用分离变量法解常微分方程

1、创作编号:BG7531400019813488897SX 创作者用分离变量法解常微分方程1直接可分离变量的微分方程 11形如(1.1)的方程，称为变量分离方程，这里/(小 曲)分别是的连续函数如果0(y)HO,我们可将(1.1)改写成% /W 心)，0(y)这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到通解：f = f(x)c/x +cJ <p(x) J(1.2)其中，c表示该常数，J缶，j fxdx分别理解为#石，/(x)的原函数. 常数c的取值必须保证(1.2)有意义使e(y) = O的)，=儿是方程(1.1)的 解.例1求解方程>l-x1dy + yj-y2dx = 0的通解.第

2、1页共14页解：(1)变形且分离变量:(2)两边积分:arcs in y =-arcsinx + c.可以验证y = ±l也是原方程的解，若视x和y是平等的，则x = ±也是原方 程的解.我们可以用这个方法来解决中学常见的一些儿何问题.例2曲线厶上的点P(x, y)处的法线与x轴的交点为Q ,且线段P0被y 轴平分.求曲线L的方程.分析:这是一个利用儿何条件来建立微分方程的例子.先建立法线P0 的方程，用大写的(X,Y)表示法线上的动点，用小写的表示曲线厶上的点, K法为过点P(x,y)的法线的斜率.解：山题意得1从而法线PQ的方程为r-y = -l(X-x).久PQ被y轴

3、平分，PQ与y轴交点M的坐标为代入上式，得y1片_y =(0-x)2整理后，得第2页共14页yy = -2x,分离变量，解得其中c为任意正数，如图12变量可替换的微分方程通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程下面，我 们再介绍儿种可化为变量分离方程的类型：2.1齐次方程形如驚厶)(1.3)的微分方程，称为齐次微分方程.这里卩(“)是“的连续函数.对方程(1.3)做变量变换(1.4)创作编号:BG7531400019813488897SX创作者：别如克*即y = iix于是dy du=x+ U dx dx(1.5)将(1.4), (1.5)代入(1.3),则原方程变为duz、x +

4、 u =(p(u), dx整理后，得到dx x(1.6)方程（1.6）是一个变量分离方程可按前面（11）的方法求解，然后代回原来的变量，便得到（13）的解.例3求微分方程y2+x2 的通解. dx dxdx解：原方程化为（与7诜=于 （y I），dydx 2-iX于是,XU ,将=H + 代入该方程，得 dx dxduu2u + x=dx u 一 1整理,即有du u x一 = 一u一 ll =dx u -1“ 一 1分离变量，得a（心0）, uX两边积分，得it 一 In u = In x + In C,将w=-代回来,X2- = ln ZX= ln(qy),cxy = ex ,即yy =

5、ce7f其中c为任意常数.另，“ =0即y = 0也是原方程的解，但此解课包含于通解c = 0之中.故, 方程的通解为y =2. 2形如dy _ qx + Wy+ qdx a2x + b2y + c2(1.7)的方程，这里ara2Jb2c2均为常数.此方程经变量变换可化 为变量分离方程.我们分三种情形来讨论：2.2.1 ¥ = J = = H常数)的情形肉 b2 C2这时方程化为dx有通解y = kx+c,其中C为任意的常数.2.2.2虫=工*工乞的情形. b2c2令” =a2x + b2y、这时有du. (ly, ku + c.dx -2 dx 是变量分离方程.第8页共14页2.2

6、.3学H工的情形.b S如果方程(2.1)中C2不全为零，方程右端分子、分母都是如y的一次 多项式，因此(x + b2y + c = 0 ,YJa2x + b2y + c2 =0.(1.8)代表O心平面上两条相交直线，设交点(久0).若令r X= x-a,yt y-0.则（2.2）化为alX+blY = O,从而（2. 1）变为因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程(2.1)的解. 如果方程(2. 1)中=0可不必求解(2.2),直接取变换u =-即X可.上述解题的方法也适用于比方程(2.1)更一般的方程类型空=f( qx + Zy + q、dx a2x + b2y + c2例

7、4求解方程dy _ 2x-2y+ 3 dx 6a+ 6y-7第6页共14页（2.0）解：解方程组 2x - 2y + 3 = 0, 6x + 6y - 7 = 0,14x = -,y =-6 3创作编号:BG7531400019813488897SX创作者：别如克*于是，令丁 X-右代入方程（2.4）,则有dy 2X2YL dx 6X+6Y(2-1)V再令,即Y = uX ,X则（2.5）化为dX _+uX 1 - 2w - it2U U 9两边积分，得In X" = -In u1 +2u -1 +c ,因此X2(zr+2/f-l)=±Z =q,代回原变量，得Y2 +2XY

8、-X2 =c9因此，方程（2.3）的通解为47x = c18其中，c为任意常数.通过上述的求解，我们发现以上的方法是非常的准确的，但是对于像 例5这种形式的的方程，我们发现还可以用另一种方法一一凑微分进行求 解.凑微分当方程dy _ qx + bp+ 5 dx a2x + b2y + c2满足：a = b2(2.2)时，方程会有更简便的求解方法（全微分的知识的运用）.即：将“-仇代入方程卜空予m中，ax a2x + h2y + c2dy _ ax + a2y + c dx a2x + b2y + c2即(aAx + hy + c dx = (a2x + b2y + c2 )dy展开，得axxd

9、x + b ydx + cdx = a2xdy + b2 ydy + c2dy(2.3)有条件(2.6)可知，a2d(xy) = a2xdy + a2ydx = a2xdy -bdx(2.4)将(2.8)代入(2.7)中，得d(2a2xy + b2y2 +2c2y-alx2 -2clx) = 0.很显然，这是一个全微分方程，从而原方程的通解为2a2xy + b2y2 +2c2y-alx2 -2qx = C ,其中 C为任意常数.例5求解方程空=dx x-y + S解法一:该方程属于(2.2.2)的情形.于是,令u=x-y. WJ du =dx-dy 所以，原方程可化为du _ 3dx U +

10、8这是一个分离变量方程.整理可得ir +1 6m = 6x 将“ = 代入，可得(x- y)2 +16(x-y) = 6x即，通解为x2 +y2 -2xy+10x-6y = c.其中 c 为任意常数.观察例6可以发现，方程也满足条件(2. 6),于是用凑微分的方法同样 可以求解.解法二：原方程变形为(x y + 8)心=(x y + 5)dx 整理得(xdy + ydy) ydy + 8dy 一 xdx 一 5dx = 0 所以d（xy-y2 +8一卜2 -5x） = 0.两边积分，得原方程的通解为xy-y2+Sy-x2-5x=C,其中C为任意常 2 2数.以上的两种方法都是求解微分方程的常用

11、方法，下面再介绍儿种比较常见的课分离变量的方程.2.3形如 学=嘉/（“/+/7严+。）的方程也可以经变量变换化为变量分 dx yp离方程,这里的,C均为常数.做变量变换这时有y =空=“.0.兀小+0.方.屮-./(“)dxdxT-r = xadx dQ + 0b/(“)是变量分离方程.而当a = p = 1时，=f（ax+by + c）为其特殊形式. dx例7求解方程 = + xy + -.dx yy解:因为dy x3x=+ xy + , dxyy(2. 5)可以化为创作编号:BG7531400019813488897SX 创作者于是，令u=x2 +y2 +1.(2. 6)则dx dx(2

12、. 7)将(2. 9)代入(2. 11)可以知道，这是一个分离变量方程.即!du = xdx.2u + 2两边同时积分，得ln(H + l) = x2 +C.(2. 8)再将(2. 10)代入(2. 12),得ln(x2 + y2 +2)=x2 +q.所以疋 + y 2 + 2 =討+“整理得，x2+r+2=c其中C为任意常数.2. 4其他几种变量能分离的方程类型第15页共14页2. 4. 1形如yfxy)dx + xg(xyly = 0, (2. 9)的方程同样可已经变量替换化为变量分离方程.将(2. 13)变形为(3.0)dy _ Xg(xy)做变量替换u =xy 这时有, xdu 一 u

13、dx(3. 1)a) > "»将(2. 15)代入(2. 14)中,得曲)du ug(u)-uf(u)=Ldx X是变量分离方程.2. 4. 2形如(3. 2)丘罕='dx的方程是变量分离方程.做变量替换u = Ay，则(3. 3)dy xdu _ udxdxx1，第12页共14页代入原方程，得 du = dx 是变量分离方程.2. 4. 3形如(3.4)的方程是变量分离方程.做变量替换则，有x将(2. 19)代入(2. 18)中，得dy = x2du + 2xudx ,(3.5)；clu = dx ,/(")一2“ x所以，原方程同样是变量可替换方程.2. 4. 4形如(3.6)卜W(其中&、0满足Q0=a-0)的方程可令方程(2. 20)化为齐次方程第19页共14页1/ -aaZ+ bQ + 1*dz clx事实上,由于 所以 即=axa +by0 = axa +加""=axa +bza , dx(a + )za = uxa +hza ,dxdz _1dx (a + 1)再，设w=±,可化为变量分离变量.除此之外，还有一些一般形式