力学竞赛第十章简单静不定问题

1、 第十章 简单静不定问题 第一节第一节 静不定结构的基本概念静不定结构的基本概念第二节第二节 拉压静不定问题拉压静不定问题 第三节第三节 扭转静不定问题扭转静不定问题 第四节第四节 静不定梁静不定梁 第五节第五节 用力法解静不定结构用力法解静不定结构 第六节第六节 综合举例综合举例 本章重点本章重点1.1.拉压静不定问题拉压静不定问题2.2.扭转静不定问题扭转静不定问题3. 静不定梁静不定梁第一节第一节 静不定结构的基本概念静不定结构的基本概念一、一、 静定、静不定结构静定、静不定结构1. 静定结构静定结构 结构的全部约束反力和内力都可由静力平衡方程求得。结构的全部约束反力和内力都可由静力平衡

2、方程求得。 2. 静不定结构静不定结构 结构的约束反力与内力数多于静力平衡方程数。结构的约束反力与内力数多于静力平衡方程数。 3. 静不定次数静不定次数 未知力数减去未知力数减去静力平衡方程数。静力平衡方程数。4.多余约束多余约束 超过静定结构所需的约束。超过静定结构所需的约束。判别下列结构是否静定。指出静不定结构的静不定次数。判别下列结构是否静定。指出静不定结构的静不定次数。静不定结构：结构的强度和刚度均得到提高静不定结构：结构的强度和刚度均得到提高目录二二 基本静定系（静定基），相当系统基本静定系（静定基），相当系统基本静定系：解除静不定结构的多余约束后得到的静定结构。基本静定系：解除静不

3、定结构的多余约束后得到的静定结构。相当系统：相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统。在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统。 mcmcmbffma目录第二节第二节 拉压静不定问题拉压静不定问题静不定结构的求解方法：静不定结构的求解方法：1 1、列出独立的平衡方程、列出独立的平衡方程2 2、找变形几何关系、找变形几何关系3 3、物理关系、物理关系4 4、求解方程组、求解方程组建立补充方程建立补充方程一、求解拉压静不定问题的约束反力一、求解拉压静不定问题的约束反力目录1 1、列出独立的平衡方程、列出独立的平衡方程例题例题10-110-1210nnxfff0cos2031ffffnny

4、解：解：目录ealfln33补充方程补充方程33cos21ffn3 3、物理关系、物理关系cos11ealflncoscos31ealfealfnn231cosnnff4 4、求解方组得、求解方组得3221cos21cosfffnn1l2l3lcos321lll2 2、找变形几何关系、找变形几何关系目录例例10-22.2.找变形几何关系找变形几何关系:wstllfwfstf解：解： 1.1.写平衡方程写平衡方程: :0, 0ywstffffw=12mpa，ew=10gpa，求许可载荷，求许可载荷f。f250250木制短柱的木制短柱的4个角用个角用4个个40mm40mm4mm的等边角钢加固，的等

5、边角钢加固，已知角钢的许用应力已知角钢的许用应力st=160mpa，est=200gpa；木材的许用应力；木材的许用应力目录fwfstff2502503.3.物理关系物理关系: :wwwwaelflststststaelfl wwwstststaefaef补充方程补充方程: :代入数据，求得代入数据，求得ffffstw283. 0717. 0查表知，查表知，40mm40mm40mm40mm4mm4mm等边角钢等边角钢2cm086. 3sta,cm34.1242ststaa2cm6252525wa目录4.根据角钢的强度条件确定根据角钢的强度条件确定fstststaf283. 0kn698f5.根

6、据木柱强度条件确定根据木柱强度条件确定fwwwaf717. 0kn1046f许可载荷许可载荷 kn698ff250250目录例例10-310-3 图示钢杆，弹性模量图示钢杆，弹性模量e=200gpa，加工误差和杆长之比，加工误差和杆长之比解：解：10001 lmpa200，将杆装在两刚性支座之间，试求装配应力。，将杆装在两刚性支座之间，试求装配应力。lealfnleafnleafn二装配应力二装配应力静不定结构中，因杆件尺寸有微小误差，装配后在杆件内产生静不定结构中，因杆件尺寸有微小误差，装配后在杆件内产生的应力称为装配应力。的应力称为装配应力。目录例例10-410-4 图示杆系图示杆系结构中

7、，结构中，6杆比名义长度短杆比名义长度短，设各杆的抗拉刚度，设各杆的抗拉刚度都是都是ea，试求装配完成后，各杆的内力。，试求装配完成后，各杆的内力。解：解：截断截断6 6杆，设杆，设6 6杆受拉杆受拉，拉力为，拉力为f6。取节点取节点a 为研究对象，为研究对象，f1= f2=622f由对称知，由对称知， f5= f6， f4= f2， f1= f3f1f6f2af5 =f6f6f6由平衡方程解得，由平衡方程解得，目录f2f3bf5f1f6f2af6f616n6ff226n1ff根据卡氏第二定理，根据卡氏第二定理，)21 (222222246666niini61iealfealfealfffea

8、lf)21 (26leaf）（21424321eaffff解得解得目录 当系统的温度升高时当系统的温度升高时, ,下列结构中的下列结构中的_不会产生温度应力。不会产生温度应力。 a b c d讨讨 论论 题题三三温度应力温度应力静不定结构中，由于温度改变而在杆件内产生的应力称为温度应力。静不定结构中，由于温度改变而在杆件内产生的应力称为温度应力。 目录例例10-510-5 图示结构中的三角形板可视为刚性板。图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢，杆材料为钢， 2杆杆材料为铜，两杆的横截面面积分别为材料为铜，两杆的横截面面积分别为a1=1000mm2，a2=2000mm2。钢杆的弹性模量

9、为钢杆的弹性模量为e1=210gpa，线膨胀系数，线膨胀系数1=12.510-6 -1；铜杆的弹性模量为铜杆的弹性模量为e2=100gpa，线膨胀系数，线膨胀系数2=16.510-6 -1；目录试求温度升高试求温度升高20时，时， 1、2杆内的应力。杆内的应力。m2m21am4m120am0221 ff解：解：1.列静力平衡方程列静力平衡方程2.变形协调方程变形协调方程122 ll3.物理方程物理方程11!1111tlaelfl2222222tlaelfl解得解得kn14. 52fmpa57. 22kn28.101fmpa14. 512l1lm2m21am4m121faxf2fayf目录0ba

10、mm0bapagilmpeagilmmpagilm03ebammm第三节第三节 扭转静不定问题扭转静不定问题balllemembmam例例10-6 在圆轴作用有外力偶矩在圆轴作用有外力偶矩me，试绘出该轴的的扭矩图。，试绘出该轴的的扭矩图。解：解：1.列静力平衡方程列静力平衡方程2.变形协调方程变形协调方程3.代入物理方程，建立补充方程代入物理方程，建立补充方程mame- mamb+-解得解得:ememme /3me2 /3me /3目录例例10-7 10-7 一空心圆管一空心圆管a a套在实心圆杆套在实心圆杆b b的一端，两杆在同一横截面处的一端，两杆在同一横截面处杆杆b上施加外力偶，使其上

11、施加外力偶，使其扭转到两孔对准的位置，在孔中装上销扭转到两孔对准的位置，在孔中装上销图10-8图10-9解：解：1. 静力平衡静力平衡xbxammba2.变形协调方程变形协调方程a目录各有一各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线的相差夹角直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线的相差夹角。现在。现在钉。试求在外力偶除去后两杆所受的扭矩。钉。试求在外力偶除去后两杆所受的扭矩。 paaxaagilm3. 物理方程物理方程pbbxbbgilm)(pbbpaaxaililgmxaxbabpapbgmmllii目录第四节第四节 静不定梁静不定梁求解静不定梁的方法是：解除静不定结构的多余约束，得到受力求解静不定梁

12、的方法是：解除静不定结构的多余约束，得到受力和变形与静不定梁完全相同的相当系统；将相当系统解除约束处的和变形与静不定梁完全相同的相当系统；将相当系统解除约束处的变形与静不定梁相比较，找到多余约束处的变形协调条件。变形与静不定梁相比较，找到多余约束处的变形协调条件。 图示梁是否静定？可取的相当系统有几种形式？其变形协图示梁是否静定？可取的相当系统有几种形式？其变形协 调条件是什么？调条件是什么？bffemabc1ccffemabcfemabc1ckfwcc0bw目录例例10-8 10-8 作图示梁的剪力弯矩图。作图示梁的剪力弯矩图。lbaqzeibaqzei1bwbazei2bwbfbaqzei

13、bf解：解：1. 去掉去掉b处约束，代之以约束反力处约束，代之以约束反力2.变形协调方程变形协调方程021bbwwzbeilf333.用叠加法求变形，建立补充方程用叠加法求变形，建立补充方程zeiql840qlfb83目录ql83ql85kn21289ql281qlmkn4.取梁取梁ab为研究对象，建立平衡为研究对象，建立平衡方程方程5.作内力图作内力图+-qlfa85qlfb83281qlmabaqlxc083qqlqxfc令令lx832212892183qlqxqlxmc目录2lba2lqc 例例10-9 图示梁图示梁, ,a处为固定铰链支座处为固定铰链支座, ,b,c二处为辊轴支座二处为

14、辊轴支座. .梁作用有均布荷载梁作用有均布荷载. .已知已知: :均布荷载集度均布荷载集度q=15n/m,15n/m,l=4m,=4m,梁截面为梁截面为圆，直径圆，直径d=100mm，=100mpa=100mpa。试校核该梁的强度。试校核该梁的强度。 0cccfwqwzeiql38454zceilf4830qlfc85cbaq解：解：1. 去掉去掉c处约束，代之以约束反力处约束，代之以约束反力2.变形协调方程变形协调方程目录cf2lba2lqccfafbfqlfc853.列静力平衡方程列静力平衡方程0qlfffcba 0yf0am0222qllflfbcqlfb163qlfa163mkn5 .

15、 7maxmzwmmax3max32dmmpa4 .76 4. .作内力图作内力图5.建立强度条件建立强度条件梁安全梁安全mkn22. 4mkn5 . 7mkn22. 4ql163ql165ql165ql163+-+-+-+目录例例10-10 梁梁ab 和和bc 在在b 处铰接，处铰接，a、c 两端固定，梁的抗弯两端固定，梁的抗弯刚度均为刚度均为ei，f = 40kn，q = 20kn/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。 拆开拆开b b 处铰链，使超静定结构变成两个悬臂梁。处铰链，使超静定结构变成两个悬臂梁。1.1.变形协调方程为：变形协调方程为：21bbwwfbwb12.2.物

16、理关系物理关系eifeiqwbb3484341eifeifwbb34652332解：解：补充方程：补充方程：eifeifeifeiqbb3465234843334kn75. 84842046104023342bf目录 f bbbffwb2fb f b3.3.取取ab 为研究对象，建立平衡方程：为研究对象，建立平衡方程：04, 0 qfffbaykn25.71af0424, 0baafqmmmkn125am0, 0 ffffcbykn75.48cf042, 0bccffmmkn.m115cm4.4.取取bc 为研究对象，建立平衡方程：为研究对象，建立平衡方程：25.7175. 875.48kn/

17、qf12511594. 15 .17mkn/m f b042, 0bccffmmkn.m115cmmc方向设反，将其改正方向设反，将其改正+-5.作剪力、弯矩图作剪力、弯矩图目录例例10-11 结构如图示，设梁结构如图示，设梁ab和和cd的弯曲刚度的弯曲刚度eiz相同。相同。a2baqacada2baq 解：解：将杆将杆cb移除，代之以杆移除，代之以杆cb的未知轴力的未知轴力fn。caadnfnfnfnfbccblww拉杆拉杆bc的拉压刚度的拉压刚度ea为已知为已知,求拉杆求拉杆bc的轴力。的轴力。1.1.变形协调方程为：变形协调方程为：目录a2baqacada2baqcaadnfnfnfnf

18、zbeiaqw824zneiaf323znceiafw33eaaflnbceaafeiafeiafeiaqnznznz33282334zniaaaqaf23322.2.物理关系物理关系补充方程：补充方程：解得：解得：目录第五节第五节 用力法解静不定结构用力法解静不定结构用变形比较法求多余约束的约束反力时，常遇到多余约束处用变形比较法求多余约束的约束反力时，常遇到多余约束处位移为零情况。材料处于线弹性阶段时，多余约束力位移为零情况。材料处于线弹性阶段时，多余约束力xi引起某方引起某方向的位移等于向的位移等于xi方向单位载荷方向单位载荷foi引起的位移和引起的位移和xi的乘积。据此，的乘积。据此，

19、可将可将变形协调条件归纳成标准形式。变形协调条件归纳成标准形式。 目录圆形曲杆圆形曲杆a端固定，端固定，b端铰支，在端铰支，在c截面处作用一径向力截面处作用一径向力f，在力在力f作用下，作用下，b端在端在x1方向上的位移为方向上的位移为1f，在单位力作用下，在单位力作用下，为一次静不定结构。解除为一次静不定结构。解除b端约束，加上多余约束支座反力为端约束，加上多余约束支座反力为x1，11111xx01111fx位移为位移为11，从式中可解出未知力从式中可解出未知力x1。目录，变形协调条件为，变形协调条件为对于对于n n次静不定结构，次静不定结构，解除解除n个多余约束，加上个多余约束反力个多余约

20、束，加上个多余约束反力（或已知），故有（或已知），故有 00022112222212111212111nfnnnnnfnnfnnxxxxxxxxxifij表示表示fj0引起的沿引起的沿xi方向的位移，方向的位移，以以表示外载荷引起的相应位移。而原系统在多余约束处的位移为零表示外载荷引起的相应位移。而原系统在多余约束处的位移为零x1、 x2、 xn,以以力法的正则方程力法的正则方程 目录根据位移互等定理有根据位移互等定理有jiij写成矩阵形式，写成矩阵形式，0.n21n21nnn2n1n22221n11211fffxxx矩阵是对称矩阵。矩阵是对称矩阵。目录例例10-11求图示静不定刚架求图示静不

21、定刚架b支座的约束反力。设支座的约束反力。设ac、cb两杆两杆解：解：去掉去掉b处约束处约束，代之以代之以约束反力。约束反力。cb段段: （0 x1l）01）（xm1110 xxm）（0102）（xm1103）（xm目录的的ei相同。相同。fo1=1fo2=1fo3=1ac段：段：（0 x2l）22221qxxm）（lxm）（2102202xxm）（1203）（xmeiqlldxqxeilf621402221eiqldxxqxeilf8214022222eiqldxqxeilf6121302223目录fo1=1fo2=1fo3=1eildxlleidxxxeill341130011111eil

22、dxxxeil313022222eildxeidxeill211111100133eilldxxeil2130222112eildxleidxxeill2311112020113113eildxxeil21120223223cb段段: （0 x1l）01）（xm1110 xxm）（0102）（xm1103）（xmac段：段：（0 x2l）22221qxxm）（lxm）（2102202xxm）（1203）（xm目录09382321qlxlxlx03128122321qlxlxlx012392321qlxlxlx161qlx1672qlx4823qlx解此联立方程，求出解此联立方程，求出，目录第六

23、节第六节 综合举例综合举例水平平面内，水平平面内，其中其中c为球铰，为球铰，l=2m，铅垂力铅垂力f=27.5n。钢材的弹性钢材的弹性例例10-12 低碳钢折杆低碳钢折杆acb，截面为圆形，直径，截面为圆形，直径d=0.11cm，位于，位于试选用适当的强度理论，校核杆的强度，试选用适当的强度理论，校核杆的强度， 并画出危险点单元体图。并画出危险点单元体图。解：解： 去掉去掉c处约束，代之以约束反力处约束，代之以约束反力fcy变形协调方程变形协调方程 21eilffcy3)(31目录一、综合举例一、综合举例，剪切弹性模量，剪切弹性模量 ，许用应力，许用应力 gpa80gmpa170gpa200e

24、模量模量33)2()2(32lgifleifpcycy11xfxmcy）（22)(xfxmcy2/02p2/02d41d2llcxlfgixfxei22xfxmcy）（11)(xfxmyc2lfmcyxlfmxx1x2目录由图可看出，截面由图可看出，截面a、b为危险截面。为危险截面。 mkn23kn.m25 .11)(lffmcya弯曲应力：弯曲应力： mp176mpa10111023a63323zawwm代入变形协调方程，并根据代入变形协调方程，并根据 iip25 . 2gekn165 .2716ffcy%5 . 3w强度满足要求。强度满足要求。目录mkn162lfmcybmkn162lfm

25、cybx按第四强度理论按第四强度理论 mpa162mpa10113275. 01101675. 06332224xdztbwmm强度满足要求。强度满足要求。目录cf例例10-12 图示结构，梁为矩形截面，图示结构，梁为矩形截面，h=2b=128mm，cd杆为圆截面，杆为圆截面，直径直径d=60mm。材料为。材料为q235钢，钢，e=200gpa，p= 200mpa，s= 240mpa，取强度安全系数取强度安全系数n=1.2，稳定安全系数，稳定安全系数nst=2.5，解：解： 1.求支座反力。取相当系统如图求支座反力。取相当系统如图变形协调方程变形协调方程 lwwccqlll目录试校核结构的安全

26、性。试校核结构的安全性。mkn25.11m0kn2m1.25kn1cf+-+-+0kn30kn50kn50kn3+zcqeiqlw38454zccfeilfw483ealflc46m1018.11i26m102827a解得解得kn100cf由对称知：由对称知：kn30baff2.作内力图作内力图3.令令 fqd=0 x=0.75mmkn 25.11dmmkn 20cmdxbfaf目录mkn25.11m0kn2m1.25kn1+-+-+0kn30kn50kn5+kn100cfmkn 20cmcf3.校核结构安全性校核结构安全性（1）梁）梁ab弯曲强度校核弯曲强度校核mp115pa1018.111

27、0641020a6333zcwwm170mpampa4 . 1240ns（2）压杆稳定性校核）压杆稳定性校核1mm154di133il29.99p2pepkn 314)(22crleifst3nffccr结论：结构安全结论：结构安全目录二、静不定结构降次二、静不定结构降次10 kn10 kn_+10 kn10kn10kn20knabcd20kn结构对称，受载对称时，轴力对称。结构对称，受载对称时，轴力对称。轴力为对称内力，轴力为对称内力，如将轴力图视为如将轴力图视为“扭矩图扭矩图”，外力偶反对称。，外力偶反对称。扭矩为反对称内力，扭矩为反对称内力，mkn25.11m0kn2m1.25kn1+-+-+0kn30kn50kn5+结构对称，受载对称时，结构对称，受载对称时，剪力为反对称内力，剪力为反对称内力，cf剪力反对称，弯矩对称。剪力反对称，弯矩对称。目录弯矩为对称内力弯矩为对称内力结构对称受力反对称时，结构产生反对称变形。在对称截结构对称受力反对称时，结构产生反对称变形。在对称截结构对称受力也对称时，产生对称变形，在对称截面上，结构对称受力也对称时，产生对称变形，在对称截面上，利用结构的这种对称、反对称性质，可降低静不定次数，简化计算。利用结构的这种对称、反对称性质，可降低静不定次数，简化