方向导数与梯度经典实用

1、方向导数与梯度第七第七 节节一、方向导数一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 方向导数与梯度方向导数与梯度方向导数与梯度l),(yxp一、方向导数一、方向导数定义定义: 若函数若函数),(yxf f 0lim则称则称lf lf 为函数在点为函数在点 p 处沿方向处沿方向 l 的的方向导数方向导数. ),(),(lim0yxfyyxxf 在点在点 ),(yxp处处沿方向沿方向 l (方向角为方向角为 ) , 存在下列极限存在下列极限: 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1p记作记作 .221yxpp 记记方向导数与梯度处处在在点点若若函函数

2、数),(),(yxpyxf),(yxpl定理定理:则函数在该点则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在的方向导数存在 , flf 0lim coscosyfxflf .,的方向角的方向角为为其中其中l 证明证明: 由函数由函数),(yxf)( oyyfxxff coscosyfxf 且有且有)( o 在点在点 p 可微可微 , 得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 p故故 coscosyfxf ,可可微微方向导数与梯度),(yxf二二元元函函数数lf coscosyfxf 的的方方向向角角为为方方向向其其中中l ,xflf 特别特别: : 当当 l 与与

3、x 轴同向轴同向 有有时时,2,0 当当 l 与与 x 轴反向轴反向 有有时时,2, xflf 方向导数与梯度解解:1)0, 1(2)0, 1( yexz22)0, 1(2)0, 1( yxeyz cos2cos1 lz22 1, 1 pql即即为为方方向向,21cos ,21cos lf coscosyfxf 方向导数与梯度例例2. 求函数求函数 在点在点 p(1, 1, 1) 沿向量沿向量zyxu2 3), 1,2( l的方向导数的方向导数 .,142cos plu)1, 1, 1(146 ,141cos 143cos 1422 zyx1412 zx 1432yx机动机动 目录目录 上页上

4、页 下页下页 返回返回 结束结束 解解: 向量向量 l 的方向余弦为的方向余弦为lf coscoscoszfyfxf 方向导数与梯度例例2. 求函数求函数 在点在点p(2, 3)沿曲线沿曲线223yyxz12 xy朝朝 x 增大方向的方向导数增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为将已知曲线用参数方程表示为2)2, 1 (xxplz它在点它在点 p 的的切向量为切向量为,171cos1760 xoy2p1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1 (174cos1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 方向导数与梯度例例2. 设设是曲面是曲

5、面n在点在点 p(1, 1, 1 )处处指向外侧的法向量指向外侧的法向量,解解: 方向余弦为方向余弦为,142cos ,143cos 141cos 而而pxu ,148 pyu14 pzu pnu同理得同理得)1,3,2(2 632222 zyx方向方向的方向导数的方向导数.pzyx)2,6,4(146 711 1143826141 pyxzx22866 zyxu2286 在点在点p 处沿处沿求函数求函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 nn方向导数与梯度问题问题：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,

6、3)，(5,3)在坐标原点处有一个在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？到达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行（即梯度方向）爬行?沿沿哪哪一一方方向向变变化化率率最最大大函函数数在在点点 p方向导数与梯度二、梯度二、梯度 方向导数公式方向导数公式 coscoscoszfyfxf

7、lf 令向量令向量这说明这说明方向：方向：f 变化率最大的方向变化率最大的方向模模 : f 的最大变化率之值的最大变化率之值方向导数取最大值：方向导数取最大值：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 zfyfxfg,)cos,cos,(cos0 l),cos(00lglg )1(0 l0lglf ,0方向一致时方向一致时与与当当gl:g glf max方向导数与梯度1. 定义定义,adrgf即即fadrg同样可定义二元函数同样可定义二元函数),(yxf),(yxp yfxfjyfixff,grad称为函数称为函数 f (p) 在点在点 p 处的梯度处的梯度 zfyfxf,k

8、zfjyfixf 记作记作(gradient),在点在点处的梯度处的梯度 g向量向量变变化化最最快快的的方方向向方方向向就就是是 fgradf最最大大变变化化率率的的值值就就是是 fgradf方向导数与梯度解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得),(),(zuyuxuzyxgradu )6, 24, 32(zyx 故故kjigradu1225)1, 2, 5()2 , 1 , 1( 方向导数与梯度内容小结内容小结1. 方向导数方向导数 二元函数二元函数 ),(yxf在点在点),(yxp), 的方向导数为的方向导数为 coscosyfxflf 沿方向沿方向 l (方向角为方向角为机动机动 目录目

9、录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三元函数三元函数 ),(zyxf在点在点),(zyxp沿方向沿方向 l (方向角方向角), 为为的方向导数为的方向导数为 coscoscoszfyfxflf 方向导数与梯度2. 梯度梯度二元函数二元函数 ),(yxf在点在点),(yxp处的梯度为处的梯度为),(gradyxfff 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三元函数三元函数 ),(zyxf在点在点),(zyxp处的梯度为处的梯度为 zfyfxff,grad方向导数与梯度练习练习1. 设函数设函数zyxzyxf 2),(1) 求函数在点求函数在点 m ( 1, 1, 1

10、 ) 处沿曲线处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向的方向导数在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在求函数在 m( 1, 1, 1 ) 处的处的梯度梯度与与(1)中中切线方向切线方向 的夹角的夹角 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 方向导数与梯度,),(2zyxzyxf曲线曲线 12 32tztytx1. (1)在点在点)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxmffflf266解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数沿函数沿 l 的方向导数的方向导数lm (1,1,1) 处切线的方向向量