全等三角形经典辅助线做法汇总

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.

2、垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上

3、相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法4) （1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理（2）可以在角平分

4、线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。5) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”6) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目7) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在

5、求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图abc中，ab=5，ac=3，则中线ad的取值范围是_.例2、如图，abc中，e、f分别在ab、ac上，dedf，d是中点，试比较be+cf与ef的大小.例3、如图，abc中，bd=dc=ac，e是dc的中点，求证：ad平分bae.(一)中线倍长法:例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，abc中，ad是bc边上的中线，求证：ad (ab+ac)分析：要证明ad (ab+ac)，就是证明ab+ac>2ad，也

6、就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论ab+ac>2ad中，出现了2ad，即中线ad应该加倍。证明：延长ad至e，使de=ad，连ce，则ae=2ad。 在adb和edc中， adbedc(sas)ab=ce又 在ace中，ac+ceaeac+ab2ad，即ad (ab+ac)小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边ab、ac和两个角bad和cad集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。课题练习

7、:中，ad是的平分线，且bd=cd，求证ab=ac例2: 中线一倍辅助线作法 abc中 方式1： 延长ad到e， ad是bc边中线 使de=ad， 连接be 方式2：间接倍长 作cfad于f， 延长md到n， 作bead的延长线于e 使dn=md，连接be 连接cd例3：abc中，ab=5，ac=3，求中线ad的取值范围例4：已知在abc中，ab=ac，d在ab上，e在ac的延长线上，de交bc于f，且df=ef，求证：bd=ce课堂练习：已知在abc中，ad是bc边上的中线，e是ad上一点，且be=ac，延长be交ac于f，求证：af=ef例5：已知：如图，在中，d、e在bc上，且de=ec

8、，过d作交ae于点f，df=ac.求证：ae平分课堂练习：已知cd=ab，bda=bad，ae是abd的中线，求证：c=bae作业：1、在四边形abcd中，abdc，e为bc边的中点，bae=eaf，af与dc的延长线相交于点f。试探究线段ab与af、cf之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图，dabc中，Ðc=90°，cmab于m，at平分Ðbac交cm于d，交bc于t，过d作de/ab交bc于e，求证：ct=be.3：已知在abc中，ad是bc边上的中线，e是ad上一点，且be=ac，延长be交ac于f，求证：af=ef4：已知cd=ab，bda=bad

9、，ae是abd的中线，求证：c=bae5、在四边形abcd中，abdc，e为bc边的中点，bae=eaf，af与dc的延长线相交于点f。试探究线段ab与af、cf之间的数量关系，并证明你的结论 应用：1、（09崇文二模）以的两边ab、ac为腰分别向外作等腰rt和等腰rt，连接de，m、n分别是bc、de的中点探究：am与de的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，am与de的位置关系是 ，线段am与de的数量关系是 ；（2）将图中的等腰rt绕点a沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由二、截长补短1、如图，中，ab=2a

10、c，ad平分，且ad=bd，求证：cdac2、如图，adbc，ea,eb分别平分dab,cba，cd过点e，求证;abad+bc。 3、如图，已知在内，p，q分别在bc，ca上，并且ap，bq分别是，的角平分线。求证：bq+aq=ab+bp4、如图，在四边形abcd中，bcba,adcd，bd平分，求证： 5、如图在abc中，abac，12，p为ad上任意一点，求证;ab-acpb-pc图1-1已知，如图1-1，在四边形abcd中，bcab，ad=dc，bd平分abc.求证：bad+bcd=180°.图1-2分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化

11、成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点d作de垂直ba的延长线于点e，作dfbc于点f，如图1-2bd平分abc，de=df，在rtade与rtcdf中，rtadertcdf(hl),dae=dcf.又bad+dae=180°，bad+dcf=180°，即bad+bcd=180°例1. 如图2-1，adbc，点e在线段ab上，ade=cde，dce=ecb.图2-1求证：cd=ad+bc.例2. 已知，如图3-1，1=2，p为bn上一点，且pdbc于点d，ab+bc=2bd.求证：bap+bcp=1

12、80°.图3-1例3. 已知：如图4-1，在abc中，c2b，12.图4-1求证：ab=ac+cd.作业：1、已知：如图，abcd是正方形，fad=fae. 求证：be+df=ae.2、五边形abcde中，ab=ae，bc+de=cd，abc+aed=180°，求证：ad平分cde应用：三、平移变换例1 ad为abc的角平分线，直线mnad于a.e为mn上一点，abc周长记为，ebc周长记为.求证.例2 如图，在abc的边上取两点d、e，且bd=ce，求证：ab+ac>ad+ae.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在abc中，b=60°，abc的角平分线a

13、d,ce相交于点o，求证：oe=od2、如图，abc中，ad平分bac，dgbc且平分bc，deab于e，dfac于f. （1）说明be=cf的理由；（2）如果ab=，ac=，求ae、be的长.应用：1、如图，op是mon的平分线，请你利用该图形画一对以op所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在abc中，acb是直角，b=60°，ad、ce分别是bac、bca的平分线，ad、ce相交于点f。请你判断并写出fe与fd之间的数量关系；(第23题图)opamnebcdfacefbd图图图（2）如图，在abc中，如果acb不是直角，而(1)

14、中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例1 正方形abcd中，e为bc上的一点，f为cd上的一点，be+df=ef，求eaf的度数. 例2 d为等腰斜边ab的中点，dmdn,dm,dn分别交bc,ca于点e,f。（1） 当绕点d转动时，求证de=df。（2） 若ab=2，求四边形decf的面积。例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以d为顶点做一个角，使其两边分别交ab于点m，交ac于点n，连接mn，则的周长为 ；应用：1、已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图1），易证当

15、绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图1）（图2）（图3）2、（西城09年一模）已知:pa=,pb=4,以ab为一边作正方形abcd,使p、d两点落在直线ab的两侧.(1)如图,当apb=45°时,求ab及pd的长;(2)当apb变化,且其它条件不变时,求pd的最大值,及相应apb的大小.3、在等边的两边ab、ac所在直线上分别有两点m、n，d为外一点，且,bd=dc. 探究：当m、n分别在直线ab、ac上移动时，bm、nc、mn之间的数量关系及的周长q与等边的周长l的关系图1 图

16、2 图3（i）如图1，当点m、n边ab、ac上，且dm=dn时，bm、nc、mn之间的数量关系是 ； 此时 ； （ii）如图2，点m、n边ab、ac上，且当dmdn时，猜想（i）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （iii） 如图3，当m、n分别在边ab、ca的延长线上时，若an=，则q= （用、l表示）（三）其它几种常见的形式：1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例：如图1：已知ad为abc的中线，且12,34,求证：becfef。2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如图2：ad为abc的中线，且12，34，求证：be

17、cfef 练习：已知abc，ad是bc边上的中线，分别以ab边、ac边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证ef2ad。 3、延长已知边构造三角形：例如：如图6：已知acbd，adac于a ，bcbd于b，求证：adbc4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图7：abcd，adbc 求证：ab=cd。5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图8：在rtabc中，abac，bac90°，12，cebd的延长于e 。求证：bd2ce 6连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图9；ac、bd相交于o点，且abdc，acbd，求证

18、：ad。九、取线段中点构造全等三有形。例如：如图10：abdc，ad 求证：abcdcb。 参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图abc中，ab=5，ac=3，则中线ad的取值范围是_.解：延长ad至e使ae2ad，连be，由三角形性质知ab-be <2ad<ab+be 故ad的取值范围是1<ad<4例2、如图，abc中，e、f分别在ab、ac上，dedf，d是中点，试比较be+cf与ef的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长fd至g使fg2ef，连bg，eg,显然bgfc，在efg中，注意到dedf，由等腰三角形的三

19、线合一知egef在beg中，由三角形性质知eg<bg+be 故：ef<be+fc例3、如图，abc中，bd=dc=ac，e是dc的中点，求证：ad平分bae. 解：延长ae至g使ag2ae，连bg，dg,显然dgac， gdc=acd由于dc=ac，故 adc=dac在adb与adg中， bdac=dg，adad，adb=adc+acd=adc+gdcadg故adbadg，故有bad=dag，即ad平分bae应用：1、（09崇文二模）以的两边ab、ac为腰分别向外作等腰rt和等腰rt，连接de，m、n分别是bc、de的中点探究：am与de的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角

20、形时，am与de的位置关系是 ，线段am与de的数量关系是 ；（2）将图中的等腰rt绕点a沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由解：（1），；证明：延长am到g，使，连bg，则abgc是平行四边形gchabdmne，又再证：，延长mn交de于h（2）结论仍然成立证明：如图，延长ca至f，使，fa交de于点p，并连接bf，fcpabdmne在和中（sas），又，且，二、截长补短1、如图，中，ab=2ac，ad平分，且ad=bd，求证：cdac解：（截长法）在ab上取中点f，连fdadb是等腰三角形，f是底ab中点，由三线合一知df

21、ab，故afd90°adfadc（sas）acdafd90°即：cdac2、如图，adbc，ea,eb分别平分dab,cba，cd过点e，求证;abad+bc解：（截长法）在ab上取点f，使afad，连feadeafe（sas）adeafe，ade+bce180°afe+bfe180°故ecbefbfbecbe（aas）故有bfbc从而;abad+bc3、如图，已知在abc内，p，q分别在bc，ca上，并且ap，bq分别是，的角平分线。求证：bq+aq=ab+bp解：（补短法, 计算数值法）延长ab至d，使bdbp，连dp在等腰bpd中，可得bdp40&

22、#176;从而bdp40°acpadpacp（asa）故adac又qbc40°qcb 故 bqqcbdbp从而bq+aq=ab+bp4、如图，在四边形abcd中，bcba,adcd，bd平分，求证： 解：（补短法）延长ba至f，使bfbc，连fdbdfbdc（sas）故dfbdcb ，fddc又adcd故在等腰bfd中dfbdaf故有bad+bcd180°5、如图在abc中，abac，12，p为ad上任意一点，求证;ab-acpb-pc解：（补短法）延长ac至f，使afab，连pdabpafp（sas）故bppf由三角形性质知pbpcpfpc < cfafa

23、cabac应用：分析：此题连接ac，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。解：有deacbf连接ac，过e作并ac于f点则可证为等边三角形即，又，deacb又在与中，点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。三、平移变换例1 ad为abc的角平分线，直线mnad于a.e为mn上一点，abc周长记为，ebc周长记为.求证.解：（镜面反射法）延长ba至f，使afac，连fead为abc的角平分线, mnad知faecae故有faecae（sas）故efce在bef中有： be+ef&

24、gt;bf=ba+af=ba+ac从而pb=be+ce+bc>bf+bc=ba+ac+bc=pa例2 如图，在abc的边上取两点d、e，且bd=ce，求证：ab+ac>ad+ae.证明：取bc中点m,连am并延长至n,使mn=am,连bn,dn. bd=ce,dm=em,dmnema(sas),dn=ae,同理bn=ca.延长nd交ab于p,则bn+bp>pn,dp+pa>ad,相加得bn+bp+dp+pa>pn+ad,各减去dp,得bn+ab>dn+ad,ab+ac>ad+ae。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在abc中，b=60°，a

25、bc的角平分线ad,ce相交于点o，求证：oe=od，dc+ae =ac证明l(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)b=60度,则bac+bca=120度;ad,ce均为角平分线,则oac+oca=60度=aoe=cod;aoc=120度.在ac上截取线段af=ae,连接of.又ao=ao;oae=oaf.则oaeoaf(sas),oe=of;ae=af; aof=aoe=60度.则cof=aoc-aof=60度=cod;又co=co;ocd=ocf.故ocdocf(sas),od=of;cd=cf.oe=oddc+ae=cf+af=ac.2、如图，abc中，ad平分bac，dgbc且平分bc

26、，deab于e，dfac于f. （1）说明be=cf的理由；（2）如果ab=，ac=，求ae、be的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接bd，dcdg垂直平分bc，故bddc由于ad平分bac， deab于e，dfac于f，故有eddf故rtdbertdfc（hl）故有becf。ab+ac2aeae（a+b）/2be=(a-b)/2应用：1、如图，op是mon的平分线，请你利用该图形画一对以op所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在abc中，acb是直角，b=60°，ad、ce分别是bac、bca的平分线，ad、ce相交于点f。请

27、你判断并写出fe与fd之间的数量关系；(第23题图)opamnebcdfacefbd图图图（2）如图，在abc中，如果acb不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：（1）fe与fd之间的数量关系为（2）答：（1）中的结论仍然成立。证法一：如图1，在ac上截取，连结fg ，af为公共边， fbeacd图 12143g，ad、ce分别是、的平分线及fc为公共边证法二：如图2，过点f分别作于点g，于点h fbeacd图 22143hg，ad、ce分别是、的平分线可得，f是的内心，又 可证 五、旋转例1 正方形abcd中，e

28、为bc上的一点，f为cd上的一点，be+df=ef，求eaf的度数. 证明：将三角形adf绕点a顺时针旋转90度，至三角形abg则ge=gb+be=df+be=ef又ae=ae，af=ag，所以三角形aef全等于aeg所以eaf=gae=bae+gab=bae+daf又eaf+bae+daf=90所以eaf=45度例2 d为等腰斜边ab的中点，dmdn,dm,dn分别交bc,ca于点e,f。(1)当绕点d转动时，求证de=df。(2)若ab=2，求四边形decf的面积。解：(计算数值法)（1）连接dc， d为等腰斜边ab的中点，故有cdab，cddacd平分bca90°，ecddca

29、45°由于dmdn，有edn90°由于 cdab，有cda90°从而cdefda故有cdeadf（asa）故有de=df（2）sabc=2, s四decf= sacd=1例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以d为顶点做一个角，使其两边分别交ab于点m，交ac于点n，连接mn，则的周长为 ；解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) ac的延长线与bd的延长线交于点f，在线段cf上取点e，使cebmabc为等边三角形，bcd为等腰三角形，且bdc=120°，mbd=mbc+dbc=60°+30°=90&

30、#176;，dce=180°-acd=180°-abd=90°，又bm=ce，bd=cd，cdebdm，cde=bdm，de=dm，nde=ndc+cde=ndc+bdm=bdc-mdn=120°-60°=60°，在dmn和den中，      dm=de     mdn=edn=60°     dn=dndmnden，mn=ne在dma和def中，      dm=de    

31、0;mda=60°- mdb=60°- cde=edf (cde=bdm)    dam=dfe=30°dmnden (aas)，ma=fe的周长为an+mn+am=an+ne+ef=af=6应用：1、已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图1），易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图1）（图2）（图3）解：（1），（sas）；，为等边三角形，（2）图2成立，图3不成立。证明图2

32、，延长dc至点k，使，连接bkkabcdefmn图 2则，即图3不成立，ae、cf、ef的关系是2、（西城09年一模）已知:pa=,pb=4,以ab为一边作正方形abcd,使p、d两点落在直线ab的两侧.(1)如图,当apb=45°时,求ab及pd的长;(2)当apb变化,且其它条件不变时,求pd的最大值,及相应apb的大小.分析：（1）作辅助线，过点a作于点e，在中，已知，ap的值，根据三角函数可将ae，pe的值求出，由pb的值，可求be的值，在中，根据勾股定理可将ab的值求出；求pd的值有两种解法，解法一：可将绕点a顺时针旋转得到，可得，求pd长即为求的长，在中，可将的值求出，在中，根据勾股定理可将的值求出；解法二：过点p作ab的平行线，与da的延长线交于f，交pb于g，在中，可求出ag，eg的长，进而可知pg的值，在中，可求出pf，在中，根据勾股定理可将pd的值求出；（2）将绕点a顺时针旋转，得到，pd的最大值即为的最大值，故当、p、b三点共线时，取得最大值，根据可求的最大值，此时epadcb解：（1）如图，作于点e中，在中，ppacbde解法一：如图，因为四边形abcd为正方形，可将将绕点a顺时针旋转得到，可得，；解法二：如图，过点p作ab的平行线，与da的延长线交于f，设da的延长线交pb于ggfpacbde