概率复习4-9章

1、1iiiE(X) =x p+-E(X) =xf(x)dx2D(X) =E(X - E(X)22D(X) =E(X) - E (X)iiig(X)gE() =(x )pijiijg(X,Y)g(E() =x y )p,+-g(X)g(x)E() =f(x)dx+-E() =f(x, y)dxg(X,Y)g(x, y)dy 2 YDXDY,XcovXY 3表表 几种常见分布的均值与方差几种常见分布的均值与方差 分布律或分布律或 密度函数密度函数 分布分布数学期数学期望望方差方差 01分布分布 p p(1-p)二项分布二项分布b(n,p) npnp(1-p)泊松分布泊松分布 均匀分布均匀分布U(a,

2、b)指数分布指数分布正态分布正态分布k1-kP(X = k)= p (1- p)k = 0,1kk1-knP(X = k)=C p (1- p)k =0,1,.,n( )P k-P(X = k)= ek!k =0,1,., 1 (b-a),a x 0f(x)=0,其其它它1 21 ()2N ,22(x-)- 21f(x)=e,xR2245.设发现飞机所需时间为设发现飞机所需时间为T，则，则-tP0 0F(t)= pTt =0 t0-tet 0f(t)= F (t)=0t0可可T T服服的的指指分分布布, ,平平均均搜搜索索见从参数为数时间为00( )( )1/1/ttE Ttf t dxt e

3、dxet 分分部部积积分分57.011()11!kkEeXkk 8.00( )2( )2212xxE Yxf x dxxe dxex 101(1)!kkek 01!kkeek 11e 2330011()( )33xxxE Zef x dxedxe 69.()( , )E Xxf x y dxdy 13003( )( , )125xE Yyf x y dxdydxy dy 12004125xdxxy dy 13001()( , )122xE XYxyf x y dxdydxxy dy 2222()() ( , )E XYxyf x y dxdy 12220016() 1215xdxxyy dy

4、也可以先算也可以先算X,Y的边缘密度再求期望的边缘密度再求期望,但较麻烦但较麻烦73300123 1001()( )(3)3322( )( )23311()()( )3xxE Xxf x dxxedxexE Yyf y dxy dyyE XYE XE Y ()() ( )2E XYE X E Y因为因为X和和Y相互独立，所以相互独立，所以11.813.1011,.,10XiiiiXiiXX1,第 站有人下车设，0,第 站无人下车为停车的总次数，则设每名乘客在每一站下车是随机的，设每名乘客在每一站下车是随机的， 则则2020991 10 1, ()11010iiipP XP XE Xp 由数学期

5、望和的性质，平均停车次数为由数学期望和的性质，平均停车次数为201019()()1010 110iiE XE Xp 921. 1)由正态分布的边缘分布还是正态分布可知由正态分布的边缘分布还是正态分布可知22221(,) (1,3 ,0,4 ,)(1,3 ),(0,4 )2X YNXNY N 22()1,()39,( )0,( )416E XD XE YD Y 11111()()()( )103232323XYE ZEE XE Y 11(,)()( )3 4622XYXYCov X YD XD Y ()()()()2(,)323232XYXYX YD ZDDDCov 111()( )(,)394

6、3D XD YCov X Y10211(2)(,)(,)(,)(,)32321111 ()(,)3( 6)032320XZXYCov X ZCov XCov X XCov X YD XCov X Y 221(3)(,)(1,3 ,0,4 ,),2X YN 32XYXZXY 而而 和和都都可可看看成成是是 和和 的的非非零零线性组合线性组合于是由书上于是由书上P118性质性质3知道知道(X,Z)也服从二维正态分布也服从二维正态分布0,XZ 又由又由2)中结果知中结果知所以所以X, Z相互独立相互独立11nnlim P | X - x | = 0nnlim F (x) = F(x)nniini=1

7、i=111limPX -E(X ) nn= 1 nniii=1i=1nnik=1X -E(X )lim PxD(X )= (x) 12习习 题题 五五1. 1. 习题五第习题五第2,4,5,2,4,5,题与之类似题与之类似由题意知由题意知Y B (600, 2/5) E(Y)= np=6002/5=240D(Y)= np(1-p)=6002/53/5=144P216 Y 264 = P Y - 240 0, (i=1,2, ,n) 时时 建立似然方程建立似然方程, 0222ln312 niixndLd25 由似然方程求解得极大似然估计由似然方程求解得极大似然估计值值为为nxnii212 5.

8、极大似然估计极大似然估计量量为为nXnii212 264. 证明：证明：)(1)(122 niiaXnEE niiaXEn12)(12211)(1 nnXDnnii27 1121211121)()(2)()(niiiiiniiiXEXXEXECXXCE 1121121)()()()(2)()(niiiiiiiXEXDXEXEXEXDC) 1() 1() 1( 2) 1() 1(22222 nnnnnC22)1(2 nC5. 证明：证明：)1(21 nC28 niiniiiniiniiaXEaXaEEa1111)()() (1 最最小小最最小小，需需要要使使 niiniiaDXDaD1212)(

9、)( naaan1.21 )(95)(91)(94)3132(2121XDXDXDXXD )(85)(169)(161)4341(2121XDXDXDXXD )(21)(41)(41)2121(2121XDXDXDXXD 的方差最小。的方差最小。3 2910. 解：解：已知，故选枢轴变量：已知，故选枢轴变量：，需估计需估计 )12 ,574. 0)(191, 691, 9,05. 091291 iiiixxsxxn 的的置置信信区区间间为为：的的置置信信度度为为得得95. 0,96. 1025. 0 u392. 6,608. 596. 136 . 06,96. 136 . 06 )1 , 0(

10、 NnXU 22,uunXnX 1| 2/uUP令令30未未知知，故故选选枢枢轴轴变变量量：，需需估估计计 )22 ,574. 0)(191, 691, 9,05. 091291 iiiixxsxxn 的的置置信信区区间间为为：的的置置信信度度为为得得95. 0,306. 2)8(025. 0 t442. 6,558. 5306. 23574. 06,306. 23574. 06 )1( ntnSXT )1(),1(22 nnSXnnSXtt 1)1(| 2/ntTP令令3111. 解：解：由于方差已知，选取：由于方差已知，选取：)1 ,0(Nn/XU 则总体均值的置信度为则总体均值的置信度为

11、1-的置信区间为：的置信区间为：,22 unXunX 区间长度为：区间长度为：Lun 22 222222)(4)2( uLLun 1| 2/uUP令令3220. 解：解：)1()1(,2222 nSnc c c c 故故选选枢枢轴轴变变量量：未未知知因因为为需需估估计计,45,10,05. 0 sn ,325. 3)9(295. 0 c c c c 1)1()1(2122nSnP c c 1)1()1(2122nSnP的的单单侧侧置置信信上上限限为为：的的置置信信度度为为得得95. 0 04.74325. 3459)1()1(2212 nsn c c33_ XN(, ,2) _ ATXXX B

12、TXXX CTXXX DTXXX 1123212331234123111111( );( );333236112111( );();255363(A)XTSn/ 3435),(2 NX0X - U = N(0,1)n0X - T =t(n-1)Snn2i22i=120X - = (n)22220(n-1)S = (n-1)2u u2t t (n-1)22221-22 (n) (n-1) u12w12X -YT =t(n +n -2)11S+nn122t t (n+n -2)22211112222222S SF=F(n -1,n -1)S S122121-2f F (n -1,n -1) f F

13、 (n -1,n -1)或或 37检检验验法法。用用验验均均值值在在方方差差已已知知的的条条件件下下检检U,. 126:26:10 HH。建建立立原原假假设设和和对对立立假假设设 1 , 0 /26,0NnXUH 检验统计量检验统计量成立的条件下成立的条件下在原假设在原假设96. 1|16,n,05. 0205. 02 uuu 拒拒绝绝域域为为：2 . 116/2 . 52656.27 uU的的观观测测值值为为此此时时,96. 12 . 1|205. 0在在接接受受域域内内uuu 26,0认认为为总总体体的的均均值值故故接接受受 H38检检验验法法。用用验验均均值值在在方方差差未未知知的的条条

14、件件下下检检t,3%25. 3:%25. 3:10 HH。建立原假设和对立假设建立原假设和对立假设 155/%25. 3, tSXT检检验验统统计计量量在在原原假假设设成成立立的的条条件件下下 6041. 442 tt拒拒绝绝域域为为： 00017. 041 ,%252. 351512251 iiiixxSxx,3430. 05/25. 3 sxtT的的观观测测值值为为此此时时%25. 3,),4(6041. 43430. 0|0201. 0认为总体的均值认为总体的均值故接受故接受不在拒绝域内不在拒绝域内 Htt 39检检验验法法用用验验方方差差在在均均值值未未知知的的条条件件下下检检2, .

15、 5c c400:400:2120 HH。建建立立原原假假设设和和对对立立假假设设解解： 2440024)1(,2220220c c c cSSnH 检检验验统统计计量量成成立立的的条条件件下下在在原原假假设设 886. 924 559.4524201. 0122201. 022 c cc cc cc c或或拒拒绝绝域域为为： 242862.2424 ,2862.2440024201.0201.021222c cc cc c s观观测测值值为为此此时时400,20认认为为总总体体的的方方差差故故接接受受在在接接受受域域内内 H77.404,25,01. 02 sn 40检验法。检验法。用用验均

16、值验均值在方差未知的条件下检在方差未知的条件下检t,)17%5 . 0:%5 . 0:10 HH 1/%5 . 0/,0 ntnSXnSXT 检验统计量检验统计量在原假设成立的条件下在原假设成立的条件下 8331. 19905. 0 ttT 由由对对立立假假设设知知拒拒绝绝域域为为 91024. 410/%037. 0%5 . 0%452. 010/%5 . 0 05. 0tsxtT 的的观观测测值值10,n,05. 0 0,H故故拒拒绝绝在在拒拒绝绝域域内内41检验法。检验法。用用验方差验方差在均值未知的条件下检在均值未知的条件下检2,)2c c%04. 0:%04. 0:10 HH 9%0

17、4. 0*91,2222022c c c cSSn 检检验验统统计计量量在在原原假假设设成成立立的的条条件件下下 325.399,05.012122 c cc cc c 拒拒绝绝域域为为：由由对对立立假假设设 005. 012222,97006. 7%04. 0*9 Hs故故接接受受不不在在拒拒绝绝域域内内的的观观测测值值为为此此时时 c cc c42 niiiniibxxbyyQ100212)(. 1 0)(21000 niiiixxbxbxyydbdQ niiniiiniiiniiixxxxyyxxxxxxyyb120100100100)()()()(43 11688/228*8-7666

18、 3678/228*521849 1408/52*8478. 4222222 ynylyxnyxlxnxliyyiixyixx834. 0)6()2(9076. 0) 1 (01. 0 RnRlllRyyxxxy 样样本本相相关关系系数数4609.11, 6214. 2)2( xbyallbxxxy线性相关关系显著。线性相关关系显著。与与可认为可认为YXxy6214. 24609.11 经验回归方程为：经验回归方程为：44 9357.13485983.107423952.86583222222 ynyyylyxnyxyyxxlxnxxxliiyyiiiixyiixx55805 ,7124 ,4

19、38202,0769.21131,4615.164131 . 513113121312131131 iiiiiiiiiiiyxyxyyxx684. 0)11()2(9940. 0) 1 (01. 0 RnRlllRyyxxxy 样样本本相相关关系系数数线性相关关系显著。线性相关关系显著。与与可认为可认为YX454065. 1)(216672. 01241. 0)2(22 lblnxbyallbxxyyxxxy xy1241. 06672. 0 经验回归方程为：经验回归方程为：46v已知随机事件已知随机事件A与与B相互独立，相互独立，P(A)=a, P(B)=b, 则则 _ ， _。 v甲乙丙三

20、人同时独立地向一个目标射击一次，命甲乙丙三人同时独立地向一个目标射击一次，命中率分别为中率分别为0.8，0.6，0.5，则目标被击中的概率为，则目标被击中的概率为_。v连续型随机变量连续型随机变量X概率密度为概率密度为 则常数则常数a = _。P AB() P AB() (1-a)(1-b)1-abxf xaex| |( ), 0.961/2v随机变量随机变量X服从参数为服从参数为的泊松分布，的泊松分布， _v设随机变量设随机变量X服从正态分布服从正态分布N(, ,2) ，利用切比雪，利用切比雪夫不等式估计概率夫不等式估计概率 _。D XE X( )( ) P X| 3 11/947v1 已知

21、已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=3/10,则则 A, B, C全不发生的概率是全不发生的概率是 _ v2 五个考签有一个难签，三个考生依次不放回地五个考签有一个难签，三个考生依次不放回地抽取，则第三个考生抽到难签的概率是抽取，则第三个考生抽到难签的概率是 _v3 设一小时内进入图书馆的人数服从泊松分布，已设一小时内进入图书馆的人数服从泊松分布，已知一小时内无人进入图书馆的概率为知一小时内无人进入图书馆的概率为0.01，则一小，则一小时内至少有二人进入图书馆的概率为时内至少有二人进入图书馆的概率为 _v4 设设X与与Y独立同分布，且独立同分布

22、，且P(X=0)=P(X=1)=1/2,则则Z=XY的分布律为的分布律为 _v5 设设X服从参数为服从参数为1的指数分布，则的指数分布，则E(X2)= _48v二、盒中有二、盒中有6个新乒乓球，每次比赛从中任取两个个新乒乓球，每次比赛从中任取两个球来用，赛后任放回盒中，求第球来用，赛后任放回盒中，求第3次取到两个新球次取到两个新球的概率的概率.v三、三、 设随机变量设随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为(1)确定常数确定常数C；(2)讨论讨论X与与Y的独立性。的独立性。,01,0( , )0,Cxy xyxf x y 其其他他v四、四、 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，概率

23、密度分别为相互独立，概率密度分别为求求E(XY)和和E(X+Y).312 ,1,0( ),( ).30,0,xXYy 0ye xfxfy x0 其其他他49v五、设某系统由五、设某系统由100个相互独立的部件组成，每个个相互独立的部件组成，每个部件损坏的概率都是部件损坏的概率都是0.1，必须有，必须有85个以上的部件个以上的部件正常工作才能使整个系统正常运行，求系统不能正正常工作才能使整个系统正常运行，求系统不能正常运行的概率。常运行的概率。(1.67)=0.9525)v六、六、 设设X1,X2, ,Xn是来自总体是来自总体X的简单随机样本，的简单随机样本，X的概率密度函数为的概率密度函数为求

24、未知参数求未知参数的极大似然估计值。的极大似然估计值。2,0( ; )(0)0,xxe xf x 其其他他50v七、某工厂用自动包装机包装葡萄糖，规定标准重七、某工厂用自动包装机包装葡萄糖，规定标准重量为量为500克，现随机地抽取克，现随机地抽取10袋，测得各袋净重为袋，测得各袋净重为495, 510, 505, 498, 503, 492, 502, 512, 497, 506。设。设每袋净重服从正态分布每袋净重服从正态分布N(, ,2)，问包装机的工作，问包装机的工作是否正常？是否正常？(0.05, t0.025(9)=2.2622, t0.025(10)=2.2281)v八、为了解八、为

25、了解15岁中学男生的身高岁中学男生的身高X(厘米厘米)和体重和体重Y(公公斤斤)的关系，随机抽取的关系，随机抽取9个男生测得数据，算出个男生测得数据，算出 (1)检验检验Y与与X是否有显著的线性相关关系；是否有显著的线性相关关系； (R0.01(7)=0.798, R0.01(8)=0.765, R0.01(9)=0.735) (2)求求Y关于关于X的经验回归方程。的经验回归方程。 91161.778,48.778,315.49,143.36,71206.00 xxyyiiixyllx y 51v设随机变量设随机变量 XU(1,2), Y = e2X, 求求 fY ( y )。v已知随机变量已知随机变量B(2,1/3), 求求D(3X - 2Y).1,01,2,1,1,2 XY 0 522220.050.0250.052220.0250.97