控制系统的数学模型

1、控制系统的数学模型在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。自动控制系统的组成可以是电气的、机械的、液压的或气动的，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型的外部特征，研究其内在的共性运动规律。通过本章的学习，我们要掌握三种数学模型：微分方程、传递函数、动态结构图的建立方法。熟练掌握自动控制系统传递函数的求取方法。§21 列写微分方程的一般方法微分方程是描述控制系统动态性能的一种数学模型。建立系统或元件微分方程的一般步骤如下：（1） 根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入量和输出量；（2） 根据物理或化学定律，列

2、写系统各组成元件的原始方程；（3） 在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行线性化处理；（4） 消去中间变量，得出描述输出量和输入量（包括干扰）关系的微分方程，即元件的微分方程；（5） 对求出的系统微分方程标准化。即将与输出有关的各项放在等号左侧；而将与输入有关的各项置于等号右侧，等号左右侧各项均按降幂形式排列。例：列写下图所示RC网络的微分方程。解：1、明确输入、输出量输入量：RC网络的电压；输出量：2、建立输入、输出量的动态联系根据电路理论的基尔霍夫电压定律，任意时刻，网络的输入电压等于各支路的电压降和，即 （1） （2）（i为网络电流，是一个中间变量）3、消除

3、中间变量将（2）式代入（1）式得4、系统的微分方程的标准化 例2：列写下图所示RLC网络的微分方程。（零初始条件）解：1、明确输入、输出量输入量：；输出量：2、列写个组件的原始方程 （i为网络电流，是一个中间变量）3、消除中间变量将（3）分别代入（1）、（2）则得将（5）代入（4）则得4、系统的微分方程的标准化 即为所求的微分方程例3：列写下图所示RL网络的微分方程。（零初始条件）1、明确输入、输出量输入量：；输出量：2、列写个组件的原始方程 3、消除中间变量将（3）分别代入（1）则得由（2）得将（5）代入（4）得4、系统的微分方程的标准化 即为所求的微分方程§22 非线性方程的线性

4、化控制系统的实际组成元件，几乎程度不同地都具有非线性特性。求出的系统微分方程常常是非线性方程。由于非线性微分方程的求解很困难，如果能把非线性方程转化为线性方程，将为系统的分析和计算提供很大的方便。由于许多实际控制系统的输入量和输出量是围绕平衡工作状态进行小范围变化的，故可采用泰勒级数展开法，略去二次以上的高次项，进行小偏差线性化处理，所得到的线性微分方程称为系统的线性化数学模型。也就是说，如果实际上的x只是在某平衡工作点附近小范围变化，则在附近以直线代替曲线就较为合理。设元件的输入量和输出量的非线性函数为：在工作点（平衡点）的邻域内，对非线性函数可表示为泰勒级数：即略高阶无穷小（因为变量偏离工

5、作点的范围较小，所以增量的高次项可以忽略不计，故可以近似得到即 式中，上式表示了单变量系统在工作点处小偏差线性化的基本方程。系统的输入、输出只是在工作点附近的微小变化，至使很小，其高次项可忽略。这个假设是符合自动控制系统的。因为对于闭环系统而言，只要有偏差，就产生控制作用，以抑制偏差，所以各变量只能在平衡点做微小运动。例：工业中常用孔板和差压变压器测量流体的流量。通过孔板的流量Q与孔板前后的差压P的平方根成正比，即（为常数）设系统在流量值附近作微小变化，将流量方程线性化。解：首先对方程两边求导则根据小偏差线性化的基本方程，则即流量方程线性化方程为§23 传递函数微分方程是从时间域中描

6、述系统的动态方程的数学模型，在给定输入量和初始条件时，就可求得系统输出响应的解。这种方法虽然比较直观准确，但用于分析设计高阶系统时，就显得繁琐。因为高阶系统的求解比较困难，而且看不出系统的结构，参数对系统输出解的影响。如果输出响应不合要求就不知如何去改变系统的结构参数，而且如果每次改变结构参数，就得重新编写微分方程。线性定常系统微分方程经过拉氏变换，就可得到系统在复频域中的数学模型，称为传递函数。传递函数不仅可以表示系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构和参数对性能的影响，从而使分析和设计大为简化，在经典控制理论中，广泛应用的频率法和根轨迹法都是建立在传递函数这一数学模型基础之上的。因此，

7、传递函数是经典控制理论中最基本，也最重要的数学模型。一、传递函数的定义定义：零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。即 在古典控制理论中，主要讲单输入单输出线性定常系统，设微分方程为：式中：为输出量，为输入量，均为由系统结构参数决定的常数。在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换，得象方程：则系统传递函数 分子为象方程的输入端算子多项式； 分母为象方程的输出端算子多项式（亦即微分方程的特征式）。二、关于传递函数的几点说明1、传递函数是经拉氏变换导出的，拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。2、传递函数表达式中各项系数的值完全取决于系统的结构和

8、参数，并与微分方程中各项系数相对应，所以传递函数也是系统的动态数学模型。3、传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，即单输入、单输出的关系。4、传递函数是在零初始条件下建立的，因此它只是系统的零状态模型，而不能完全反映零输入响应的动态特性。此即传递函数作为系统动态数学模型的局限性。5、因为实际的物理系统总含有惯性元件，并受到能源功率的限制，所以，实际系统传递函数中分母多项式的阶数n总是大于或等于分子多项式的阶数m，即；通常将分母多项式的阶数为n的系统称为n阶系统。三、传递函数的求法1、根据系统的微分方程求传递函数（1）确定系统或元件的输入变量和输出变量；（2）根据物理定律，列写出微分方程或微分

9、方程组；（3）在零初始条件下求各微分方程的拉氏变换式（象函数），将它们转换为s域的代数方程组；（4）消去中间变量后，根据定义求出传递函数。例：求下图所示RLC网络的传递函数。解：根据基尔霍夫电压定律，可以列出 在零初始条件下将以上两式进行拉氏变换后得消去中间变量则得根据传递函数的定义可得2、用复阻抗的概念求电路的传递函数由电路理论可知，电阻R的复阻抗仍为R，电容C的复阻抗为（容抗）；电感L的复阻抗为（感抗）。阻抗的串联、并联计算方法完全可以用于复阻抗网络等效复阻抗的计算。思考分压公式例：求下图所示无源电路的传递函数。解：利用分压公式，可直接写出RLC串联电路的输出电压与输入电压之间的关系。则传

10、递函数为例：设无源网络如图所示。已知初始条件为零，试求网络传递函数，并说明该网络是否等效于RC和RL两个网络的串联。解：利用基尔霍夫电压定律、电流定律及欧姆定律得消去中间变量可得则网络的传递函数为如果将网络分割开来，则RC网络的传递函数为 RL网络的传递函数再将RC与RL两个网络串联起来，则整个网络的传递函数将成为： 结果与原网络的传递函数不同，其原因是确定RC网络传递函数时，没有考虑到RL网络的负载效应。另一种方法：利用复阻抗的方法 先求再求 例：求下图所示电路的传递函数。解：（先画出其S域模型。）设，这三个复阻抗串并联后的等效电阻为，且则上面电路可等效为根据分压定理则由于则两端电压仍为，则

11、再根据分压定理有将（1）、（2）代入（3）式则即传递函数为例、求取下图所示无源电路的传递函数。 解：用电路中阻抗的概念求取传递函数，通过拉氏变换电容的阻抗形式为， 则 =例、求如图所示电路的传递函数。 解：利用负阻抗的方法来求传递函数 先求再求 则 例：求如图所示电路的传递函数。解：利用负阻抗的方法求传递函数例：求如图所示电路的传递函数。解：利用负阻抗的方法求传递函数例：求如图所示二阶网络的传递函数。解：利用负阻抗的方法求传递函数§24 动态结构图和典型环节一、动态结构图控制系统的动态结构图简称为结构图，又称为传递函数的方框图或框图，它是传递函数的一种图形描述方式，它可以形象地描述自

12、动控制系统各单元之间和各作用量之间的相互联系，具有简明直观、运算方便的优点，所以框图在分析自动控制系统中获得了广泛的应用。（一）动态结构图组成动态结构图是由局部传递函数（各个环节的函数功能）和一些反映信号流向的基本符号组成的，即由信号线、传递方框、综合点、引出点组成。1、信号线表示信号输入、输出通道，箭头代表信号传递方向。2、传递方框方框两侧应为输入信号线和输出信号线方框内写入该输入、输出之间的传递函数。3、综合点亦称加减点，表示几个信号相加减，叉圈符号的输出量为各输入量的代数和。因此在信号输入处要注明它们的极性。4、引出点表示同一个信号传输到几个地方。（二）典型自动控制系统统的动态结构图通路

13、：前向通路、反馈回路（局部反馈、主反馈回路）；综合点：A、B两点；引出点：C、D两点；传递方框：、均为系统中一个相对独立的功能单元的传递函数。（三）建立控制系统动态结构图的步骤如下：1、考虑负载效应，建立控制系统各元部件的微分方程；2、对各元部件的微分方程进行拉氏变换，写出其传递函数，并画出相应的环节单元和综合点单元；3、从与系统输入量有关的综合点开始，依据信号流向，把各元部件的结构图连接起来，置系统的输出量于右端，便得到系统的结构图。例：试建立下图所示二级RC网络的动态结构图。 解：（1）建立系统各元部件的微分方程 （2）对微分方程（1）-（4）两边分别进行拉氏变换 将（5）式转化：将（6）

14、式转化：将（7）式转化：将（8）式转化：绘制动态结构图此题我们可以用复阻抗的概念直接来绘制。列写出象方程组： 根据上面绘制动态结构图的方法同样可以绘制出上面的动态结构图。二、典型环节从上面例子可以看出，任何一个复杂的系统，总可以看成由一些典型环节组合而成。掌握这些典型环节的特点，可以更方便地分析较复杂系统内部各单元之间的联系。1、比例环节（放大环节）微分方程：传递函数：结构图：比例环节能立即成比例地响应输入量的变化。比例环节是自动控制系统中遇到最多的一种，例如电子放大器、杠杆机构、电位器等等。2、微分环节微分方程： 为微分时间常数传递函数：结构图： 实例：电感的电压与电流之间的关系。3、积分环

15、节微分方程： T为积分时间常数传递函数：结构图：实例：电容的电压与电流之间的关系。4、惯性环节（一阶环节）微分方程： T为惯性时间常数传递函数：结构图：当输入量发生突变时，输出量不能突变，只能按指数规律逐渐变化，这就反映了该环节具有惯性。通常一个储能元件（L、C）和一个耗能元件R的组合，就能构成一个惯性环节。5、振荡环节（二阶环节）微分方程：传递函数：式中 （振荡角频率）：阻尼比结构图：若包含着两种不同形式的储能单元，这两种单元的能量又能相互交换，在能量的储存和交换的过程中，就可能出现振荡而构成振荡环节。、是两种不同的储能元件，电感储存的磁能和电容储存的电能相互交换，有可能形成振荡过程。

16、67;结构图的等效变换在自动控制系统中，所建立的动态结构图，可能含有多个反馈回路，甚至出现交叉连接的情况，对于这种错综复杂的结构图，为了便于求得系统的传递函数，就可利用一些基本规则对系统的结构图进行变换。由结构图求总传递函数的思路：在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原结构进行逐步的归并和简化，最终变换为输入量对输出量的一个方块。一、结构图的等效变换法则任何复杂系统的结构图，都无例外地是由串联、并联和反馈三种基本结构交织而成。等效原则：变换后与变换前的输入量和输出量都保持不变。、串联结构的等效变换从下图可以看出，个方块首尾相连，前一个方块的输出为相邻的后一个方块的输入，这种结构称为串联。将个

17、串联的方块等效变换为一个方块，则总传递函数等于各个传递函数之积。即分析：假设系统是由三个环节串联而成，其动态结构图为2、并联结构的等效变换n个方块的输入相同，而总输出为各方框输出之代数和，这种结构称为并联。将n个并联的方块等效变换为一个方块，则总传递函数等于各传递函数之和（代数和）即分析：假设系统是由三个环节并联 则3、反馈结构的等效变换反馈结构的一般形式：总传递函数: 注：分子为反馈结构的前向通道传递函数。分母为1加（或减）前向通道与反馈通道传递函数之积。正反馈取减号，负反馈取正号。分析：反馈结构（或称闭环）的传递函数常用符号表示，即 当时，称为单位反馈，则闭环传递函数为。例：某网络的动态结

18、构图如下，求总传递函数。解：（1）利用并联等效（2）利用串联等效（3）利用单位负反馈等效则：例：RCC解：先将内环简化变成下图所示，（利用负反馈等效）CRC所以闭环传递函数为：（利用负反馈等效）二、综合点与引出点的等效挪动交叉连接时，无法直接利用反馈法则，串、并联法则进行化简。对这类结构设法将某些综合点或引出点的位置，在保证总传递函数不变的条件下作适当的挪动，消除回路间的交叉关系之后才能进一步变换。 1、综合点的移动（1）综合点前移 将方框后的综合点前移到的输入端，而仍要保持信号R、C、Q的关系不变，则在被挪动的通道上必须串以方框。分析：挪动前： 挪动后：即挪动前后二者完全等效。（2）综合点后

19、移 将方框前的综合点后移到的输出端，而仍要保持信号R、C、Q的关系不变，则在被挪动的通道上必须串以方框。（3）相邻综合点之间的移动 相邻综合点前后挪动的等效变换由于总输出是三个信号的代数和，故更换综合点的位置不会影响总的输出、输入关系。相邻综合点之间可以换位，多个相邻综合点亦可随意换位。注：三输入综合点也可分解成两个二输入的综合点。2、引出点的等效挪动（1）引出点后移将输入端的引出点移至输出端，而仍要保持信号总的关系不变，则在被挪动的通道上必须串以方框。（2）引出点前移 将输出端的引出点移至输入端，而仍要保持信号总的关系不变，则在被挪动的通道上必须串以方框。（3）相邻引出点之间的移动 若干引出

20、点相邻，表明是同一个信号传递至许多地方。引出点之间可以相互交换位置。例：利用结构图变换的方法求传递函数分析：图示系统中具有引出点、综合点交叉的多回路结构。为了从内向外逐步化简，首先要消除交叉连接。消除交叉连接的方法有很多种，这里将综合点B前移，引出点D后移，在利用相邻综合点、引出点的移动进行等效变换。解：（1）将综合点B前移（2）相邻综合点A，互换，引出点D右移。（3）相邻引出点互换，串联等效变换（4）单位反馈等效（5）串联等效变换（6）利用反馈等效可得系统的传递函数为注：利用结构图变换法则求传递函数 大环套小环的结构：利用串联、并联、反馈等效变换法则； 环路与环路的交叉结构：利用综合点、引出

21、点的移动，将交叉部分分开或形成大环套小环的形式，再利用串联、并联、反馈等效变换法则求出系统的传递函数。等效变换后与变换前的输入量和输出量都保持不变。三、用梅逊公式求传递函数应用梅逊公式可不经任何变换，一步写出系统总传递函数。梅逊公式： 式中：为传递函数称主特征式，且其中：各回路的回路传递函数之和； 两两互不接触的回路，其回路传递函数乘积之和； 所有三个互不接触的回路，其回路传递函数乘积之和；前向通道：由输入端单向传递至输出端的信号通道；n是前向通道数。一个前向通道，自身不能有重复的路径，但各前向通道之间允许有相同的部分。前向通道的传递函数：前向通道所经历的各传递方框传递函数的乘积；前向通道的余

22、子式：将中与第K条前向通道相接触（有重合部分）的回路所在项去掉之后的余子式。回路传递函数：指反馈回路的前向通道和反馈通道传递函数的乘积，并包含表示反馈极性的正、负号；例：求传递函数。解：系统内部有三个反馈回路，则各回路传递函数为：则各回路的传递函数之和另外，各回路中只有两个小回路互不接触，即和互不接触，分别与和接触，故对于即三个互不接触的回路不存在。故可得、该系统只有一个前向通道 ，即输入信号R只能经过传递至输出端，因而又由于所有四个回路均与前向通道相接触，有重合的部分，故中去掉这些回路所在项，得余子式3、总传递函数为 应用梅逊公式，将大大简化结构变换的计算，但应用时应注意：1、用梅逊公式时回

23、路和前向通路要找足，注意隐回路是否有互不接触回路等不要丢项；2、它只适用于求取输入节点和输出节点之间的传递函数，对于任意两个混合节点之间的传递函数不能直接应用梅逊公式。补充：信号流图控制系统的信号流图与结构图一样都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形。对于结构比较复杂的系统，结构图的变换和化简过程往往显得繁琐而费时。与结构图相比，信号流图符号简单，更便于绘制和应用，而且可以利用梅逊公式直接求出任意两个变量之间的传递函数。但是，信号流图只适用于线性系统，而结构图不仅适用于线性系统，还可用于非线性系统。一、信号流图的组成信号流图起源于梅逊利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式，它是由节点

24、和支路组成的一种信号传递网络。图中节点表示系统中的变量或信号，以小圆圈表示；支路是连接两个节点的有向线段，支路上的箭头表示信号传递的方向，支路的增益（相当于动态结构图方框中的传递函数）标在支路上。支路相当于乘法器，信号流经支路后，被乘以支路增益而变为另一信号。支路增益为1时不标出。节点变量表示所有流向该节点的信号之和。在信号流图中，常使用以下名词术语：1、源节点（或输入节点） 只有输出支路的节点称为源节点，如图中的。它一般表示系统的输入量。2、阱节点（或输出节点） 只有输入支路的节点称为阱节点，如图中的。它一般表示系统的输出量。3、混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点，如图中的

25、、。它一般表示系统的中间变量。4、前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时，每一个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益，一般用表示。在图中从源节点到阱节点共有两条前向通路，一条是，其前向通路总增益为；另一条是，其前向通路总增益为。5、回路 起点和终点在同一节点，而且信号通过每一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路，简称回路。如果从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点的，称为自回路。回路中所有支路增益之乘积叫回路增益，用表示。在图中共有一个回路，起始于节点，经过节点最后回到节点的回路，其回路增益为； 6、不接触回路 如果一信号流图有多个回路，而回

26、路之间没有公共节点，这种回路叫不接触回路。二、信号流图的绘制信号流图可以根据系统的微分方程绘制，也可以根据动态结构图绘制。结构图中的信号用有向线段表示，它对应于信号流图中的节点。CR（a）图（a）中有10个不同的信号，绘制信号流图时，首先从左到右画10个对应的节点，按结构图中信号的传递关系用支路将它们连接起来，并标出支路的信号传递方向。结构图方框中的传递函数对应于支路增益，将它们标在对应的支路旁边。如果方框的输出信号在综合点取负号，在信号流图中对应的增益应增加一个负号。支路增益为1则不标出。根据上述方法，图（a）所示的信号流图为：三、利用梅逊公式求传递函数例：已知系统的方框图如图所示，试画出系统地信号