计算结构力学第二章课堂课资

1、第二章第二章 功能原理功能原理计算结构力学计算结构力学1章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页1、静力法推导桁式单元的单元刚度矩阵已较为麻烦，复杂、静力法推导桁式单元的单元刚度矩阵已较为麻烦，复杂单元就更为困难只能求助于功能原理。单元就更为困难只能求助于功能原理。2、静力法推导结构刚度矩阵也很困难，由功能原理可推导、静力法推导结构刚度矩阵也很困难，由功能原理可推导出组装结构刚度矩阵的直接刚度法。出组装结构刚度矩阵的直接刚度法。3、处理单元荷载。、处理单元荷载。4、由于实际问题的复杂性，用静力法往往较为困难，求助、由于实际问题的复杂性，用静力法往往较为困难，求助于功能原理可以求得各种问题的精确

2、解或近似解。于功能原理可以求得各种问题的精确解或近似解。5、了解功能原理和力学上的平衡原理、了解功能原理和力学上的平衡原理(或变形协调原理或变形协调原理)的的等价性。等价性。2-1 2-1 概述概述: :学习功能原理的目的学习功能原理的目的一、基本知识一、基本知识2章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页 1、静力加载、静力加载(比例加载比例加载)。 2、应变能：弹性体因受外力作用变形而具有恢复原状态、应变能：弹性体因受外力作用变形而具有恢复原状态的能力，即具有做功的能力，又称为的能力，即具有做功的能力，又称为形变势能形变势能。 3、功能方程、功能方程(前提：静力加载；无耗散功前提：静力加载；

3、无耗散功q=0)：在：在微小的微小的t 内，荷载在结构位移上所作的功全部转变为应变内，荷载在结构位移上所作的功全部转变为应变能：能：w=u。 4、总势能：结构的形变势能、总势能：结构的形变势能+荷载势能荷载势能=u+v二、先修有关概念二、先修有关概念3章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页 1、虚位移：为约束所允许的，在平衡附近的，、虚位移：为约束所允许的，在平衡附近的，可任意虚设的微小位移。所谓可任意虚设的微小位移。所谓虚虚，并非指不存在，并非指不存在，而是指与实际的力态独立无关。而是指与实际的力态独立无关。 2、理想约束：实际力态的约束力在虚设的位移、理想约束：实际力态的约束力在虚设的位

4、移态上所做的功恒等于零的那种约束。态上所做的功恒等于零的那种约束。 3、虚功、虚功 w*=f u* (1)虚功并非不存在，只是强调功的两要素独立无虚功并非不存在，只是强调功的两要素独立无关。关。2-2 2-2 虚位移原理虚位移原理一、几个概念一、几个概念4章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页4、虚应变能、虚应变能(内力虚功、虚变形能、虚变形功内力虚功、虚变形能、虚变形功)。 式中：式中：力：力f所引起的应力所引起的应力(力态力态)； *：虚位移：虚位移u* 所引起的虚应变所引起的虚应变(虚设的位虚设的位移态移态)。*vudv (2)5章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页虚位移原理的叙述

5、：弹性结构处于平衡状虚位移原理的叙述：弹性结构处于平衡状态的必要与充分条件是对于任意微小的态的必要与充分条件是对于任意微小的虚位移，虚位移，外力所作的虚功外力所作的虚功w*等于虚变形功等于虚变形功u* ( (虚应变虚应变能，内力虚功能，内力虚功) )。研究对象：实际的力态。研究对象：实际的力态。虚虚 设：位移态设：位移态(满足变形协调条件满足变形协调条件)。 于是，虚功原理可表述为：于是，虚功原理可表述为： 体系平衡体系平衡 w*=u* (3) 其中其中：在虚设的任一几何可能的位移态上。：在虚设的任一几何可能的位移态上。二、虚位移原理及其证明二、虚位移原理及其证明6章节内容首页首页上页上页返回

6、返回下页下页证明：证明： 以最简单的杆件结构为例，如图：以最简单的杆件结构为例，如图：杆端力：结点对单元的作用力。杆端力：结点对单元的作用力。结点力：杆端对结点的作用力称为结点力：杆端对结点的作用力称为结点力。结点力。杆端力和结点力是作用力和反作用杆端力和结点力是作用力和反作用力。力。对结点对结点1，由平衡条件，由平衡条件x=0:p1-f12=0对结点对结点2，由平衡条件，由平衡条件x=0:p2-f21-f23=012123,p12ea1ea21p1f12f1212f212p2f21f23f232*1u*2u(4)7章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页外力虚功为：外力虚功为： 式中：式中：

7、表示微小，表示微小，* 表示虚设。表示虚设。虚应变能为：虚应变能为：*1122wpupu23*1223*12*212121232*121212232()0()undxndxndundufufufufufufu 8章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页*1122121212232*1121221232*()()(4)wuwup up ufufufupfupffuwu证证必必要要性性：体体系系平平衡衡式式的的平平衡衡方方程程成成立立必必要要性性得得证证*1121221232*1211222123()()0004wuwupfupffuuupfpff证证充充分分性性：体体系系平平衡衡又又、可可任任意

8、意假假设设，且且不不全全为为零零，故故要要上上式式成成立立，必必须须有有因因上上式式即即为为平平衡衡方方程程（ ）式式，故故充充分分性性得得证证。注意注意: :虽然是就上述特虽然是就上述特殊情况进行的证明，殊情况进行的证明，但可推广到其它的受但可推广到其它的受力状态及由若干个单力状态及由若干个单元所组成的弹性结构。元所组成的弹性结构。9章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页关于虚位移原理的讨论：关于虚位移原理的讨论： 1、仍然是一个、仍然是一个(虚功虚功)体系，两个状态；体系，两个状态； 2、力态静力可能的证明，建立在位移态、力态静力可能的证明，建立在位移态(虚设虚设)的几何可能上；的几何可

9、能上； 3、若力态转换成位移表达式，则要求力态变、若力态转换成位移表达式，则要求力态变形协调；形协调； 4、力态和虚设的位移态一定是独立无关。、力态和虚设的位移态一定是独立无关。10章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页2-3 虚应变能与外力虚功虚应变能与外力虚功利用虚位移原理于具体问题时，必须利用虚位移原理于具体问题时，必须列出虚应变能列出虚应变能u*和各种荷载的外虚功和各种荷载的外虚功w*，本节以平面杆系为例，具体介绍本节以平面杆系为例，具体介绍虚位移、虚位移、虚应变、虚应变能、外力虚功虚应变、虚应变能、外力虚功的概念及表的概念及表达式。达式。一、虚应变能一、虚应变能11章节内容首页首页

10、上页上页返回返回下页下页这里，这里，“*”表示表示“虚设虚设”，为一阶变分算子，为一阶变分算子，“”与与“d”的运算规律相同，意义类似，的运算规律相同，意义类似，亦可看成是亦可看成是“微微小小”。3 3、虚应变能、虚应变能( (内力虚功内力虚功) )1 1、虚位移、虚位移2 2、虚应变、虚应变忽略剪切应变忽略剪切应变*zzdvdx *zuv (5)*2*2xzdudxdvdx(6)12章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页1）、轴向拉压）、轴向拉压实际的力态实际的力态x；虚设的位移态；虚设的位移态u*，所引起，所引起的虚应变为的虚应变为*0()()xlxxld udxd uduuadxead

11、xdxdx(7)13章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页2）、弯曲）、弯曲实际的力态实际的力态mz；虚设的位移态；虚设的位移态*(),zzdvvdx、且2*2*220()()lzzldvd vumdxeidxdxdx则则(8)14章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页对于三维应力状态。设实际的力态为：对于三维应力状态。设实际的力态为：虚设的位移态为：虚设的位移态为：则虚应变能为则虚应变能为:对于仅考虑拉压、弯曲的杆件，由小变形假设，对于仅考虑拉压、弯曲的杆件，由小变形假设，故可分开表示为：故可分开表示为： *xyzxyyzzx tyzxyyzzxx x*() txvudv(9)15章节内

12、容首页首页上页上页返回返回下页下页与前述单独变形的结果一致。与前述单独变形的结果一致。 *22*22022*2220()() ( )() ( )()()()()* ()()()() (vxxvxxvxxvlxxvvludvdvdvydvddddudd vu eadxvy ey dvr grdvdxdxdxdxdxdxdddudd vu eadxv ey dadxdxdxdxdx总总弯弯扭 扭轴轴*2022*2200)()()()(lxxalalllxxzpdgr dadxdxdxddddudd vu eadxv eidxgjdxdxdxdxdxdxdx16章节内容首页首页上页上页返回返回下页下

13、页1、集中荷载情况、集中荷载情况实际的力态实际的力态pi虚设的位移态虚设的位移态 则则2、分布荷载情况、分布荷载情况实际的力态实际的力态q(x)虚设的位移态虚设的位移态则则3、既有、既有1又有又有2的情况，则的情况，则w*为为1与与2之和。之和。*1iniiiwp*( )()lxwqdx(10)(11)二、外力虚功二、外力虚功17章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页2-4 虚位移原理的应用虚位移原理的应用应熟练了解运用虚位移原理的前提条件。应熟练了解运用虚位移原理的前提条件。 虚位移原理的研究对象是实际的力态，虚位移原理的研究对象是实际的力态，实际力态的平衡关系以及实际力态中力与位实际力态

14、的平衡关系以及实际力态中力与位移之间的关系。为此，移之间的关系。为此，需任意虚设一位移态，需任意虚设一位移态，此位移态一定要几何可能。此位移态一定要几何可能。18章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页杆件位移态的几何可能条件杆件位移态的几何可能条件*12*12*122*12*(),(0),( )(),(0),( )();(0),( )(),(0),( )()xxxxxxzzzzzzzzduuuu ludxdldxdvvvv lvdxdvldxdvdx 对对轴轴向向变变形形杆杆件件：对对受受扭扭杆杆件件：对对受受弯弯杆杆件件：且且虚虚剪剪应应弯弯*0(euler梁梁) )19章节内容首页首页上

15、页上页返回返回下页下页主要应用：主要应用： 1、推导各类单元的刚度矩阵，将在后面章节、推导各类单元的刚度矩阵，将在后面章节重点介绍；重点介绍； 2、求结构内力与位移，注意方法过程，详请、求结构内力与位移，注意方法过程，详请参考结构力学教程，运用中应特别注意参考结构力学教程，运用中应特别注意u*、 v*为任意虚设的位移，为任意虚设的位移，u、v为实际的位移，两种为实际的位移，两种位移应独立无关。位移应独立无关。20章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页式中式中h2i称为转移系数，称为转移系数，具体可求出。现求：仅当具体可求出。现求：仅当发生变形发生变形e2时，求相应时，求相应的的i(如图如图)

16、。为此，可虚设此位移为此，可虚设此位移态，则力态的外力在此位态，则力态的外力在此位移态上的外力虚功为：移态上的外力虚功为：w*=pii虚位移原理应用举例虚位移原理应用举例设仅有设仅有pi=1时，在单元中引起的内力的时，在单元中引起的内力的h2i；则由；则由于为线性结构，当为于为线性结构，当为pi时，时， 中内力为中内力为 f2=h2ipi (12)176523412ii+1p( )niip( )nnp ( )n+1n+1215i1i76234图 2.2e2nn1i+121章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页虚变形功为：虚变形功为： u*=f2e2=h2ipie2由虚位移原理由虚位移原理 w

17、*=u*便有便有 pii=h2ipie2最后得最后得 i=h2ie2 (13)这就是应用虚位移原理的实例。这就是应用虚位移原理的实例。22章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页即当单元有单位变形时，未知量即当单元有单位变形时，未知量i方向方向上的位移亦为上的位移亦为h2i，因此可说系数，因此可说系数h2i是把是把pi“转转移移”为中内力为中内力f2的系数，或者说是把单元的系数，或者说是把单元的变形的变形“转移转移”为为i方向位移的系数。这是方向位移的系数。这是很重要的概念很重要的概念 (逆步变换的概念逆步变换的概念)，反映了结，反映了结构本身的属性。构本身的属性。23章节内容首页首页上页上页

18、返回返回下页下页力和位移、应力和应变均称为结构分析力和位移、应力和应变均称为结构分析中的中的对偶参数对偶参数，本节主要完善，本节主要完善虚功的对偶性虚功的对偶性原理原理。介绍虚力原理的目的：介绍虚力原理的目的：导出柔度矩阵，作为在特殊情况下推导导出柔度矩阵，作为在特殊情况下推导刚度矩阵的补充，其它应用情况暂略。刚度矩阵的补充，其它应用情况暂略。研究对象：实际的位移态。研究对象：实际的位移态。虚设状态：任一静力可能的力态。虚设状态：任一静力可能的力态。2-5 2-5 虚力原理简介虚力原理简介24章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页与外力虚功对应的是虚余功：与外力虚功对应的是虚余功： (1)与

19、虚应变能对应的是虚应变余能：与虚应变能对应的是虚应变余能： (2) *1*tccvcvudvedv*cwf25章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页弹性结构处于变形协调状态的必要与弹性结构处于变形协调状态的必要与充分条件是：对于平衡的任意虚力系在结充分条件是：对于平衡的任意虚力系在结构实际位移上所作的虚余功等其虚应变余构实际位移上所作的虚余功等其虚应变余能。即：能。即： (3)其中其中：在任一静力可能的虚力态上。：在任一静力可能的虚力态上。*ccwu 体系变形协调虚力原理虚力原理26章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页 2-6 2-6 能量原理能量原理介绍结构在外力和在该外力所引起的位介

20、绍结构在外力和在该外力所引起的位移及变形上的功能情况。移及变形上的功能情况。主要内容包括主要内容包括 ：结构总势能，势能驻值原理：结构总势能，势能驻值原理和势能极小原理。和势能极小原理。1、结构总势能的定义、结构总势能的定义以杆件为例以杆件为例=u+v=u-w(1)27章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页可知可知w是位移的二次函数；由于应变和位移是位移的二次函数；由于应变和位移是线性关系，故是线性关系，故u亦是位移的二次函数。亦是位移的二次函数。（2）（3）（4）0002:1:()()21122liivvvvvwqdxpudude dududvdvedv 其其中中外外力力势势能能外外力力

21、势势 能能线线弹弹性性28章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页112.(),.0(5)(6)(),(5),0(1,2, )(7)ininiin 势势能能驻驻值值原原理理平平衡衡条条件件虚虚位位移移原原理理在在弹弹性性结结构构 线线性性或或非非线线性性 的的一一切切可可能能位位移移中中 真真实实位位移移总总是是使使势势能能取取驻驻值值 即即证证明明见见结结构构力力学学教教程程。鉴鉴于于虚虚位位移移 可可能能位位移移 的的任任意意性性 要要使使式式成成立立 就就应应有有29章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页3、势能极小原理、势能极小原理 即：对于稳定平衡，真实位移总是使即：对于稳定平衡，

22、真实位移总是使取极小值。取极小值。(证明证明参见结构力学教程参见结构力学教程)p1p2p3p43:.:()(8),0(9)(10)iiiiiuvupupup 例例 推推导导材材料料力力学学中中的的卡卡氏氏定定理理解解 结结构构总总势势能能为为适适用用所所有有弹弹性性结结构构当当平平衡衡时时 有有30章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页22.,()(11):(12).,0,0(13)iijjiijjiijjiiupkiuukkp 卡卡氏氏第第一一定定理理可可运运用用于于线线弹弹性性和和非非线线弹弹性性材材料料对对于于线线弹弹性性结结构构由由于于刚刚阵阵第第 列列再再求求导导这这就就证证明明了

23、了刚刚度度矩矩阵阵的的对对称称性性对对于于线线性性结结构构当当取取力力为为求求知知量量时时由由于于亦亦可可推推得得31章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页2:0:()(14),()(15)(16).iiiiiijjiijjiijupvpupipup p 亦亦有有亦亦即即卡卡二二定定理理卡卡二二定定理理只只适适用用于于线线性性结结构构 并并由由于于柔柔阵阵第第 列列再再求求导导便便得得证证明明了了柔柔度度系系数数的的对对称称性性32章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页2-7 2-7 互等定理互等定理1、功的互等定理、功的互等定理 当结构处于线弹性状态时，力当结构处于线弹性状态时，力p1在由在由p2所引起的位移上所作的虚功等于力所引起的位移上所作的虚功等于力p2在由力在由力p1所引起的位移上所作的虚功，即所引起的位移上所作的虚功，即p1t2=p2t1(1)p11p22图 2.433章节内容首页首页上页上页返回返回下页下页