(一)定义及非负性活动1、填空，完成课本思考1：，活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义.活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法.活动4、思考下列问题：的运算结果是3，是不是二次根式？3是不是？定义中为什么要加0？若a<0，表示什么？有无意义？当 a=0时，表示什么？结果是什么？当 a>0时， 表示什么？可不可能为负数

3、？(0)是什么样的数呢？例1、当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎样的实数？， ， 练习：1、课本思考2：当x是怎样的实数时，有意义？2、若，则x和m的取值范围是x_；m_.3、已知，求的值各是多少？(二)两个运算性质活动5、完成课本探究1活动6、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变。练习：课本例2活动7、完成课本探究2活动8、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数.练习：课本例3补充练习：1、化简：，；2、直角三角形的三边分别为a，b，c

4、，其中c为斜边，则式子-与式子有什么关系？三、课堂训练完成课本中两个练习.有时间可补充：1、 成立的条件是_.2、成立的条件是_.四、小结归纳1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质.2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”.3、简单介绍代数式的概念.4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录.五、作业设计1教材p8复习巩固1、综合应用52选用课时作业设计3.课后作业:练习册点题，板书课题.学生独立完成后，教师订正；并引导学生观察得出：四个式子表示的都是非负数的算术平方根.教师可指出算术平方根即正的平方根.可读作二次根号65，简称根号65(只有二次可

5、简称)，也可读作65的算术平方根.可由学生思考后进行讨论，然后教师订正，最后师生共同归纳得出性质1：(0)是一个非负数师生共同分析归纳出使二次根式有意义的条件：不是使字母为非负数，而是使被开方数为非负数，且还要考虑二次根式的位置.要求学生会用算术平方根的意义解释.师生共同归纳得出性质2：(0)仍要求用算术平方根的意义解释.师生共同归纳出性质3：(0)找学生板演，说明解题过程引导学生先观察、分析，解题后养成说明理由的反思习惯.教师巡视指导，收集学生掌握情况，并集中订正.教师归纳总结，学生边听边作笔记.让学生了解本章的学习内容和本课的学习目标.算术平方根的意义是得出二次根式的性质的基础，复习算术平

6、方根的意义便于理解定义、归纳性质.让学生理解二次根式是按形式定义的，并理解二次根式存在的条件和运算结果的非负性.通过例题分析和练习加深对二次根式“运算结果和被开方数双非负”的理解.先具体后抽象，先练习后归纳，一可培养学生数感，二可有利于性质的得出，三可加深对性质的理解.对运算顺序的分析在于弄清两种运算的区别，从而弄清对字母a的要求不同，计算结果也因a而异.补充练习在于强化二次根式的结果具有非负性，也促使学生养成解题先观察的习惯。进一步体会“两个非负”.这里只要求学生知道“什么是代数式”即可，不要求掌握“什么叫代数式”.板 书 设 计观察：定义：性质1：性质2性质3例1性质2、3探究过程学生板演

7、内容课堂训练中错题展示课堂小结归纳作业布置： 教学反思课时作业设计一、选择题1下列式子中，是二次根式的是（ ） a- b c dx2下列式子中，不是二次根式的是（ ） a b c d3下列各式中、，二次根式的个数是（ ） a4 b3 c2 d14数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ） aa>0 ba0 ca<0 da=05已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） a5 b c d以上皆不对二、填空题1（-）2=_2已知有意义，那么是一个_数三、综合提高题1计算（1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3）2 (5) 2某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，

8、其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？3当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？4若+有意义，则=_5.使式子有意义的未知数x有（ ）个 a0 b1 c2 d无数6.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值 7已知+=0，求x y的值 课题第3-4课时 二次根式的乘除（1）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算.2.会利用积的算术平方根性质化简二次根式.过程方法4. 经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公式的双向性得到积的算术平方根性质.5. 通过例题分析和学生练习，达成目标1，2，认识到乘法法则只是进行

9、乘法运算的第一步，之后如果需要化简，进行化简，并逐步领悟被开方数的最优分解因数或因式的方法.情感态度培养学生观察、猜想的习惯和能力，勇于探索知识之间内在联系.教学重点双向运用(0，b0)进行二次根式乘法运算. 教学难点被开方数的最优分解因数或因式的方法.教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节课开始学习二次根式的运算，先来学习乘法运算。二、探究新知(一)二次根式乘法法则活动1、1.填空，完成课本探究12.用1中所发现的规律比较大小× ；× 活动2、给出二次根式的乘法法则:(0，b0)活动3、思考下列问题：

10、 公式中为什么要加0, b0？ 两个二次根式相乘其实就是 不变， 相乘 （0, b0，c0）= 练习：课本例1，在（1）（2）之后补充 （3）归纳：运算的第一步是应用二次根式乘法法则，最终结果尽量简化.(二)积的算术平方根性质活动4.将二次根式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质完成课本例2，在（1）（2）之间补充归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式分解，然后再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根号外.例3. 计算:（1） （2）；（3）分析：（1）第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而是先观察因式或因数的特点，再确定是否需要利用乘法交换律和结合律以及乘方知识将被开方数的积变形

11、为最大平方数或式与剩余部分的积，最后将最大平方数或式开方后移到根号外.（2）运用乘法交换律和结合律将不含根号的数或式与含根号的数或式分别相乘，再把这两个积相乘.，之后同（1）.三、课堂训练完成课本练习.补充：1.成立，求x的取值范围. 2.化简：四、小结归纳 1.二次根式乘法公式的双向运用；2.进行二次根式乘法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法.五、作业设计1习题21.2：p12：1、3（1）（2）、42选用课时作业设计3.课后作业:练习册点题，板书课题.学生计算，观察对比，找规律结合探究内容师生总结教师组织学生小组交流，进行讨论.学生板演利用它就可以将二次根式化简教师归纳总结，学生

12、边听边作笔记.找学生说明解题过程，引导学生先观察、分析，解题后养成说明理由的反思习惯.学生独立练习，巩固新知组织学生交流，讨论，达成共识.师生共同归纳.让学生经历从特殊到一般的认知过程，培养数感.使学生理解二次根式乘法的前提是二次根式有意义.乘法法则推广:使学生初步掌握如何计算二次根式乘法.学会化简二次根式，双向使用公式，熟练进行计算形成运用技巧，便于解题速度与正确率的深化理解公式及运用，提高解题能力.纳入知识系统板 书 设 计课题公式1公式2学生板演例1例2例3补充练习课堂小结归纳教学反思课时作业设计1.下列运算正确的是（ ）a b c d2、下列是最简二次根式的是（ ）a b cd3、若，

13、则的值是 。4、已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）a12 b11 c8 d35.计算:(1)； (2)； (3) ； (4) . （5） (6) (7)6.化简：(1) (2) （3）； （4）.7.等边三角形的边长是3，求这个等边三角形的面积.课题第5课时 二次根式的乘除（2）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算.2.会利用商的算术平方根性质化简二次根式.3.理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.过程方法1.经历观察、比较、习，达成目标1，2，认识到除法法则只是进行除法运算的第一步，之后如果需要化简

14、，进行化简.也可运用概括二次根式除法公式，通过公式的双向性得到商的算术平方根性质.2.通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法.情感态度类比二次根式的乘法进行知识与方法的迁移，获得新知，体验探索的乐趣.教学重点双向运用 进行二次根式除法运算.教学难点能使用分母有理化方法进行二次根式的除法运算教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的乘法，这节课学习二次根式的除法运算.二、探究新知(一)二次根式除法法则活动1、1.填空，完成课本探究12.用1中所发现的规律比较大小 ； 活动2、给出二次根式的除法法则:活动3、思考下列问题： 公式中为什么

15、要加0, b>0？ 两个二次根式相除其实就是 不变， 相除练习：课本例4，在（1）（2）之后补充 （3）归纳：运算的第一步是应用二次根式除法法则，最终结果尽量简化.(二)商的算术平方根性质活动4.将二次根式除法公式逆用得到商的算术平方根性质完成课本例5归纳：化简被开方式含有分数线的二次根式，就是将分子的算术平方根做分子，分母的算术平方根做分母，再利用积的算术平方根分别化简.例6. 计算:（1） （2）；（3）分析：第一步可以把被开方数相除，然后告诉学生被开方数中不能含有分母，数必须是整数，利用分数的基本性质将分母变成完全平方数，开方后移到根号外；也可以直接模仿分数的基本性质和公式，以去掉

16、分母中的根号.（三）最简二次根式概念活动5、让学生观察所做习题结果，总结归纳结果的特点，得到最简二次根式的概念.分析概念：1.被开方数不含分母的含义指-因数是整数，因式是整式；2.被开方数中不能含开得尽方的因数是指-被开方数不能分解出完全平方数；被开方数中不含开得尽方的因式是指-被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2，因此，每一个因式的指数都是1.完成课本例7补充：化简注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和.三、课堂训练完成课本练习.补充：1.成立，求x的取值范围.2.找出下列根式中的最简二次根式 3.判断下列等式是否成立 四、小结归纳 1.二次根式除法公式的双向运用；2.

17、进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法.3.最简二次根式概念五、作业设计1教材p15习题-2，3，4，52选用课时作业设计3.课后作业:练习册点题，板书课题.学生计算，观察对比，类比上节课知识找规律结合探究内容师生总结教师组织学生小组交流，进行讨论.学生板演，师生订正学生板演并讲解解题过程及依据找学生说明解题过程，引导学生先观察、分析，解题后养成说明理由的反思习惯.指导学生交流，教师总结学生观察刚做过的题的结果，含根式的结果中根式的特点.教师及时肯定学生的结论并加以引导和整理汇总.学生说解题方法，书写解题过程体会化简二次根式再实际问题中的应用学生独立完成巩固新知,学生思考

18、，讨论，阐述个人见解,让学生观察，寻找并解释，能将不是的进行化简让学生观察，判断，将不成立的正确求解.让学生经历从特殊到一般的认知过程，培养数感.使学生理解二次根式除法的前提是二次根式有意义.使学生初步学会化简被开方式含有分数线的二次根式双向使用公式，熟练灵活进行计算形成运用技巧，以提高解题速度与正确率让学生通过结果的最终性初步感知最简二次根式的概念，继而理解概念，并为以后的计算和化简的结果设立标准强调被开方数是和式的二次根式的化简办法熟练计算和解题深化理解公式及运用使学生能判断最简二次根式,正确化简二次根式,纳入知识系统板 书 设 计课题公式1 公式2板演例4例5例6例7补充练习教学反思课时

19、作业设计1下列根式中已经化简为最简形式的是（ ）a b c d 2.二次根式的值是（ ） ab或cd3、下列各等式成立的是（ ）a4×2=8 b5×4=20 c4×3=7 d5×4=204、能使有意义的实数x的值有( ) a.0个 b.1个 c.2个 d.无数个5、已知a、b满足6、已知，则 。7当a_时，有意义。8、已知直角三角形的两直角边的长满足，则斜边的长为 9、对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算如下：ab=，如32=那么124= 。 10、当二次根式的值等于4时求x的值11先化简，再求值：，其中12计算： （-）×； 课题第6-

20、7课时 二次根式的加减（1）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.知道在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立.2.能熟练将二次根式化简成最简二次根式.3.会运用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算.过程方法1类比整式加减得到二次根式加减的方法，二者都是系数的加减运算.2在学习过程中体会有理数、整式、二次根式运算之间的联系，感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性.情感态度学生温故知新，渗透类比思想，培养自主学习意识.教学重点二次根式加减法运算方法教学难点二次根式的化简，合并被开方数相同的最简二次根式教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语设计

21、：上节课学习了二次根式的乘除法，这节课学习二次根式的加减法运算.二、探究新知(一)二次根式加减法法则活动1、类比计算，说明理由 2+3 ； . 2-3 ； . ； 思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？（2）二次根式的加减运算与整式的加减运算相同之处是什么？（3） 什么样的二次根式能够合并？（4）模仿整式的加减运算怎样进行二次根式的加减运算？活动2、给出二次根式的加减法法则分析法则：二次根式加减时，先将非最简二次根式化为最简二次根式，再逆用乘法分配律将被开方数相同的二次根式进行合并.被开方数不同的最简二次根式不能合并，作为最后结果中的部分.练习：课本例1，之后补充

22、（3） （4）课本例2，之后补充 分析说明：中补充（3）结果为负，（4）含分数线，作为例1，例2的过渡。中补充括号前是负号的.(二)二次根式加减的应用1.课本引例分析：这个实际问题的解决方法可能不同，还可以先估算两个正方形的边长，再把它们的和与木板的长比较.2.课本例3分析：利用勾股定理解决实际问题，运用二次根式的加减进行计算，计算的最后一步取近似值，使结果更精确.三、课堂训练完成课本练习.补充：1.下列各组二次根式中，化简后被开方式相同的是（）a. b.c. d.2.二次根式的计算为什么先学乘除，后学加减？还有哪块知识也是如此？四、小结归纳1.进行二次根式加减运算的一般步骤.2.二次根式的熟

23、练化简.2.二次根式加减的实际应用.五、作业设计1教材p21习题-1，2，3，52选用课时作业设计3.课后作业:练习册点题，板书课题.学生计算，观察对比，类比整式加减知识尝试计算教师组织学生小组交流，进行讨论.结合探究内容师生总结学生板演，并说明每一步的依据，然后师生订正.让学生认真审题，分析，并阐述，然后师生交流，学生进行计算.学生独立完成练习,巩固新知,师生订正，引导学生先观察、分析，找学生说明解题思路，解题后养成说明理由的反思习惯.指导学生交流，教师总结让学生尝试经历从已知到未知的迁移，感受数式通性.为总结二次根式的加减法法则做铺垫更好地理解和运用法则初步进行计算，并强化去括号后的符号变

24、化感受二次根式加减的实际应用熟练计算和解题正确化简二次根式纳入知识系统板 书 设 计课题二次根式加减法法则 板演例1例2例3补充二次根式加减运算一般步骤教学 反 思课时作业设计1下列各式：其中错误的有（ ）3+3=6；=1；+=2；=2， a3个 b2个 c1个 d0个2.一个等腰三角形两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为（ ）a、10 b、5 c、10 d、无法确定3.计算（+）（-）的值是（ ） a2 b3 c4 d14. 在二次根式中，化简后与的被开方数相同的是 5.（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是_。6.计算： （1）. （2） （3） （4） （5） （6） （7）（+）

25、+（-） 7、先化简，再求值：，其中8.已知2.236，求（-）-（+）的值（结果精确到0.01）课题第8-9课时 二次根式的加减（2）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算过程方法1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比较，注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用并感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性.2. 在运算中运用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，体会二次根式的运算与整式的运算的联系.情感态度培养学生的类

26、比运用意识教学重点混合运算的法则，运算律的合理使用教学难点灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语设计：到目前为止，我们已经学习了二次根式的乘除、加减运算，这节课来学习二次根式的混合运算.二、探究新知(一)二次根式混合运算法则活动1、类比计算，说明理由 (2+3b) ； ( )(2+3b)(-b)； (3b-42 )÷ ； 思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？（2）二次根式的混合运算与整式的混合运算相同之处是什么？（3）左边式子中的字母、b可以表示二次根式吗？（4）模仿整式的混合运算怎样进行

27、二次根式的混合运算？活动2、给出二次根式的混合运算的一般步骤： （1）进行二次根式混合运算时，运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）.（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则仍然适用，整式、分式的运算法则仍然适用。（3）有括号的二次根式混合运算，去掉括号是最关键的一步.练习：课本例4，之后补充 （3） 课本例5，之后补充 分析说明：中补充（3）是不能除尽（含分数线）的类型。中补充完全平方公式应用.归纳：二次根式混合运算时，乘法公式仍然适用，仔细观察式子的特征，灵活运用完全平方公式、平方差公式来简化运算.(二)二次根式混合

28、运算的应用1.若x=,则x2+x+1= 2.已知，求;的值.3.如图，四边形abcd中，abbc,adab,ab=1,bc=cd=2,求四边形abcd的面积. 三、课堂训练完成课本练习.补充：1.海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是,b,c,设=, 则三角形的面积为s= 公式运用：在中，bc=4,ac=5,ab=6,求的面积。四、小结归纳1.进行二次根式混合运算的一般步骤.2.二次根式混合运算时，仔细观察式子的特征，灵活运用运算法则、运算律、公式来简化运算.2.二次根式混合运算的应用.五、作业设计1教材p21习题-4，6，7，82选用课时作业设计3.课后作业:练习册点题，板书课题.学生

29、计算，观察对比，类比整式混合运算知识尝试计算教师组织学生小组交流，进行讨论.结合探究内容师生总结学生板演，并说明每一步的依据，然后师生订正.引导学生先观察、分析，找学生说明解题思路，解题后养成说明理由的反思习惯.学生独立完成练习,巩固新知,师生订正指导学生交流，教师总结让学生尝试经历从已知到未知的迁移，感受式数通性.为总结二次根式的混合运算法则做铺垫更好地理解和运用法则初步进行计算感受二次根式混合运算的应用熟练计算和解题纳入知识系统板 书 设 计课题二次根式混合运算法法则 板演例4例5应用补充注意：教 学 反 思课时作业设计1、下列运算错误的是（ ） . . . .2、下列根式不能与合并的（

30、）a、 b、 c、 d、3若与都是二次根式，那么+= 。4、若最简二次根式与是同类二次根式，则。5.已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_6. 已知ab=，a-b=5-1,求(a+1)(b-1)的值。7.计算（1） （2） （3） （4） （5） （6）8在菱形abcd中，对角线=，求菱形的边长和面积。9先化简、再求值：。课题第1012课时 第21章小结课型复习教学媒体多媒体教学目标知识技能1. 学生构建知识体系2. 通过解决典型的题目，抓住本章要点；解决易出错的题目，找犯错陷阱和错因.3. 联系实数，整式，勾股定理等相关知识进行综合运用.过程方法1. 从知识生成的本质和思想方法的本

31、质养成学习数学的能力.2. 经历观察、思考、交流，熟练、灵活解题.情感态度培养数感和符号感，培养以联系和发展的观点学习数学的习惯教学重点深化理解二次根式的概念和性质，熟练进行二次根式的化简与运算教学难点进一步理解二次根式的性质和运算法则的合理性教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语设计：我们已经学习了二次根式的概念，性质和运算，这节课来复习并总结本章知识.二、复习提升(一)基础巩固l 解答下列各题，注意易让你犯错的陷阱1.若有意义，则x的取值范围是 .2.下列各式是最简二次根式的是（ ）a. b. c. d .3.下列二次根式中，和是同类二次根式的是（ ）a. b. c

32、. d. 4.下列运算正确的是（ ）a. b. c. d.5.计算：； ； 归纳：本组训练题目典型，易错，旨在进一步理解二次根式相关知识，熟练进行二次根式化简与运算.l 解答下列各题，注意避免犯上组题中的错误，看是否有新的发现.1.若有意义，则x的取值范围是 .2.下列各式中不是最简二次根式的是（ ）a. b. c. d .3.下列二次根式中，和不是同类二次根式的是（ ）a. b. c. d. 4.下列计算正确的是（ ）a. b.c. d.5.计算：； ； 归纳：此组题与上组题考察内容相同，但问法不同，更具技巧性.(二)综合运用1.当m 时，有意义.2.能使成立的x的取值范围是 .3.若，则的取值范围是 .4.若 是 .5.当-3时，化简的结果是 .6.整数x满足下列两个条件：式子和都有意义的值是整数，则x的值是 .7.以下结论正确的是 .（填序号即可） =对一切实数都成立 对一切实数都成立式子叫做二次根式 一个数的平方根和它的绝对值都是非负数