高考数列综合问题研究

1、数列综合问题研究【高考回顾】回顾2007年高考数学的37套试题,我们发现每套试题均有一套数列的解答题.从数列答题知识点可以看出,高考中涉及数列与函数交汇的有4道,涉及数列实际应用的有1道,涉及数列与三角函数综合的有1道,涉及数列与不等式交汇的有12道,涉及数列递推关系的有11道.而对于不等式,不是和数列综合,就是与函数交汇,其中,涉及参数取值范围的有8道,涉及不等式证明的有10道.由此看来,数列与不等式是高考命题的热点内容.【近两年经典高考试题回放】1.（05年辽宁）已知函数设数列满足，数列满足 （）用数学归纳法证明； （）证明解：（）证明：当 因为a1=1，所以 2分下面用数学归纳法证明不等

2、式 （1）当n=1时，b1=，不等式成立， （2）假设当n=k时，不等式成立，即那么 6分 所以，当n=k+1时，不等也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任意nn*都成立。 8分（）证明：由（）知， 所以 10分 故对任意（12分）考点解析：数学归纳法，放缩法。2.（2006年辽宁卷）已知,其中,设,.(i) 写出;(ii) 证明:对任意的,恒有.【解析】(i)由已知推得,从而有(ii) 证法1:当时, 当x>0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的因此结论成立.证法2: 当时, 当x>0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以

3、在-1,0上为减函数所以对任意的又因所以因此结论成立.证法3: 当时, 当x>0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的由对上式两边求导得因此结论成立.考点解析：二项式定理、不等式放缩；注意：恒成立问题的一般思想。3.（06年湖南）已知函数, 数列满足: , , (1)求证： ; (2) 求证： .证明: （1）先用数学归纳法证明，1,2,3,当n=1时,由已知显然结论成立.-1分 假设当n=k时结论成立,即.-2分因为0<x<1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在0,1上连续,从而.故n=k+1时,结论成立.- -5

4、分由，可知，对一切正整数都成立. -6分（2）要证：在时成立.所以构造函数，证明在上时恒成立.（下求的最小值）设函数，-8分从而-（*） -9分由（1）知，当时，所以所以所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在0,1上连续,且g (0)=0,所以当时，g (x)>0成立.于是故-12分考点解析：数学归纳法证明不等式，构造函数证明不等式。4.（2007年湖南）已知为正整数，（i）用数学归纳法证明：当时，；（ii）对于，已知，求证：（iii）求出满足等式的所有正整数本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力解法1：（）证：用

5、数学归纳法证明：（）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综合（）（）知，对一切正整数，不等式都成立（）证：当时，由（）得，于是，（）解：由（）知，当时，即即当时，不存在满足该等式的正整数故只需要讨论的情形：当时，等式不成立；当时，等式成立；当时，等式成立；当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立综上，所求的只有解法2：（）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当，且时，（）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式

6、成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，因为，所以又因为，所以于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综上所述，所证不等式成立（）证：当，时，而由（），（）解：假设存在正整数使等式成立，即有又由（）可得，与式矛盾故当时，不存在满足该等式的正整数下同解法15（07年福建卷）（本小题满分14分）已知函数（）若，试确定函数的单调区间；（）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（）设函数，求证：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力满分14分解：（）由得，

7、所以由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是（）由可知是偶函数于是对任意成立等价于对任意成立由得当时，此时在上单调递增故，符合题意当时，当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，依题意，又综合，得，实数的取值范围是（）， 由此得，故6.（2006年高考·陕西卷）已知函数，且存在，使。（i）证明：f(x)是r上的单调增函数；（ii）设，其中n=1，2，证明：；（iii）证明：。【解】（i），f(x)是r上的单调增函数。（ii），即。又f(x)是增函数，。即。又，综上，。用数学归纳法证明如下：（1）当n=1时，上面已证明成立。（2）假设当n=k（k1）时有

8、。当n=k+1时，由f(x)是单调增函数，有，。由（1），（2）知对一切n=1，2，都有。（iii）。由（ii）知。，。7.已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且（1）求的通项公式；（2）设数列满足，并记为的前n项和，求证：（）解：由，解得a11或a12，由假设a1s11，因此a12。又由an+1sn+1- sn，得an+1- an-30或an+1-an因an0，故an+1-an不成立，舍去。因此an+1- an-30。从而an是公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项为an3n-2。（）证法一：由可解得；从而。因此。令,则。因，故.特别的。从而，即。证法二：同证法一求得bn及tn。由二项

9、式定理知当c0时，不等式成立。由此不等式有。证法三：同证法一求得bn及tn。令an，bn，cn。因，因此。从而。【高考预测】在2008年高考中,数列解答题的命题热点是与不等式交汇,呈现递推关系的综合性试题.其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列解答题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列的应用性解答题.1.已知数列an满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：（）求当a为何值时a4=0；（）设数列bn满足b1=1, bn+1=，求证a取数列bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列an；（）若，求a的取值

10、范围. 本题主要考查数列不等式的基础知识，考察逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力（i）解法1：解法2（ii）所以数列只能有n项为有穷数列（iii）解法一：因为所以 这就是所求的取值范围解法二：为运算方便，引入fibonacci数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233令当n1时，fn+2- fn+1 fn，而 容易观察得到 特别地，所以，当时，对于， 由恒成立；所以 所以这就是所求的取值范围2.已知函数的图象按向量平移便得到函数的图象,数列满足(1)若(2)若中是否存在最大项与最小项,若存在,求出最大项与最小项,若不存在,说明理由;(3)若试证明:.解:(1

11、)则,所以数列-4分(2)由(1)知,数列,由构造函数函数.故存在最大项和最小项. 8分(3)先用数学归纳法证明()当n=1时,()假设当综合()()有,命题对任意的都成立,即,综上所述: . 12分3.已知数列 （1）求数列的通项公式. （2）设数列的前n项和为sn，证明sn<nln(n+1). （3）设，证明：对任意的正整数n、m，均有.22解：（1）因为4分 （2）设f(x)=ln(x+1)x(x>0) （3）因为 又因为n2时，bn>0，并且b1=0，所以. 所以对任意的正整数n、m，均有|bnbm|的最大值为： = 所以对任意的正整数n、m，均有14分4.已知数列a

12、n，bn满足al，(1an)an1，bnan，nn* ( i )求数列bn的通项公式； ()求证：<n解：（）由得，将an代入，得.2分, .4分.6分()由（1）知.8分.10分. 12分5. 数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.()求数列的通项公式；()设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，2.71828）和任意正整数，总有 2；() 正数数列中，.求数列中的最大项. （）解：由已知：对于，总有 成立 （n 2） -得均为正数， （n 2） 数列是公差为1的等差数列 又n=1时， 解得=1.() （）证明：对任意实数和任意正整数n，总有. ()解：由已知 ， 易得 猜想 n2 时，是递减数列. 令当在内为单调递减函数.由.n2 时, 是递减数列.即是递减数列.又 , 数列中的最大项为. 6.已知点列满足：，其中，又已知，.(1)若，求的表达式；(2)已知点b，记，且成立，试求a的取值范围；(3)设（2）中的数列的前n项和为，试求： 。解：（1），4分 （2），. 要使成立，只要，即为所求 9分（3） ， ， 14分7已知函数（为自然对数的底数）（1）求函数的最小值；（2）若，证明：（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）（1）解：，令