常见曲线的参数方程经典实用

1、常见曲线的参数方程常见曲线的参数方程1 旋轮线 2 旋轮线也叫摆线3 旋轮线是最速降线 4 心形线 5 星形线 6 圆的渐伸线 7 笛卡儿叶形线 8 双纽线9 阿基米德螺线 10 双曲螺线常见曲线的参数方程xa曲线曲线, ,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。1. 1. 旋轮线旋轮线一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的常见曲线的参数方程x来看动点的慢动作来看动点的慢动作.常见曲线的参数方程2a2 a0yx ax = a (t sint)y = a (1 cost)t t 的几何意义如图示的几何意义如图示

2、ta当当 t 从从 0 2 ，x从从 0 2 a即曲线走了一拱即曲线走了一拱a.参数方程参数方程常见曲线的参数方程toacaxymsin(sin )xacomta ttcos(1cos )yocomtat这就是旋轮线的参数方程。这就是旋轮线的参数方程。常见曲线的参数方程将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板2.2. 旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线常见曲线的参数方程.常见曲线的参数方程两个旋轮线形状的挡板两个旋轮线形状的挡板, , 使摆动周期与摆幅完全无关。使摆动周期与摆幅完全无关。在在17 17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称世纪，旋轮线即以此性质出名

3、，所以旋轮线又称摆线摆线。常见曲线的参数方程ba答案是：答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题最速降线问题: : 质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点a滑到固定点滑到固定点b，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？当曲线是什么形状时所需要的时间最短？3. 3. 旋轮线是最速降线旋轮线是最速降线生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗？常见曲线的参数方程ba常见曲线的参数方程ba常见曲线的参数方程ba滑板的轨道就是这条曲线滑板的轨道就是这条曲线.常见曲线的参数方程xyoaa一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑无滑动地滚动，动圆圆周上动

4、地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。任一点所画出的曲线。4.4. 心形线心形线( (圆外旋轮线圆外旋轮线) )常见曲线的参数方程xyoa来看动点的慢动作来看动点的慢动作.a常见曲线的参数方程xyoaa2a来看动点的慢动作来看动点的慢动作.常见曲线的参数方程xyo2ap r.r = a (1+cos)参数方程参数方程常见曲线的参数方程xyoa4a a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆滚动，动圆圆周上任一点周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。5.5.星形线星形线( (圆内旋轮线圆内旋轮线) )常见曲线的参数方程xyoa a来看动点的慢动作来看动点的慢动作. .常见曲线

5、的参数方程xyoa a来看动点的慢动作来看动点的慢动作.常见曲线的参数方程xyo323232ayx 33sincosayaxa a0 2 极坐标方程为.p .直角坐标方程为：直角坐标方程为：.常见曲线的参数方程 )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动） 直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹6.6. 圆的渐伸线圆的渐伸线a 参数方程为参数方程为常见曲线的参数方程0 xy.a再看一遍再看一遍常见曲线的参数方程0 xy.a常见曲线的参数方程0 xy.a常见曲线的参数方程a0 xmttaat(x,y) )cos(sin)sin

6、(costttaytttax0 xy试由这些关系推出曲线的方程试由这些关系推出曲线的方程.参数方程为参数方程为常见曲线的参数方程1. 曲线关于曲线关于 y= x 对称对称2. 曲线有渐进线曲线有渐进线 x+y+a = 0分析分析3. 令令 y = t x, 得参数式得参数式 1313323 tatytatx-1) ,(- tt , t 当当, 0 t 当当故在原点，曲线自身相交故在原点，曲线自身相交.,t 由由 当当 ),-(0,0) 动动点点由由,t 由由 当当 (0,0),( 动动点点由由,t 由由 当当(0,0)(0,0) 动动点点由由线线. .依依逆逆时时针针方方向向画画出出叶叶形形)

7、( 00333 aaxyyx7.7.卡儿卡儿形线形线)0 , 0(),( yx)0 , 0(),( yx也也有有4.常见曲线的参数方程0 xyx+y+a = 0曲线关于曲线关于 y= x 对称对称曲线有渐近线曲线有渐近线 x+y+a=0.常见曲线的参数方程即即0 xya2p,2 aff )0 ,( af )0 ,(af ff 与到)(2a r cos2222raar cos2222raar 42222222cos4)()(aarar 2cos222ar 02cos )2 ,47()45,43()4, 0( . .)(2)( 222222yxayx 曲线在极点自己相交，与此对应的角度为曲线在极点

8、自己相交，与此对应的角度为 =,4 ,43 ,45 47 . . . . .距离之积为距离之积为a2的点的轨迹的点的轨迹直角系方程直角系方程8.8.双双线线常见曲线的参数方程0 xya2 2cos222ar .所围面积所围面积4 . )d( rs22a . .由对称性由对称性 dcos a.常见曲线的参数方程0rr =a 曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线9.9. 阿基米德螺线阿基米德螺线常见曲线的参数方程0r.常见曲线的参数方程0r再看一遍再看

9、一遍请问：动点的轨迹什么样？请问：动点的轨迹什么样？.常见曲线的参数方程0r.常见曲线的参数方程0r.常见曲线的参数方程0rr =a .阿基米德螺线阿基米德螺线常见曲线的参数方程r这里这里 从从 0 +8r =a 02 a每两个螺形卷间沿射线的距离是定数每两个螺形卷间沿射线的距离是定数.阿基米德螺线阿基米德螺线常见曲线的参数方程0r8当当 从从 0 r =a .阿基米德螺线阿基米德螺线常见曲线的参数方程 ar r0.这里这里 从从 0 +8a0lim r 极极点点是是曲曲线线的的渐渐近近点点 sinry sin aay 0lim是是曲曲线线的的渐渐近近线线ay .10 10 双曲螺线双曲螺线常

10、见曲线的参数方程 ar r0.当当 从从 0 8a.双曲螺线双曲螺线常见曲线的参数方程xyo例例2 22d)cos1(21230 .s = =1+cos 3r =3cos 部部分分的的面面积积 共共 分分别别所所围围成成的的图图形形的的公公 及及 求求曲曲线线rr coscos 由由 3cos =1+cos 得交点的坐标得交点的坐标 232dcos29 23.常见曲线的参数方程.例例3.3.1 部部分分的的面面积积 共共 分分别别所所围围成成的的图图形形的的公公 及及 求求曲曲线线rr cossin2 0 xy令令 cos2 = 0, k由由 sin 0, 联立后得交点坐标联立后得交点坐标, dcos22146 . . .dsin221260 s = 26 .4 常见曲线的参数方程的的面面积积。部部分分分分割割为为两两部部分分，求求这这两两 被被心心形形线线圆圆 cos11 xyo例例4 41 d)cos( s1s2ss ss .ss = =1+cos 常见曲线的参数方程求由求由双纽线双纽线0 xyar cos.212 2a . .由对称性由对称性.例例5.5.a a6 )()(2 2 所所围围而而且且在