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1、数论初步(一)整数的整除性定义:设a,b为二整数,且b,如果有一整数c,使abc,则称b是a的约数,a是b的倍数,又称b整除a,记作b|a.显然,能整除任意整数,任意整数都能整除.性质:设a,b,c均为非零整数,则若c|b,b|a,则c|a.若b|a,则bc|ac若c|a,c|b,则对任意整数m、n,有c|manb若b|ac,且(a,b)1,则b|c证明:因为(a,b)1则存在两个整数s,t,使得 asbt1 ascbtcc b|ac Þ b|asc b|(ascbtc) Þ b|c若(a,b)1,且a|c,b|c,则ab|c证明:a|c,则cas(sz)又b|c,则cbt
2、(tz)又(a,b)1 sbt'(t'z)于是cabt'即ab|c若b|ac,而b为质数,则b|a,或b|c(ab)|(anbn)(nn),(ab)|(anbn)(n为奇数)整除的判别法:设整数n.2|a12|n , 5|a1 5|n.3|a1a2an 3|n 9|a1a2an 9|n.4|4|n 25| 25|n.8|8|n 125|125|n7|7|n11|11|n11|(a2n1a2n1a1)(a2na2n2a2) 11|n13|13|n推论:三个连续的整数的积能被整除.例题:1.设一个五位数,其中db3,试问a,c为何值时,这个五位数被11整除.解:11| 11
3、|acdba即11|c3 c81a9,且az2.设72|,试求a,b的值.解:728×9,且(8,9)1 8|,且9| 8| Þ b6且 9|a6736即9|22a a53.设n为自然数,a3237n632n855n235n,求证:1985|a.证明:1985397×5a(3237n632n)(855n235n) (3237632)×u(855235)×v(u,vz) 5×521×u5×124×v5|a又a(3237n855n)(623n235n) (3237855)×s(623235)
4、5;t(s,tz)397×6×s397×t 397a又(397,5)1397×5a即1985a4.证明:没有x,y存在,使等式x2y21995(x,yz)成立.证:假设有整数x,y存在,使x2y21995成立。x2,y2被除余数为或.x2y2被除余数为,或. 又1995被除余数为.得出矛盾,假设不成立.故没有整数x,y存在,使x2y21995成立.费马小定理:若p是素数,(m,p)1则 p|mp115.试证:9999能被13整除.12个证明:1019,100199,101219999. 12个又(10,13)=1 13(101311),即13(10121
5、) 13 9999. 12个6.请确定最小的正整数a,其末位数是6,若将未位的6移至首位,其余数字不变,其值变为原数的4倍.解:设该数为a,其中a16令x则ax·106于是4a6×10n1x即有4×10x246×10n1x x (2,13)1,x是整数 13|(10n14)n1,2时,10n1410显然不满足条件n3时,10n1496 不满足条件n4时,10n14996 不满足条件n5时,10n149996不满足条件n6时,10n1499996 满足条件 x15384即a1538467.一个正整数,如果用进制表示为,如果用进制表示为,请用10进制表示这个数.解:由题意知:0a,c4,0b4,设这个正整数为n,则na×72b×7c, n=c×52b×5a 49a7bc25c5ba 48a2b24c0 b12(c2a) 12b,又0b4b0, c2a 当a1,c2时,n51 当a2,c4时,n102练习:1.证明:设n1988198819861986,则1987n2.设n是自然数,求证n5n可被30整除.3.请确定最小的正整数a,其末位数为2,若将末位
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