专升本资料5-1( 多元函数微分学)

1、四川省普通高等学校“专升本”选拔高等数学考试大纲（理工类）总体要求考生应理解或了解高等数学中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及线性代数的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“

2、会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。考试用时：120分钟考试范围及要求一 函数、极限和连续二 一元函数微分学三 一元函数积分学四 向量代数与空间解析几何五 多元函数微分学1. 了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极限与连续性概念（对计算不作要求），会求二元函数的定义域。（1） 多元函数 二元函数： 三元函数： 三元或三元以上的函数：（2） 二元函数的几何意义二元函数的图形是一个曲面，曲面在面上的投影就是定义域。（3） 二元函数的定义域一元函数的定义域: 通常可用区间（开区间、闭区间、半开半闭区间，这些区间可为有界也可是无界）或用关于的不等式表示.二元函数的定义域: 由使函数式有

3、意义的点的全体构成。通常由一条或几条曲线（称为的边界）围成的面上的一部分，可用区域（开区域、闭区域、有界开区域或有界闭区域，无界开区域或无界闭区域）。可用关于、所确定的不等式组表示。（3） 二元函数的极限 定义 设函数在点的附近有定义（在点处函数可无定义），如果动点沿任意路径趋近于定点时, 总是趋于一个常数，则称为函数当时的极限，记为 或 或 注： 定义中是沿任意路径的； 若动点以某一种特殊方式（沿某特殊直线或曲线）趋于点时，无限接近，不能得出的结论； 当动点以不同方式或不同路径趋于时，趋于不同值，则一定不存在；（4）二元函数的连续性定义 设函数在点的某个邻域内有定义，如果当点趋近于点时，函数

4、的极限存在， 且等于它在点处的函数值，即 或 则称函数在点处连续。定义 设函数在点的一个邻域内有定义， 若当自变量、的增量、趋近于零时，对应的函数的全增量 也趋向于零，即 则称函数在点处连续。2. 理解偏导数的概念，了解全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。 （1）偏导数在点处对的偏导数：、 、 、， 在点处对的偏导数：、 、， 在任意点处对的偏导数：、 、 在任意点处对的偏导数：、 、 、 （2）全微分定义 定义 如果二元函数在点处的全增量可以表示为 ： 其中、与、无关， 是的高阶无穷小，即 则称 为函数在点处的全微分，记为 ， 这时， 称函数在点处可微。如果函数在区域内每一点都

5、可微，则称函数在区域内可微。 全微分与偏见导数的关系 如果函数在点处可微，则函数在点处的偏导数存在，而且 ，。 （3）函数的可微性、可偏见导性、连续性的关系可微 连续 的极限存在。可微 可偏导。的偏导存在且连续 可微可偏导 与 连续 没有关联。例1考察函数 ，在时的极限是否存在。在处可偏导，求，例2 （成都理工大学2013：理科选择题3分）设，则在处有【 】(A) 在不连续； (B) 在偏导数不存在(C) 在连续且偏导数存在但不可微； (D) 在可微例 3（攀枝花学院：理科解答题5分）连续是可微的（ ）条件.（A）必要 （B）充分 （C）充要 （D）无关3. 掌握二元函数的一、二阶偏导数的计算

6、方法。 ：把看成为常数，把视为的一元函数，对求导 ：把看成为常数，把视为的一元函数，对求导 、， 、 ， 、 ， 、 、，4. 掌握复合函数的一阶偏导数的求法（包括抽象函数）。（1）多元复合函数的中间变量为一元函数，（2） 多元复合函数的中间变量为二元函数， ， （3）多元复合函数的中间变量一个为二元函数，一个一元函数， ， （4）多元复合函数为抽象函数形式若函数没有由自变量具体地表示出来，这样的函数称为抽象函数，如 等。例1 （攀枝花学院：文科解答题5分） 设，求.例2 设，求，.例3 设，求，.5. 会求二元函数的全微分（不包括抽象函数）。例 （成都理工大学：文科选择题4分）设，则【 】(

7、A) (B) (C) (D) 6. 掌握由方程所确定的隐函数的一阶偏导数的计算方法。（1） 二元方程确定的隐函数的导数： . 例（攀枝花学院2013：文科解答题5分） 设由方程确定的一个隐函数，求（2） 三元方程所确定的隐函数的偏导数 ， 例1 （攀枝花学院：理科解答题5分）求由方程所确定的隐函数的全微分例2（成都理工大学2014：理科填空题4分）13设函数由方程确定，其中连续偏导数，则 ， ；7. 会求空间曲线的切线和法平面方程，会求空间曲面的切平面和法线方程。（1）曲面 在其上的点处的切平面方程 切平面的法向量： 切平面方程： 法线方程： （2）曲线 在其上的点处的切线方程 切线的方向向量

8、：， 为点对应的参数的值。 切线方程： 法平面方程： （3）曲线 在其上的点处的切线方程 切线的方向向量： 切线方程： 法平面方程： 例1 （成都理工大学2013：理科填空题4分）曲线在点的切线方程是： 例2 （成都理工大学2014：理科选择题3分）已知曲面上点P处的切平面平行于平面 ，则点P的坐标是【 】 （A）(1,-1,2) （B）(-1,1,2) （C）(1,1,2) （D）(-1,-1,2)8. 会求二元函数的无条件极值，会应用拉格朗日乘数法求解一些最大值最小值问题。（1）二元函数的无条件极值 定义： 设函数在点的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内异于的点都有 (或 )则称为函数的极

9、大值(或极小值)。极大值和极小值统称为极值，使函数取得极大值的点(或极小值的点)称为极大值的点(或极小值的点)，极大值点和极小值点统称为极值点。极值的必要条件： 设函数在点的偏导数，都存在，且在点处有极值，则在该点的偏导数必为零，即 同时满足，的点称为函数的驻点。 极值存在的充分条件（判别驻点是否为极值点) 设是函数的驻点，且函数在点的某个邻域内二阶偏导数连续，令 ，则 (1) 当 且 时，是极大值，当 且 时，是极小值；(2) 当 时， 不是极值； (3) 当 时，可能是极值，也可能不是极值。 求二元函数极值的步骤：(1) 求出函数的一阶、二阶偏导数 、(2) 解方程组，求出函数的驻点；(3

10、) 确定驻点处，、的值及的符号，据此判断出该驻点是否为极值点，并求出极值。例1 （攀枝花学院：理科解答题7分） 求函数的极值.例2 求函数 的极值。 解 （1） 求偏导数， ， ， （2）解方程组 ， 得驻点及（3） 列表判断函数的极值点驻点(结论不是极值是是大极值 函数只有一个极大值：（2）拉格朗日乘数法求解一些最大值最小值（条件极值）在实际问题中，往往会遇到自变量有约束条件的函数的极值问题，这样的极值称为条件极值，无约束条件的极值叫无条件极值。 求函数 在约束条件下的最值第一步：构造辅助函数 （称为拉格朗日乘数）第二步： 解联立方程组 即 得驻点第三步：判别驻点为最值点。（若在实际的函数的

11、定义域内驻点是唯一的，讨论的问题又有最值，则该驻点为函数的最值点）。第四步：得出问题的答案。 求三元函数在约束条件下的最值第一步：构造拉格朗日辅助函数；第二步：解联立方程组 即 得驻点 。第三步：判别驻点为最值点。（若在实际的函数的定义域内驻点是唯一的，讨论的问题又有最值，则该驻点为函数的最值点）。第四步：得出问题的答案。例1 （成都理工大学2013： 文科解答题8分） 要做一个容积为常数R3的长方体无盖水池，应如何选择长方体的长、宽、高，才能使它的表面积最小；例2 要制造一个容积为的圆柱形无盖茶缸，问茶缸的底半径与高各为多少时，才能使其用料最省？解 设圆柱形茶缸的底半径为，高为，表面积为，则

12、 ，且此例实际上是一个条件极值问题，即求函数在条件下的最小值。构造拉格朗日辅助函数按题意组成方程组 ，即 解方程组，得： 由问题的实际意义得知，函数在条件下有最小值，又函数只有一个驻点因此点是函数的最小值点。所以茶缸的底半径、高都为时，其用料最省。例4 要制造一个容积为4立方米的无盖水箱，问水箱的长、宽、高各为多少时，才能使水箱的用料最省？（二）二重积分1. 理解二重积分的概念及的性质。性质1 有限个函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和（也叫逐项积分），即 性质2 常数因子可以提到积分号外作因子，即 其中相对积分变量与而言是常数。性质3 （可加性） 二重积分对积分区域具有可加性，即，若，则

13、 性质4 如果在上，为的面积，那么 性质5 (比值定理) 如果在上，那么 性质6 (估值定理) 设、分别是在上的最大值和最小值，为的面积，那么 性质7（二重积分中值定理） 如果在闭区域上连续，为的面积，那么在上至少存在一点，使得 2. 掌握直角坐标系下及极坐标系下二重积分的计算方法。（1）型积分区域： 区域可表示为： （2）型积分区域：区域可表示为： 综合上所述，在直角坐标系下计算二重积分的一般步骤和方法是： 作出积分区域示意图，通过解方程组求出积分区域边界曲线交点的坐标； 根据被积函数和积分区域的特点，决定二次积分的顺序； 将区域看作为型或型积分区域，并用相应的不等式组表示； 确定每个单积分

14、的积分上（下）限，将二重积分化为二次积分（这是关键步骤，尤其是在直角坐标系下交换二次积分顺序时，更为重要）； 计算出两个单积分，得到二重积分的结果。例 1 （攀枝花学院： 理科解答题6分）3、计算二重积分，其中是由曲线和围成的区域.例 2 （攀枝花学院： 文科解答题6分）计算二重积分，其中是由曲线和围成的区域.例 3 （成都理工大学： 理科及文科解答题8分）计算二重积分：；其中D：；（3）极坐标系下的二重积分的计算当极点与原点重合、极轴正方向与轴正方向重合且有相同长度单位时，平面内点的直角坐标与其极坐标有变换关系 ， 显然，被积函数可变换为 极点在积分区域的外部时，积分区域可用不等式组表示，从

15、而二重积分化为： 极点在扇形积分区域的顶点处时，积分区域可用不等式组表示，从而二重积分化为： 极点在积分区域的内部时，积分区域可用不等式组表示，从而二重积分化为： 极坐标系下计算二重积分的一般步骤和方法是： 根据被积函数和积分区域的特点选择适当的坐标系。如果积分区域属于圆面域、扇面域、圆环域等与圆有关的区域，或者被积函数具有特点时，可以试用极坐标计算二重积分；否则，试用直角坐标计算二重积分。 作出积分区域示意图，计算出积分区域边界曲线交点的坐标，用几何直观法，将区域看作型、型、极坐标型区域，并用相应的不等式组来表示。 确定两个单次积分的上、下限，将二重积分化为二次积分（这是最关键的步骤）。 依次计算出两个单积分（注意