圆锥曲线离心率浙江省宁波市北仑中学2020高三数学二轮复习专题训练

1、圆锥曲线专题之求离心率的值或范围策略一：根据定义式求离心率的值在椭圆或双曲线中，如果能求出的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中；双曲线中.所以只要求出值即可求离心率.1.己知斜率为1的直线与双曲线：相交于两点，且的中点为，则曲线的离心率_.2.已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）. 3.已知中心在原点，焦点在轴上的一椭圆与圆交于两点，恰是该圆的直径，且直线的斜率，则椭圆的离心率为_.4.已知双曲线，双曲线上一动点到两条渐近线的距离乘积为，则曲线的离心率为_.策略二：构造的关系式求离心率根据题设条件，借助之间的关系

2、，沟通的关系（特别是齐次式），进而得到关于的一元方程，从而解方程得出离心率.1.已知是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率_.2.已知直线过双曲线的一个焦点，且与的对称轴垂直，与交于、两点，为的实轴长的2倍，则的离心率为（ ） 2 33.设椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为,则椭圆的离心率为_.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为 5.设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( ) 策略三：利用曲线中变量的范围或题中的不等关系求离心

3、率的范围用曲线中变量的范围，在椭圆中，；在双曲线中中，或.1.设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点，使，则离心率的取值范围是_.2.设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 3.双曲线的两个焦点为,若为其上一点，且,则双曲线离心率的取值范围为（ ）(1,3) (3,+) 4.椭圆的右焦点，若直线与轴的交点为a，在椭圆上存在点p满足线段ap的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是( ) 5.如图，已知梯形中，点在线段ac上，且，双曲线过、三点，且以、为焦点当时，则双曲线离心率的取值范围是_.6. 已知，分别为的左、右焦点，p为双曲线

4、右支上任一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ） a b c d策略四：正、余弦定理在求离心率范围问题中的应用1.已知为椭圆的焦点，为椭圆上一点，则椭圆的离心率的范围为 .2.已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点使，则该椭圆离心率的取值范围为 .3.从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是 .4.椭圆的焦点为，两条直线、与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（） 【方法导引】对于求离心率问题常常有以下办法1. 直接求出，或求出，代公式求解.常见的与相关的一些题设条件：设是椭圆的一条弦，且为弦的中点，则所在

5、的直线方程的斜率；设是双曲线的一条弦，且为弦的中点，则所在的直线方程的斜率；双曲线的渐近线方程或.2. 构造关于的方程或不等式，利用离心率转化成关于的一元方程或不等式求值或求范围.3. 根据正、余弦定理或借助于椭圆、双曲线的焦半径公式得到，（为曲线上的点的横坐标），再根据曲线中的取值范围可求离心率的取值范围.4. 对于求离心率的范围问题，其本质在曲线中变量的范围，通过变量的范围构造不等式解不等式即可.圆锥曲线专题之求离心率的值或范围类型一1.己知斜率为1的直线与双曲线：相交于两点，且的中点为，求曲线的离心率.解析：如图，设，则-整理得又因为为的中点，则，且，代入得，解得，所以.方法点拨：此题通

6、过点差法建立了关于斜率与的关系，解得的值，从而整体代入求出离心率.当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得，或者，从而解出的值，最后求得离心率.2.已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）. 由双曲线焦点在上，则渐近线方程，又题设条件中的渐近线方程为，比较可得，则.3.已知中心在原点，焦点在轴上的一椭圆与圆交于两点，恰是该圆的直径，且直线的斜率，求椭圆的离心率.设椭圆方程为，则 -整理得因为恰是该圆的直径，故的中点为圆心，且则，代入式整理得直线的斜率，所以，解得所以离心率.4. 已知双曲线，双曲线上一动点到两条渐近线的距离乘积为，求曲线的离心率

7、.曲线的渐近线方程分别为和，设，则点到直线的距离，点到直线的距离，因为在曲线上，所以，故，解得所以.类型二1.已知是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，求双曲线的离心率.解析：如图1，的中点为，则点的横坐标为.由，焦半径公式有，即有解得，或（舍去）.方法点拨：此题根据条件构造关于的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义整理成关于的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的结果：.2. 2.已知直线过双曲线的一个焦点，且与的对称轴垂直，与交于、两点，为的实轴长的2倍，则的离心率为（ ） 2 3b3. 设椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点

8、，直线的倾斜角为,求椭圆的离心率.解法一：作椭圆的左准线,过作的垂线，垂足为；过作的垂线，垂足为.过作的垂线，垂足为.如图2.由图，由椭圆的第二定义，则，且,所以是的中点又因为直线的倾斜角为，即，所以在中，,故.解法二：设，由题意知，.直线的方程为 ，其中.联立得解得，因为，所以.即 ，得离心率 .方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。对于方法一：需要清晰的思路，敏捷的思维，对计算要求不高；对于方法二：对学生的计算能力有较高的要求，重在计算。4.已知双曲线的左、右焦点分别为，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲

9、线的离心率的取值范围为 5.由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，又, ,两边平方，得，整理得，得或，又 ，故选类型三1.设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点，使，求离心率的取值范围.解析：设，又知，则，因为，则，即所以，联立方程，消，解得 又因为，故， 解不等式，结合椭圆的离心率范围为，可得.方法点拨：由题知，根据限制条件用表示，即，然后代入不等式，结合整理得关于的齐次不等式，从而求出离心率的取值范围.当然此题解决的办法绝不止这一种，根据几何关系或基本不等式等都能很好的解决.2.设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在点使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（

10、） 如图, ,因为线段的中垂线过点，则,即，解得又椭圆的离心率，综上.3. 双曲线的两个焦点为,若为其上一点，且,则双曲线离心率的取值范围为（ ）(1,3) (3,+) 分别为左右焦点，设在双曲线的右支上，则，由，则解得因为在双曲线的右支上，则，即，解得.4. 椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为a，在椭圆上存在点p满足线段ap的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是( ) 由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，即点到点与点的距离相等而 于是 即Þ又，故.5.以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则轴.因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、

11、关于轴对称依题意，记，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高由定比分点坐标公式得，设双曲线的方程为，则离心率，由点、在双曲线上，所以，将点的坐标代入双曲线方程得将点的坐标代入双曲线方程得再将、得，将式代入式，整理得，由题设得：，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为6.已知，分别为的左、右焦点，p为双曲线右支上任一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） a b c d解析 ，欲使最小值为，需右支上存在一点p，使，而即所以.类型四1.已知为椭圆的焦点，为椭圆上一点，则椭圆的离心率的范围为 .解析：如图,为椭圆上一点，设，则在中，由余弦定理，则 联立解得因为在椭圆中，则，解不等式得.方法点拨：根据正、余弦定理结合椭圆的焦半径公式，用表示，即，根据变量解出离心率，但是此题要构成，故点不能在轴上，所以此题结合椭圆的范围可求出离心率的范围.2.已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点使，则该椭圆离心率的取值范围为 .如图，在中，由正弦定理，则又所以，且，则，解不等式得或（舍去）又椭圆的离心