S4S5的子群要点

1、3&及其子群S4的元已知 |Sd=24 及 S4 的的元的形式为(a), (ab), (ab© , (abcd), (ab) (cd),其中 a, b, c, dC1,2,3,41阶元：因为(a) = (b) = (c) = (d),所以1阶元有1个，即单位元(1)；2 阶元：形式为(ab)或(ab) (cd),共有 C2+l( C42?C2)=9 个，即：2(12),(34),(13),(24), (14), (23), (12)(34),(13)(24),(14)(23);3阶元：形式为(abc),共有C3A2=8个，即：(123),(132),(134),(143),(

2、124),(142),(234),(243);4阶元：形式为(abcd),共有C4A3= 6,即：(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432);S4的子群因为|S4|=24,由定理1,知S5子群的阶可能为：1,2,3,4,6,8,12,24,又因为 |24|=2 3X3,根据sylow定理，S4必存在2阶、3阶、4阶和8阶子群，另S4有 平凡子群1阶子群和24阶子群，可能有6阶和12阶子群。1阶子群：N1= (1) ,为一共腕类。2阶子群：由S4的2阶元生成的循环群，因为S4的2阶元有9个，所以S4的2阶子群有9个，即:N 2 =<(12)>=

3、(1), (12) ,N 3=<(13)>= (1)N 4=<(23)>= (1)N 5=<(24)>= (1)N 6=<(14)>= (1)N 7=<(34)>= (1)N 8=<(12)(34)>=N 9=<(13)(24)>=N 10=<(14)(23)>=(13) ,(23) ,(24) ,(14) ,(34) ,(1),(34) (1), (13) (24) (1), (14) (23) 其中至N7为一共腕类，N至Nio为一共腕类3阶子群：由S4的3阶元生成的循环群，因为每两个互逆的 3阶

4、元同单位元可以组成一个子群，而S4的3阶元有6个，所以S4的3阶子群有3个，且为一共腕类，即:N ii=<(123)>=(1), (123), (132) ,N 12=<(134)>=(1), (134), (143) ,N 13=<(124)>= (1), (124), (142) ,N *<(234)>= (1), (234), (243) ,4阶子群：(循环群和非循环群)循环群：由S4的4阶元生成的循环群，根据生成的子群的元的情况，一个 4阶元生成的子群里包含有一对互逆的 4阶元，而S4的4阶元有三对互逆的元，故4 阶循环子群有3个，且为一

5、共腕类，即：N 15=<(1234)>=(1),(1234),(13)(24),(1432),N 16=<(1324)>=(1),(1324),(12)(34),(1423),N 17=<(1243)>=(1),(1243),(14)(23),(1342),非循环群：其元都为2阶元，且两个互不相同的2阶元相乘可得另一个2阶元，满足这一条件可构成的4阶非循环群只有4个，且为2个共腕类，即：N 3(1),(12),(34),(12)(34),N 19=(1),(13),(24),(13)(24),N 20=(1),(14),(23),(14)(23),和，1=

6、(1), (12) (34), (13) (24), (14) (23) 8阶子群：此群里的元的阶只能为 1阶、2阶、4阶，且由sylow定理，8 阶子群里必含有4阶子群，故可先确定8阶子群里的4个元素，其余4个元素可 由已确定的元来给出，经由此算法，由全部的4阶子群只找出3个8阶子群，故 8阶子群有3个，且为一共腕类，即：22= (1), (1234), (13) (24), (1432), (13), (12) (34), (24),(14) (23) ,N23= (1), (1324), (12) (34), (1423), (12), (13) (24), (34),(14) (32)

7、 ,N24= (1), (1243), (14) (23), (1342), (14), (12) (43), (23),(13) (24) ,24阶子群：即N25=S以上为S4里必存在的子群，下面讨论 S4里可能存在的子群：6 阶子群：因为S4包含着S3,故S4必有同构于S3的一类6阶子群，而同构 于S3的S4的6阶子群有4个，且其元为1阶、2阶和3阶，所以S4的6阶子群 有4个，且为一共腕类，即：N26=(1),(12),(13),(23),(123),(132),N27=(1),(12),(24),(14),(124),(142),N28=(1),(34),(13),(14),(143)

8、,(134),N29=(1),(34),(24),(23),(234),(243),12 阶子群：若S4有12阶子群，则由sylow定理，该子群里必存在2阶子群、4阶子群和3阶子群，经计算，S4的12阶子群只有一个，即：2= (1), (123), (132), (134), (143), (124), (142), (234), (243), (12) (34), (13) (24), (14) (23) 。综上，S4共有30个子群，分为10个共腕类，其中，由正规子群定义及定理6知S4的1阶子群，降1, 12阶子群和24阶子群为正规子群。§ 3.2S5的元已知|S5| =120及

9、S5的的元的形式为(a), (ab), (abc), (abcd), (abcd8, (ab) (cd), (ab) (cde)其中 a, b, c, d, e 1,2,3,4,51阶元：因为(a) = (b) = (c) = (d) =(e),所以1阶元有1个，即单位元(1)；2 阶元：形式为(ab)或(ab) (cd),共有 C2+1( C52G2)=25 个，即：2(12), (13),(14) , (15) , (23) , (24) , (25) , (34) , (35) , (45),(12)(34), (12)(35),(12)(45),(13)(24),(13)(25),(1

10、3)(45)(14)(23),(14)(25)(14)(35) (15)(23),(15)(24),(15)(34),(23)(45), (24)(35),(25)(34);3 阶元：形式为(abc),共有C3A2=204即：(123), (124) , (125) , (132) , (134) , (135) , (142) , (143) , (145) , (152), (153) , (154) , (234) , (235) , (243) , (245) , (253) , (254) , (345) , (354);4阶元：形式为(abcd),共有C4A3= 30 ,即：(12

11、34) ,(1235),(1243),(1245),(1253),(1254),(1324),(1325),(1342),(1345) ,(1352),(1354),(1423),(1425),(1432),(1435),(1452),(1453),(1523) ,(1524),(1532),(1534),(1542),(1543),(2345),(2354),(2435),(2453) ,(2534),(2543);5阶元：形式为(abcde),共有C5A4= 24 ,即：(12345) ,(12354), (12435),(12453),(12534),(12543) ,(13245),(

12、13254),(13425),(13452),(13524),(13542),(14235) ,(14253) ,(14325),(14352),(14523) ,(14532), (15234),(15243),(15324),(15342) ,(15423),(15432);6阶元：形式为(ab) (cde),共有C2C3A2=20,即：(12)(345),(12)(354),(13)(245),(13)(254),(14)(235),(14)(253),(15)(234) , (15)(243),(23)(145), (23)(154) , (24)(135), (24)(153),(2

13、5)(134),(25)(143),(34)(125),(34)(152),(35)(124),(35)(142), (45)(123) , (45)(132);因为 |S5|=120,由定理 1,知 S5子群的阶可能为：1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20, 24,30,40,60,120,又因为 |120|=2 3X 3X5,根据 sylow 定理，S5 必存在 2 阶、3 阶、4阶、5阶和8阶子群，另S5有平凡子群1阶子群和120阶子群，可能有6 阶、10阶、12阶、15阶、20阶、24阶、30阶、40阶和60阶子群。下述S5的 各个阶子群的情况：1阶子群：S5的一阶子群为

14、平凡子群，只包含单位元(1),即H=(1)。2阶子群：由S5的2阶元生成的循环群，由于2阶子群里只有两个元，其中一个为单位元， 由定理2,可知另一个元必为2阶元，因为S5共有25个二阶元，所以S5共有25个2 阶子群，其中分为两个共腕类，第一个共腕类为：H 1=<(12)>=(1) , (12),H2=<(13)>=(1) , (13),H=<(14)>=(1) , (14),H=<(15)>=(1) , (15),H=<(23)>=(1) , (23),H=<(24)>=(1) , (24),H=<(25)>

15、=(1) , (25),H=<(34)>=(1) , (34),H=<(35)>=(1) , (35)I ,H°=<(45)>=(1) , (45);第二个共腕类为：H1=<(12)(34)>=(1),(12)(34),H2=<(12)(35)>=(1),(12)(35),H3=<(12)(45)>=(1),(12)(45),H，=<(13)(24)>=(1),(13)(24),H5=<(13)(25)>=(1),(13)(25),H6=<(13)(45)>=(1),(13)(

16、45),H7=<(14)(23)>=(1),(14)(23),H8=<(14)(25)>=(1),(14)(25),Hh=<(14)(35)>=(1),(14)(35),H2o=<(15)(23)>=(1),(15)(23),H21=<(15)(24)>=(1),(15)(24),H22=<(15)(34)>=(1),(15)(34),H23=<(23)(45)>=(1),(23)(45),H24=<(24)(35)>=(1),(24)(35),H25=<(25)(34)>=(1),(2

17、5)(34)。3阶子群:由S4的3阶元生成的循环群，由定理1, 3阶子群里元的阶只可能为1阶和 3阶，S5里1阶的元为单位元，3阶元有20个，3阶元恰好有10组互为逆元， 经计算S5的3阶子群有10个，为一个共腕类，即：H 1=<(123)>= (1)H 2=<(124)>= (1)H 3=<(125)>= (1)H 4=<(134)>= (1)H 5=<(135)>= (1)H 6=<(145)>= (1)H 7=<(234)>= (1)H 8=<(235)>= (1)H 9=<(245)&

18、gt;= (1)H 10=<(345)>= (1)(123), (132) (124), (142) (125), (152) (134), (143) (135), (153) (145), (154) (234), (243) (235), (253) (245), (254) (345), (354) 4阶子群：（循环群和非循环群）循环群：由S5的4阶元生成的循环群，根据生成的子群的元的情况，一个 4阶元生成的子群里包含有一对互逆的 4阶元，而S5的4阶元有三对互逆的元，故4阶循环子群有3个，且为一共腕类，即：H=<(1234)>=(1),(1234),(13)(

19、24),(1432),代=<(1243)>=(1),(1243),(14)(23),(1342),H=<(1235)>=(1),(1235),(13)(25),(1532),H4=<(1253)>=(1),(1253),(15)(23),(1352),代=<(1245)>=(1),(1245),(14)(25),(1542),H=<(1254)>=(1),(1254),(15)(24),(1452),代=<(1324)>=(1),(1324),(12)(34),(1423),H8=<(1325)>=(1),(1

20、325) ,(12)(35),(1523),H=<(1345)>=(1),(1345) ,(14)(35),(1543),H1o=<(1354)>=(1),(1354),(15)(34),(1453),H1尸<(1435)>=(1),(1435),(13)(45),(1534),H12=<(1524)>=(1),(1524),(12)(45),(1425),Hi3=<(2345)>=(1),(2345) ,(24)(35),(2543),H4=<(2354)>=(1),(2354) ,(25)(34),(2453),Hi5

21、=<(2435)>=(1) , (2435) , (23)(45) , (2534)。非循环群：其元都为2阶元，且两个互不相同的2阶元相乘可得另一个2阶元, 满足这一条件可构成的4阶非循环群有20个，且为2个共腕类，即：也=(1),(12),(34),(12)(34),H7=(1),(12),(35),(12)(35),也=(1),(12),(45),(12)(45),Hw=(1),(13),(24),(13)(24),代。=(1),(13),(25),(13)(25),代1=(1),(13),(45),(13)(45),代2=(1),(14),(23),(14)(23),代3=(

22、1),(14),(25),(14)(25),=(1),(14),(35),(14)(35),凡5=(1),(15),(23),(15)(23),丛=(1),(15),(24),(15)(24),也=(1),(15),(24),(15)(24),H28=(1),(23),(45),(23)(45),H29=(1),(24),(35),(24)(35),H30=(1),(25),(34),(25)(34),H3i=(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),H32=(1),(12)(35),(13)(25),(15)(23),H33=(1),(12)(45),(14)(25),(

23、15)(24),H34=(1),(13)(45),(14)(35),(15)(34),H 35=(1),(23)(45),(24)(35),(25)(34);其中也至H3o为一共腕类,H31至为另一共腕类。5阶子群：由定理1, 5阶子群里元的阶只能为1阶和5阶，故S5的5阶子群为由S5的5 阶元生成的循坏群，S5里1阶的元为单位元，5阶元有24个，经计算S5的5阶子 群有6个，为一个共腕类，即：H尸<(12345)>=(1) , (12345),(13524),(14253),(15432),H2=<(12354)>=(1) , (12354),(13425),(152

24、43),(14532),H3=<(12435)>=(1) , (12435),(14523),(13254),(15342),H4=<(12453)>=(1) , (12453),(14325),(15234),(13542),H5=<(12534)>=(1) , (12534),(15423),(13245),(14352),H6=<(12543)>=(1) , (12543),(15324),(14235),(13452)。S5的8阶子群：由定理1, 8阶子群里元的阶只能为1阶、2阶和4阶，仿照S4的8阶子群, 经计算，S5有15个8阶子群，

25、一个共腕类，即：H=(1),(1234),(13)(24),(1432),(13),(12)(34),(24), (14)(23),H 1=(1),(1324),(12)(34),(1423),(12),(13)(24),(34), (14)(32),H=(1),(1243),(14)(23),(1342),(14),(12)(43),(23), (13)(24),H=(1),(1235),(13)(25),(1532),(13),(12)(35),(25), (15)(23),H=(1),(1245),(14)(25),(1542),(14),(12)(45),(25), (15)(24),

26、H=(1),(1253),(15)(23),(1352),(15),(12)(53),(23), (13)(25),H=(1),(1254),(15)(24),(1452),(15),(12)(54),(24), (14)(25),H=(1),(1325),(12)(35),(1523),(12),(13)(25),(35), (15)(32),H=(1),(1345),(14)(35),(1543),(14),(13)(45),(35), (15)(34),H=(1),(1354),(15)(34),(1453),(15),(13)(54),(34), (14)(35),H=(1),(142

27、5),(12)(45),(1524),(12),(14)(25),(45), (15)(42),H=(1),(1435),(13)(45),(1534),(13),(14)(35),(45), (15)(43),H=(1),(2345),(24)(35),(1543),(24),(23)(45),(35), (25)(34),H=(1),(2354),(25)(34),(2453),(25),(23)(45),(34), (24)(35),H=(1),(2435),(23)(45),(2534),(23),(24)(35),(45), (25)(34)S5的120阶子群：S5的120阶子群即为

28、S5本身。以上为S5里必存在的子群，下面讨论S5的6阶子群：由定理1, 6阶子群里元的阶只能为共腕类，即：H= (1),(12),(13),(23),(123),H2= (1),(12),(14),(24),(124),H3= (1),(12),(15),(25),(125),H4= (1),(13),(15),(35),(135),H5= (1),(13),(14),(34),(143),H6= (1),(14),(15),(45),(145),H7= (1),(23),(25),(35),(235),H8= (1),(24),(25),(45),(245),H9= (1),(24),(23

29、),(34),(234),Ho= (1),(34),(35),(45),(345),S5里可能存在的子群：1阶、2阶和3阶，同构于S3的为一个(132) ,(142) ,(152) ,(153) ,(134) ,(154) ,(253) ,(254) ,(255) ,(354) ,由2阶元，3阶元，和2X3循环置换构成一个共腕类，即:H E (1)：H2= (1)：H3= (1)：H4= (1)：H5= (1)：H6= (1)：H7= (1)：H8= (1)：H9= (1)：%= (1)：由3阶元,(12) (345), (12)(13) (245), (13)(14) (235), (14)

30、(15) (234), (15)(23) (145), (23)(24) (135), (24)(25) (134), (25)(34) (125), (34)(35) (124), (35)(45) (123), (45)(354), (12),(254), (13),(253), (14),(243), (15),(154), (23),(153), (24),(143), (25),(152), (34),(142), (35),(132), (45),(345), (354) (245), (254) (235), (253) (234), (243) (145), (154) (13

31、5), (153) (134), (143) (125), (152) (124), (142) (123), (132) 即：,(12)(45),(14)(35),(15)(34),(13)(45),(25)(34),(23)(45),(24)(35),(25)(34),(24)(35),，(23)(45)。和2X2循环置换构成一个共腕类， H 21=(1),(12)(34),(345),(354),(12)(35)H 22=(1),(14)(23),(235),(253),(14)(25)*=(1),(15)(23),(234),(243),(15)(24)代4=(1),(13)(24),

32、(245),(254),(13)(25)也=(1),(12)(34),(152),(125),(15)(34)%=(1),(12)(45),(123),(132),(13)(45)也=(1),(12)(35),(124),(142),(14)(35)也=(1),(13)(25),(134),(143),(14)(25)也=(1),(13)(24),(135),(153),(15)(24)-0=(1),(14)(23),(145),(154),(15)(23)所以Q的6阶子群共有30个。S5的10阶子群：若S5的10阶子群存在，则由Sylow定理，该10阶子群里必存在5阶子群， 且此5阶子群亦为

33、S5的5阶子群，又因为S5的10阶子群里的元的阶只能为1 阶、2阶和5阶，所以经计算S5的10阶子群有6个，为一共腕类，即：H=(1),(12345),(13524),(14253),(15432),(12)(35),(13)(45),(14)(23),(15)(24),(25)(34),H2=(1),(12354),(13425),(15243),(14532),(12)(34),(13)(45), (15)(23),(14)(25),(24)(35),H=(1),(12435),(14523),(13254),(15342),(12)(45),(14)(35), (13)(24),(15)

34、(23),(25)(34),H4=(1),(12453),(14325),(15234),(13542),(12)(34),(14)(35), (15)(24),(13)(25),(23)(45),H=(1),(12534),(15423),(13245),(14352),(12)(45),(15)(34), (13)(25),(14)(23),(24)(35),H=(1),(12543),(15324),(14235),(13452),(12)(35),(15)(34), (14)(25),(13)(24),(23)(45)。S5的12阶子群：由定理1,12阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、3

35、阶和4阶，仿照S4的12 阶子群，经计算S5的12阶子群的一个共腕类：H= (1), (123), (132), (134), (143), (124), (142), (234), (243), (12) (34), (13) (24), (14) (23) ,凡=(1),(123),(125),(132),(135),(152),(153),(235)(253),(12)(35), (13)(25),(15)(23),代=(1),(124),(125),(142),(145),(152),(154),(245),(254),(12)(45), (14)(25),(15)(24),H=(1)

36、,(134),(135),(143),(145),(153),(154),(345),(354),(13)(45), (14)(35),(15)(34), 代=(1),(234),(235),(243),(245),(253),(254),(345),(354),(23)(45), (24)(35),(25)(34),另经计算，由2阶元、3阶元和2X3循环置换也可构成一共腕类子群：H=(1),(12)(345),(12)(354),(345),(354),(12)(34), (12)(35), (12)(45),(12),(34),(35),(45),H=(1),(13)(245),(13)(

37、254),(245),(254),(13)(24), (13)(25),(13)(45),(13),(24),(25),(45),H8=(1),(14)(235),(14)(253),(235),(253),(14)(23), (14)(25), (14)(35),(14),(23),(25),(35),H9=(1),(15)(234),(15)(243),(234),(243),(15)(23), (15)(24), (15)(34),(15),(23),(24),(34),5=(1),(23)(145),(23)(154),(145),(154),(14)(23), (15)(23), (

38、23)(45),(23),(14),(15),(45),H尸(1),(24)(135),(24)(153),(135),(153),(13)(24), (15)(24), (24)(35),(24),(13),(15),(35),5=(1),(25)(134),(25)(134),(134),(143),(13)(25), (14)(25), (25)(34),(25),(13),(14),(34),小=(1),(34)(125),(34)(152),(125),(152),(12)(34), (15)(34), (25)(34),(12),(15),(25),(34),小=(1),(35)(

39、124),(35)(142),(124),(142),(12)(35), (14)(35), (24)(35),(12),(14),(24),(35),%=(1),(45)(123),(45)(132),(123),(132),(12)(45), (13)(45), (23)(45),(12),(13),(23),(45)。S5的15阶子群：由定理1, 15阶子群里元的阶只能为1阶、3阶和5阶，若H为S5的15阶 子群，由Sylow定理，H必有3阶和5阶子群，此3阶子群和5阶子群必也是 $5子子群，因为任意3阶子群里的3阶元乘以5阶子群里的5阶元必会出现2 阶元，例如：3 阶子群(1),(12

40、3),(132) 与 5 阶子群 (1), (12345), (13524), (14253), (15432) 中，(123) (13524) = (14) (25)为 2 阶元，止匕以 H 中不 含有2阶元矛盾，故S5不含有15阶子群。S5的20阶子群：由定理1, 20阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、4阶和5阶，经计算，S5含有6个20阶子群，为一共腕类:H 尸(1) , (12354) , (13425) , (15243) , (14532) , (1253) , (1324) , (1542), (1435),(2345),(15)(23) ,(12)(34) ,(14)(25) ,

41、(13)(45) ,(24)(35) ,(1352), (1423) , (1245) , (1534) , (2543),H 2=(1) , (12435) , (14523) , (13254) , (15342) , (1234) , (1425) , (1352), (1543),(2453),(13)(24) ,(12)(45) ,(15)(23) ,(14)(35) ,(25)(34) ,(1432), (1524) , (1253) , (1345) , (2354),H 3=(1) , (12453) , (14325) , (15234) , (13542) , (1254)

42、 , (1423) , (1532), (1345),(2435),(15)(24) ,(12)(34) ,(13)(25) ,(14)(35) ,(23)(45) ,(1452), (1324) , (1235) , (1543) , (2534),H 4=(1) , (12345) , (13524) , (14253) , (15432) , (1243) , (1325) , (1452), (1534),(2354),(14)(23) ,(12)(35) ,(15)(24) ,(13)(45) ,(25)(34) ,(1342), (1523) , (1254) , (1435) ,

43、 (2453),H 5=(1) , (12543) , (15324) , (14235) , (13452) , (1245) , (1523) , (1432), (1354),(2534),(14)(25) ,(12)(35) ,(13)(24) ,(15)(34) ,(23)(45) ,(1542), (1325) , (1234) , (1453) , (2435),H 6=(12534) , (15423) , (13245) , (14352) , (1) , (1235) , (1524) , (1342), (1453),(2543),(13)(25) ,(12)(45) ,

44、(14)(23) ,(15)(34) ,(24)(35) ,(1532), (1425) , (1243) , (1354) , (2345)。S5的24阶子群：由定理1,12阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、3阶和4阶，仿照S4的24 阶子群，S5有5个24阶子群，为一个共腕类：H=(1) , (12) , (13) , (14), (23) , (24),(34) ,(12)(34) , (13)(24),(14)(23) , (123) , (132) , (124) ,(142) , (134),(143) ,(234) , (243) , (1234),(1243) , (1432)

45、, (1423) , (1324) , (1342), 代=(1) , (12) , (13) , (15), (23) , (25),(35) ,(12)(35) , (13)(25),(15)(23) , (123) , (132) , (125) ,(152) , (135),(153) ,(235) , (253) , (1235),(1253) , (1532) , (1523) , (1325) , (1352),H=(1) , (12) , (14) , (15) , (24) , (25) , (45) , (12)(45) , (14)(25),(15)(24) , (124) , (142) , (125) , (152) , (145) , (154) , (245) , (254) , (1245), (1254) , (1542) , (1524) , (1425) , (1452),H4=(1) , (13) , (14) , (15) , (34) , (35) , (45) ,