数项级数收敛性判别

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-21第二节第二节 数项级数收敛性判别法数项级数收敛性判别法 第七章第七章 （Interrogate of constant term series）一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛四、小结与思考练习四、小结与思考练习返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-22一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若若,0nu1nnu定理定理 1 正项级数正项级数1nnu收敛收敛部分和序列部分和序列nS),2, 1(n有界有界 .若若1nnu收敛收敛

2、, ,收敛则nS,0nu部分和数列部分和数列nSnS有界有界, 故故nS1nnu从而从而又已知又已知故有界故有界.则称则称为为正项级数正项级数 .单调递增单调递增, 收敛收敛 , 也收敛也收敛.证证: “ ”“ ”(Interrogate of positive term series)返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-23返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-24证证 根据比较审敛法可知所给级数也是收敛的根据比较审敛法可知所给级数也是收敛的 返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-25pppn131211(常数常数 p 0)的敛散性的敛散性. 解解: 1) 若

3、若, 1p因为对一切因为对一切,Zn而调和级数而调和级数11nn由比较审敛法可知由比较审敛法可知 p 级数级数11npnn1发散发散 .发散发散 ,pn1例例2 讨论讨论 p 级数级数返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-26, 1p因为当因为当nxn1,11ppxn故故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考虑强级数考虑强级数1121) 1(1ppnnn的部分和的部分和n111) 1(11ppnkkkn故强级数收敛故强级数收敛 , 由比较审敛法知由比较审敛法知 p 级数收敛级数收敛 .时时,1) 1(11pn11111) 1(113121211pppp

4、pnn12) 若若返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-27解解 返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-28,1nnu1nnv,limlvunnn则有则有两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3) 当当 l = ,1发散时且nnv.1也发散nnu设两正项级数设两正项级数满足满足(1) 当当 0 l 时时,定理定理3 (比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-29解解 返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-210返回返回上页上页下页下页目录目录2

5、021-11-211返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-212返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-213nnnuu1lim由设设 nu为正项级数为正项级数, 且且,lim1nnnuu则则(1) 当当1(2) 当当1证证: (1),1时当11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu, 1使取收敛收敛 ,.收敛nu时时, 级数收敛级数收敛 ;或或时时, 级数发散级数发散 .,ZN知存在,时当Nn k)(由比较审敛法可知由比较审敛法可知定理定理4 比值审敛法比值审敛法 ( D Alembert 判别法判别法)返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-214,1时

6、或, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因此因此所以级数发散所以级数发散.Nn 当时时nnuu11nuNu1lim1nnnuu说明说明: 当当时时, ,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散. .例如例如, , p 级数级数:11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但但, 1p级数收敛级数收敛 ;, 1p级数发散级数发散 .从而从而(2) 当当返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-215返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-216返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-217对任意给定的正数对任意给定的正数 ,limnnn

7、u设设 1nnu为正项级为正项级,limnnnu则则;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 证明提示证明提示: ,ZN存在nnu有时当,Nn 即即nnnu)()(分别利用上述不等式的左分别利用上述不等式的左,右部分右部分, 可推出结论正确可推出结论正确., )1(1111数数, 且且定理定理5 根值审敛法根值审敛法 ( Cauchy判别法判别法)返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-218时时 , 级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散 .1例如例如 , p 级数级数 :11pnnpnnnnu1)(1n,1pnnu 但但, 1p级数收敛级数收敛 ;, 1p级数发散

8、级数发散 .说明说明 :返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-219返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-220二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321) 1(称为称为交错级数交错级数 .定理定理6 ( Leibnitz 判别法判别法 ) 若交错级数满足条件若交错级数满足条件:则级数则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛收敛 , 且其和且其和 ,1uS 其余项满足其余项满足.1nnur,2, 1,0nun设(Interrogate of staggered

9、 series)返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-221证证: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是单调递增有界数列是单调递增有界数列,nS212limuSSnn又又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故级数收敛于故级数收敛于S, 且且,1uS :的余项nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故故S返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-222收敛收敛收敛收敛nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nnnnn10) 1(1041

10、03102101)31432收敛收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn发散发散收敛收敛收敛收敛 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 用用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-223三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义 对任意项级数对任意项级数,1nnu若若若原级数收敛若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散, 则称原级则称原级11

11、1) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收敛收敛 ,1nnu数数1nnu为条件收敛为条件收敛 .均为绝对收敛均为绝对收敛.例如例如 ：绝对收敛绝对收敛 ；则称原级则称原级数数条件收敛条件收敛 .(Absolute convergence and conditional convergence)返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-224证证: 设设1nnunv),2,1(n根据比较审敛法根据比较审敛法显然显然,0nv1nnv收敛收敛,收敛收敛12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收敛也收敛)(21nnuu 且且nv,nu收敛收敛 ,

12、令令定理定理7 绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛 .返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-2252211sin(1);(2)( 1).nnnnnnne证证: (1)22sin1,nnn而而211nn收敛收敛 ,21sinnnn收敛收敛因此因此21sinnnn绝对收敛绝对收敛 .例例11 证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛 :（补充题）（补充题）返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-226(2) 令令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛收敛,绝

13、对收敛绝对收敛.返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-227返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-228其和分别为其和分别为 *定理定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. *定理定理9 ( 绝对收敛级数的乘法绝对收敛级数的乘法 ).S则对所有乘积则对所有乘积 jivu1nnw按任意顺序排列得到的级数按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛也绝对收敛,设级数设级数1nnv1nnu与与都绝对收敛都绝对收敛,S其和为其和为绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.说明说明: 条件收敛级数不具

14、有这两条性质条件收敛级数不具有这两条性质. 返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-229内容小结内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法利用正项级数审敛法必要条件必要条件0limnnu不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法 limn1nunu根值审敛法根值审敛法nnnulim1收收 敛敛发发 散散1不定不定 比较审敛法比较审敛法用它法判别用它法判别积分判别法积分判别法部分和极限部分和极限1返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-230为收敛级数为收敛级数1nnu设Leibniz判别法判别法:01nnuu0limnnu则交错级数则交错级数nnnu1) 1(收敛收敛概念概念:,1收敛若nnu1nnu称绝对收敛绝对收敛,1发散若nnu条件收敛条件收敛1nnu称3. 任意项级数审敛法任意项级数审敛法返回返回上页上页下页下页目录目录2021-11-231课外练习课外练习习题习题72 1-8思考练习思考练习1、设正项级数设正项级数1nnu收敛收敛, 能否推出能否推出12nnu收敛收敛 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由由比较判敛法比较判敛法可知可知12nnu收敛收敛 .注意注意: 反之不成立反之不成立. 例如例如,121nn收敛收敛 ,11nn发散发散 .返回返回上