圆锥曲线大题十个大招——弦或弦长为定值、最值问题

1、招式六：弦或弦长为定值、最值问题已知 OFQ的面积为2%；6, OF FQ m（1）设乔 m 4J6,求 OFQ正切值的取值范围;（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点 Q （如图），|OF| c,mg 1)c2 当 |值时，求此双曲线的方程。解析：（1）设OFQ|OF | |FQ | 炉(1 L目-|OF | | fQ |sin22.6tanOQ|取得最小tan 1(2)2设所求的双曲线方程为与 a2y1(a 0,b 0),Q(x,yi),则 FQ(x c,yi)OFQ21OF|y11 2折4.6又OF FQ m , OF FQ (c,0)、.6(为 Gy1)(X1c) c (41 c2

2、Xi296 3c2,12.当且仅当c 4时，|OQ|最小，此时Q的坐标是（J6,而）或（而，J6）6a2a6后b2162ab24匕、工 x2,所求方程为1242y 1.122、已知椭圆1两焦点分别为 R、F>, P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足PF1 PF2 1,过P作倾斜角互补的两条直线PA PB分别交椭圆于A、B两点.(I )求P点坐标；(n )求证直线 AB的斜率为定值;(出)求 PAB面积的最大值.解:(I)由题可得 Fi(0,尤)，F2(0 22),设 Po(Xo,yo)(Xo 0, yo 0)则 PF1 ( Xo，& yo),PFi(Xo,国 yo)，.二 PF；

3、PF； x02 (22242No)1 , ,一点 P(xo,yo)在曲线上，则-241， Xo2,(2 y2) 1,得y。夜.则点P的坐标为(1,72).(n)由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为k(k 0)，则BP的直线方程为:y . 2k(x 1).y2由 22xy万彳k(x 1)得(2 k2)x22k(、2 k)x ( .2 k)20,设 B(Xb4b),则1Xb2k(k2)2 k2,Xb2k(k 2)k2k2 2 2k 22 k2,同理可得Xak2 2 2k 2)k2,则 Xa Xb4、2k2 k2，yAyBk(XA 1)k(XB1)8k-8二.所以：AB的斜率kAB

4、2 k2NayBXaXbJ2为定值.(ID)设AB的直线方程:.2x m3y2 x -22x2y44x2 2 2mx m2 4 0,由 (2,2m)2 16(m2 4)2J2P至lJ AB的距离为d 用，-31则 S Pab 21ABi11 2| m |; (41 m2) 3 11223221221mm 8 2 一Y8m ( m 8)和2一)叵。当且仅当m2<2,2 取等号三角形 PAB面积的最大值为 V2。3、已知椭圆2y 1的左焦点为f, O为坐标原点。(I)求过点O、F,并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分

5、线与 x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围。22解：(I)a2 2,b2 1, c 1,F( 1,0),l:x2. .,圆过点 O、F,1，M（万丈）,则圆半径所求圆的方程为（x -）22(y（II）设直线AB的方程为、 小1，圆心M在直线X 一上。2rk(x方程有两个不等实根。丫直线AB过椭圆的左焦点F,记 A(x, y-)，B(x2,y2), AB 中点 N(x0,yO),则 x1X24k22k21AB的垂直平分线ng的方程为yXo).xg令y 0,得HkXo0,kyo2k22k2 1k22k2 1k22k2 1xG0,44k 2 点G横坐标的取值范围为(2，0).4、已知点A, B的坐标

6、分别是(0, 1),(0,1)，直线 AM , BM相交于点M,且它们的斜率之积为1 . （1）2求点M轨迹C的方程；（2）若过点D2,0的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点 E、F （E在D、F之间），试求 ODE与 ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）解：（1）设点M的坐标为（x, y），: kAM kBM一 ,-1 1 .整理，得工 y2 1( x 0 ),2 x x 2272（2）如图，由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为x sy 2 （s 2）将代入人 y2 1,2整理,得(s2 2)y2 4sy 220 ,解得s22.yiy24s(yiXi,yi , F x2,y2y2)

7、2yi y28s2s2 2解得3 2 2yy22s2一2S OBES OBF8s2-2 s故4 OBE与 OBF面积之比的取值范围是3 2、,2J3olOBI |yi|2 (4,8)且 u至，且0 y2i652 y5、已知椭圆Ci: a222-2i (ab0)的右顶点为 A(i，0),过Ci的焦点且垂直长轴的弦长为i.(i)求椭圆Ci的方程;(II)设点P在抛物线C2：2x h(h R)上，C2在点P处的切线与Ci交于点M，N .当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值.b ib2, a 22 i b i解析：(I)由题意得a2L x2 i所求的椭圆方程为 42(II)不妨设

8、M (xi，yi)，N (x2，y2)，P(t，th)，则抛物线C2在点P处的切线斜率为y 2222的方程为y 2tx t h,将上式代入椭圆Ci的方程中，得4x (2tx t h)4 0,即4 i t2 X2 4t(t2 h)x (t2 h)2 4 0c41tx4t(th)x (t h)4 °,因为直线MN与椭圆Ci有两个不同的交点，所以有i i6 t4 2(h 2)t2 h2 40,2Xi X2t(t h) -x3T2T.一设线段MN的中点的横坐标是 x3,则 22(1 t ) ,设线段PA的中点的横坐标是 x4,则t 1”2,由题意得x3x4,即有 t2 (1 h)t 10,其中的2 (1h)240，h 1或h 3；o/ -, 4，2, 2,