第一章三角形的初步知识

1、第1章 三角形的初步知识1.1认识三角形（第1课时）（教参）1.1认识三角形（第2课时）1.2三角形的角平分线和中线1.3三角形的高1.4全等三角形1.5三角形全等的条件（第1课时）1.5三角形全等的条件（第2课时）1.5三角形全等的条件（第3课时）1.6作三角形1.1认识三角形（第1课时）（教参）【教学目标】1进一步认识三角形的概念 2会用符号、字母表示三角形 3理解三角形任何两边之和大于第三边的性质【教学重点、难点】1本节教学的重点是三角形任何两边的和大于第三边的性质 2判断三条线段能否组成三角形，过程较复杂，是本节教学的难点【教学过程】一、三角形的概念及表示 1生活图片引入，抽象出三角形

2、，概括“三角形”的概念(可由学生完成，教师加以完善) 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形2三角形的表示(1)如右图，图中有几个三角形?可引导学生作有条理的分类；(2)怎么表示?学生会想到顶点处标上大写字母，引出三角形的符号表示，可与“”的用法对比； (3)你能写出每个三角形的三条边和三个内角吗? (4)三角形三边的其他表示：如右图 3做课本课内练习第1题加以巩固二、探索三角形的三边关系 小组合作： 取三个图钉，固定在硬纸板的三点(记为a，b，c)上，用一根细绳绕a、b，c一周，组成abc，如图 1目测哪一条边最长? 2比较最长的一条边与另两条边的长度之和，哪一个更长?

3、 3改变图钉a的位置(仍组成abc)，结论有没有改变?由此你发现了什么? 结论：个三角形较短的两边之和大于最长的一边；三角形任何两边的和大于第二边 上述结论比较直观，教师可让学生用学过的知识解释两点之间线段最短那么三角形任何两边的差与第三边有什么关系?让学生通过上述实验得到： 三角形任何两边的差小于第三边三、三角形三边关系的应用 1例1 判断下列各组线段中，哪些能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由 (1)a=2.5cm，b=3cm，c=5cm； (2)e=6.3cm,f=6.3cm，g=12.6cm； (3)m=4cm，n=6cm，p=lcm 教师可让学生自己选择方法(以上三个结论均可

4、用)，从中挑选较为简洁的方法：要判断三条线段能否组成三角形，只要把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较如果最长的一条线段小于另外两条线段的和，那么这三条线段能组成三角形；如果最长的一条线段大于或等于另外两条线段的和，那么就不能组成三角形 引申：你想找一根多长的小棒与长为4cm，6cm两根小棒首尾相接组成三角形? 分析：学生根据已掌握的知识可找出小棒的长为3cm，4cm，7em等等，引导学生概括： 两边之差第三边两边之和 2例2 小明说：“我的步子(两脚着地时两脚的间距)大，一步有3米多”你认为小明的话可信吗? 分析：此题是对三角形三边关系的简单应用，可让学生自己画简图解决 3做课本课内练习第

5、2，3加以巩固四、小游戏 两位同学分别站在a，b两地，请第三位同学站到他们两人的距离和最小的地方，你认为站在哪里合适? 分析：此游戏让学生自然而然地运用“两点之间线段最短”与“三角形任何两边之和大于第三边”的性质五、课外探究 若三角形的周长为17，且三边长都是正整数，那么满足条件的三角形有多少个?你可以先固定一边的长，用列表法探求 六、布置作业1课本作业题2用三角形设计一幅美丽的图案1.1认识三角形(第2课时)【教学目标】1、通过实践活动，理解三角形三个内角的和等于180o2、理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和3、合适用三角形的内角和外角的性质简单的几何问题4、了解三角形的分类【

6、教学重点、难点】1本节教学的重点是三角形三个内角和等于180o的性质是本节重点。 2例3是立体图形，涉及的角之间的关系不易辨认，是本节难点。【教学过程】1、 合作学习：请每个学生利用手中的三角形（已备），把三角形的三个角撕（或剪）下来，然后把这三个角拼起来，然后观察这三个角拼成了一个什么角？请学生归纳这一结论，教师板书：三角形的三个内角的和等于180o2、三角形内角和性质的应用 口答：abc中，a=45o，b=60o，求cabc中，a=57o18，b=46o49，。求cabc中，a=b，c=110o，求a，babc中，a：b：c=1：2：3，求这个三角形的三个内角。3、由上题得出图中三角形的形

7、状 得出的三角形的三个角都是锐角，这样的三角形称之为锐角三角形 得出的三角形有一个角是钝角，这样的三角形称之为钝角三角形得出的三角形有一个角是直角，这样的三角形称之为直角的三角形若一个三角形为rt，那么它的其余两个锐角互余。4、三角形的外角： 定义：三角形的一边和另一边相邻边组成的角，叫做三角形的外角。由图得：bce+acb=180o 而a+b+acb=180o bce=a+b 从而得到定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 外角也并不一定绝对，要会看一个角之是内角还是外角。5、练习：1）abc中，acd=120o a=50o ，求b、acd 2）如书本例题 3），已知，在abc中

8、， c=rt,d是bc上一点，已知1=2，b=25o，求bad数。6：小结：三角形的内角和性质认识三角形的外角的概念，并能准确寻找外角和内角三角形的外角的性质1.2三角形的角平分线和中线【教学目标】知识目标：1、使学生知道三角形的角平分线和中线的定义，并能熟练地画出这两种线段 2、能应用三角形的角平分线和中线的性质解决简单的数学问题能力目标：培养学生形成观察辨别、全面分析、归纳概括等数学方法，培养学生的思维方法和良好的思维品质。 情感目标：通过提问、讨论等多种教学活动，树立自信、自强、自主感，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。【教学重点、难点】教学重点、难点：三角形的角平分线、中线的定义

9、及画图是本节课的重点，利用三角形的角平分线和中线的性质解决有关的计算问题是本节难点。【教学过程】一、创设情景，引入新课¬、让每个学生拿一张三角形纸片，把其中一个内角对折一次，使角的两边重合，得到一条折痕。（问学生折痕是什么形状？）­、请每位学生用量角器量一量被折痕分割的二个角的大小，得到什么结论？（得到折痕平分这个内角）引出概念：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（让学生理解三角形的角平分线的形状是线段）一、 合作交流，探讨结论请同学回答下面的问题在一个三角形中有几条角平分线？请每位同学在不同类型的三角形中画一画，

10、与同伴交流你发现了什么？在此过程中，教师可以用几何画板制作的动画演示，在锐角三角形、钝角三角形、直角三角形中三条角平分线的特点。（三条线都在三角形的内部，三条线相交于一点）任意画一个abc，用刻度尺画bc的中点d，连结a d引出概念：在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。（让学的中线的形状也是线段生理解三角形）¯请同学回答问题：在一个三角形中有几条中线？请每位同学在不同类型的三角形中画一画，与同伴交流你发现了什么？在此过程中，教师可以用几何画板制作的动画演示，在锐角三角形、钝角三角形、直角三角形中三条中线的特点。（三条线都在三角形的内部，三条线相交于一点）

11、三角形的角平分线、中线用几何语言表达方式：如图 在abc中，bad=cad,ad是abc的角平分线；在abc中，d是bc的中点（或b d= dc），ad是abc中bc边上的中线。三、应用概念，解决问题 范例1 如图ae是abc的角平分线，已知b=450 c=600 求下列角的大小 bae ; aeb首先让学生仔细观察图形，分析已知条件，教师作好引导四、 巩固练习请学生课内练习1、2教师分析总结五、 拓展与应用让学生在熟悉概念的基础上，做更灵活的计算与应用1、在abc中，角平分线b d与c e交于点f，已知a=550求 efd的度数2、在abc中，a d是bc边上的中线，已知ab=7 ac=5，

12、求ab d和ac d的周长的差六、 学生总结让学生回顾本节课的主要内容七、 作业布置课后请同学做好书本中的作业14。1.3 三角形的高【教学目标】1、知识目标：（1）了解三角形高的概念（2）会画三角形各条边上的高（3）会利用三角形的高的概念，解决有关角度、面积计算等问题2、能力目标： 培养学生动手操作、观察、分析、归纳概括的能力3、情感目标： 通过实践、操作、探索，激发学生的数学学习兴趣，培养学生的科学探究精神及积极与他人合作交流的意识【教学重点、难点】1、本节教学的重点是三角形的高的概念和画法 2、认识直角三角形、钝角三角形各条边上的高以及例1是本节教学的难点【教学过程】一） 创设情境，引入

13、新知问题：一个三角形，在什么位置剪一刀，能把这个三角形分成面积大小相同的两个小三角形。教学安排活动如下：1、每个学生在硬纸板上任剪一个三角形2、学生分组合作，共同探究，形成结论：(这一刀是中线)3、教师用多媒体演示，并提问为什么中线将原三角形分成的两个小三角形面积相等，从而引出课题三角形的高二） 动手操作，理解新知三）1、师生共同归纳总结出三角形高的定义 ：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。2、 让学生指出高的定义中的关键词： 对边所在的直线3、学生动手操作，合作学习完成p11（1），教师用多媒体演示。4、小组讨论、交流： 锐角三角形、直角三角形

14、、钝角三角形的三条高线的位置有何特点？5、各小组交流，教师补充，形成结论 锐角三角形的三条高线都在三角形内部，且相交于一点o 直角三角形斜边上的高在三角形的内部，两直角边上的高与两直角边重合。三条高相交于直角顶点d。 钝角三角形钝角对边上的高在三角形的内部，夹钝角的两条边上的高在三角形的外部。三条高的延长线也相交于一点o（三）师生互动，运用新知1、解决引入问题：例1、 abc中，ad为bc边上的中线，为什么abd和acd面积相等教师引导学生从以下几个方面考虑三角形面积公式 ad为中线，可得到什么 结论？（bdcd） abd和acd中bd、cd边上的高如何画？有什么特点？（重合）由例题可得到什么

15、重要结论（同高等底的两个三角形面积相等）2、补充例题2：在 abc中， b=20° c=30° ，bd为ac边上的高，求 abd大小？3、例3、如图：在 abc中，ad是 abc的高，ae是 abc的角平分线，已知： bac=82°，c=40°，求dae的大小 教师将此问题设计如下：将原图形分解成两个图形设计问题（1）求出图（1）、图（2）中各个角的大小？（2） dae可看作图（1）、图（2）中哪些角的差？（daedaccae或daebaebad或dae180°adcaeb）4、随堂练习：p13课内练习1、23、（四）梳理知识，归纳小结（1）高

16、的定义（2）锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条高的特点（3）角平分线、高的概念及三角形内角和为180°的综合运用，求角的大小（4）“同高等底的两个三角形面积相等”这一结论的应用（五）再创情景，拓展提高（六）布置作业，巩固应用1、分层次布置作业p13-14 1、2、3必做， 4、5选做2、p13探究活动小组讨论，合作完成1.4全等三角形【教学目标】1、通过实例，经历全等图形概念的发生过程，了解全等图形的概念。2、会用叠合法判定两个图形全等。3、了解全等三角形的概念。4、理解全等三角形的对应边相等，对应角相等。【教学重点、难点】教学重点是全等三角形的概念；本节的范例是用叠合的方法和

17、过程表述，学生缺乏经验，是本节教学的难点。【教学过程】一、 全等图形的概念1、 通过对书本15页3个图的观察，让学生思考，鼓励学生能用自己的语言表述全等图形的概念。2、 引导学生举例生活中的全等图形，加强学生对全等图形概念的理解。3、 学生做书本15页“做一做”第1题及书本17页“课内练习1”，让学生体验“重合”的正确含义。二、 全等三角形的概念及表示方法：1、 学生两人一张印有两个全等三角形的纸片（类似于书本15页做一做第2题），尝试用全等图形的验证方法，引入“全等三角形”的概念：能够重合的两个三角形叫做全等三角形。2、 引用15页“做一做”第2题说明全等三角形的“对应顶点、对应边、对应角”

18、的概念。组织学生探讨两个全等三角形的一般记法（用“”只是表示数量的相等），提示学生将相应的边、角、顶点写在对应的位置上，这样会对以后分析全等三角形带来方便。让学生写出两个全等三角形的相等的角、相等的边。三、 探索全等三角形的性质：借助全等三角形纸片，四人一组探索全等三角形的性质，鼓励学生能用自己的语言表述性质，然后由教师归纳并板书：全等三角形的对应边相等、对应角相等。四、 全等三角形性质的应用：1、 问：（1）两条相等的线段是否能重合？（2）一条角平分线把这个角分成的两部分能重合吗？2、 范例分析：由上述问题帮助说明“abd与acd全等”，并由全等三角形性得出bdcd，bc。问：除已知的和已得

19、出的相等线段、相等角以外，图中还有没有其它的线段或角相等？如果有，请指出来。3、 学生完成书本17页课内练习第2题，要求说出相等的边和相等的角。4、 （机动）说出下列图形中的全等三角形，并说出对应边、对应角。 （1）（2）（3）（给一些全等三角形的不同位置的变式,让学生辨认任意放置的两个全等三角形的相等的角、相等的边，以及对应的顶点，使学生能在不同放置的全等三角形中，找到对应的元素。）五、小结回顾：师生共同完成，肯定学生在课堂教学中的探索精神、协作精神等，并提出相应要求及注意点。六、布置作业：见书本17页“作业题”。1.5三角形全等的条件（第1课时）【教学目标】Ø知识目标：使用直尺和

20、圆规画已知角的角平分线了解三角形稳定性性质掌握三角形全等的条件sss Ø能力目标：运用三角形全等的条件sss已知三边画三角形学会简单推理过程的说明Ø情感目标：由三角形稳定性体会数学与实践联系紧密简单推理过程培养学生严谨的逻辑思维【教学重点、难点】Ø重点： 三角形全等的条件sssØ难点：学会简单推理过程的说明【教学过程】（一）：复习旧知：abcd图1如图1，abcdbc，a和d是对应角，说出另外两组对应角和各组对应边，指出他们的关系，并说明理由。（二）：引入新知：阅读课本，让学生使用直尺和圆规根据已知三边画三角形，并比较各组所画的三角形，让学生发现这些三角

21、形的共同点思考：两条弧线的交点是否只有一个？若连接de、df得到的def也是所求的三角形吗？这两个三角形能否互相重合？（三）：归纳新知：在学生发现的基础上适当点拨得出：有三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“sss”）（四）：验证新知：（课前准备能组成三角形的两端有孔木条两组，两组木条边长相等）先把其中一组的两根木条用螺栓固定，木条可自由转动，在转动的过程中，连结另两个端点所成的三角形的形状、大小会改变，把另两个端点也用螺栓固定在第三根木条上，则该三角形的形状、大小就完全确定，让学生去体会并发现三角形稳定性，同理，用另一组木条构成三角形，发现这两个三角形是全等的，若去除这两个三角形

22、中的长度相等的边后把剩下部分重新组合成四边形，可发现它的形状会发生改变，可见四边形不具有稳定性。师生举例了解三角形的稳定性（五）：应用新知例1：如图2，在四边形abcd中，ab=cd，ad=cb，则a=c，请说明理由。abcd图2解：在abd和cdb中 ab=cd （已知）ad=cb （已知）bd=db （公共边）abdcdb （sss）a=c （根据什么？）注意：书写格式须规范cab图3例2：已知，bac（如图3），用直尺和圆规作bac的平分线ad，并说出该作法正确的理由。作法：a1、a为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于e、f点2、分别以e、f为圆心，大于ef为半径作圆弧交于角内

23、一点ddefcab图43、过点a、d作射线ad射线ad就是所求的bac的平分线解：如图4，连结de、df在ade和adf中ae=af （画法）de=df （画法）ad=ad（公共边）adeadf （为什么？）cad=bad（全等三角形的对应角相等）即ad平分bac注意：有时为解题需要，在原图形上添上一些线，这些线叫做辅助线，辅助线通常画成虚线。（六）：体验成功课内练习1、2、3（七）：归纳小结今天你学到了哪些内容？1.5 三角形全等的条件（第二课时）【教学目标】知识目标：1.掌握三角形全等（sas）的判定方法。 2.理解线段的中垂线概念，掌握线段的中垂线性质。能力目标：会运用三角形全等的判定方

24、法、线段的中垂线性质，解决两条线段相等、两个 角相等的问题。情感目标：几何图形及知识来源于生活实际，体验用几何知识解决实际问题。【教学重点、难点】重点：两个三角形全等（sas）的判定条件。难点：1.例4先判定两个三角形全等；再利用全等三角形的性质，判定两条线段相等。 2.线段的中垂线性质的应用。【课前准备】学生每人一张透明纸，多媒体课件。【教学过程】一、创设情景，提出问题教室的钢窗，开窗时，随着abc的大小改变，开窗的大小也随之改变。由于abc 的大小在改变，问：abc的的形状能固定吗？ 不能。只有当abc不变时,开窗的大小就能确定，abc的形状也随之确定。 下面我们通过画图，考虑ab、bc已

25、定，当夹角abc的大小固定，abc能惟一确定吗？见书p.22二、合作学习，引入新知 1.画三角形 让我们动手做一做：用量角器和刻度尺画abc，使ab=4cm,bc=6cm，abc=60。要求学生把图画在透明纸上。 在画abc时，教师可讲一下画图思路：先画一个“草图”abc（任意的），把已知条件，标写在图上，问学生：哪些可以先画？这样做使学生知道在小学时，做计算题我们常打“草稿”，现在画几何图形，我们可以先画“草图”，帮助我们寻找画图的方法。 2.合作交流，得出结论 教师在巡视中，有五分之四以上学生画好后，要求学生将你画好的三角形和其它同学画的三角形，重叠上去，它们能互相重合吗？使学生有感性认识

26、，再由全等形的概念知：得到书本p.23的结论。 3.理解概念 指出：这个角一定要两条边的夹角。如上图:在abc和abc中: ab= ab (已知) abc=abc(已知) bc= bc (已知) abcabc( sas )复习:如上图: 在abc和abc中: ab= ab(已知) ac= ac(已知) bc= bc(已知) abcabc( sss ) 根据所学的知识判定两个三角形全等,已知条件还可以换吗?怎么换?要求学生灵活应用判定方法,加深概念的掌握。同时提出，在写两个三角形全等时，把对应顶点的字母写在对应的位置上。三、应用新知，体验成功1.例题讲解，p.23例3分析: 在aob和cod中:

27、已有哪些已知条件?oa=oc，ob=od。根据三角形的判定方法，还需要什么条件？ aob=cod或ab=dc，选哪一个好？aob=cod。而ab=dc，在两个三角形不全等的情况下，根据已有的条件，ab=dc吗？不可能。 教师板书解题过程，学生填写（ ）的理由。2.做一做p.23 要求学生把实物图，抽象出几何图形。如下图。3.讲解p.23例4分析：首先理解题意中，点c是直线l上任意一点，点c在l上的特殊点是：点c与点o重合。由已知条件得ca=cb 其次，当点c与点o不重合时，直线l线段ab于点o，可以知道什么？aoc=boc=rt,要使ca=cb，你思考什么？aocboc，根据哪一个判定方法？用

28、“sas”，即oa=ob，aoc=boc，co=co 注：可根据学生的理解、掌握情况，适当提示，有的学生oc=oc公共边很难发现，教师可以通过实验，使学生理解。如下图。4.讲解线段的中垂线线概念与线段的中垂线性质 p.24 如图，oa=ob coab （已知）co是线段ab的中垂线ca=cb (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)四、梳理知识，归纳小结通过本节课的学习，谈谈你的收获。 1.我们已学习了三角形全等的两个判定方法：sss、sas。 2.线段的中垂线概念及性质。 3.对所学的知识，重在于灵活运用。五、应用新知，拓展提高d，b和c是对应角，写出另外两组对应角和各组对应边。 解：对

29、应角：dac和eab，adc和aeb；对应边：ab和ac，ae和ad，be和cd。 2. 如图，已知：abcbad，da和cb是对应边，dab和cba是对应角，写出另外两组对应角和对应边。解：对应角：c和d，cab和dba；对应边：ab和ba，ac和bd。 3. 课内练习 p.24 第1、2、题 4. 如图，在abc和def中，已知：ac=df，bc=ef，a=d，问abc和def一定全等吗？请说明理由。六、布置作业，巩固应用 p.25 a组题全班做， b组题选做。1.5 三角形全等的条件（第三课时）【教学目标】1：探索并掌握两个三角形全等的条件：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全

30、等（asa）。2：会运用asa判定两个三角形全等。3：理解角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。【教学重点、难点】1：本节教学的重点是两个三角形全等的条件：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。2：例5涉及判定两个三角形全等和运用全等三角形的性质判定线段相等两个过程，是本节教学的难点。【课前准备】硬纸板、剪刀、量角器、尺等。【教学过程】1：复习引入复习以上两节课已经学习了的三角形全等的条件，有sss、sas。2：合作学习：（师生一起动手）（1）动手请每位同学用量角器和刻度尺在白纸上画abc，使bc3cm,b=400, c=600(2) 注意相应的边、角的大小要符合要求，字母要一一对应。（3）比较相邻的几位同学互相比较所画的三角形的大小。（4）结论所画的三角形能够完全重合。3：全等三角形的判定定理：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“asa”）4：思考（1） 如果是两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形会全等吗？为什么？让学生来得到这个条件下的全等的结论。（2） 如果表述为两个角和一边对应相等呢？提出反例来说明这句话是不正确的。5：例5，如图，点p是bac的平分线上的一点，pbab，pcac。说明pbpc的理由。讲解这个例题时要注意以下几点：（1） 重视表述格式的规范。（2）