自学考试真题历年自考线性代数试题真题及答案分析解答VIP

1、全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1已知2阶行列式，则（ b ）abcd2设a , b , c均为n阶方阵，则（ d ）aacbbcabccbadbca3设a为3阶方阵，b为4阶方阵，且，则行列式之值为（ a ）abc2d84，则（ b ）apabapcqadaq5已知a是一个矩阵，下列命题中正确的是（ c ）a若矩阵a中所有3阶子式都为0，则秩(a)=2b若a中存在2阶子式不为0，则秩(a)=2c若秩(a)=2，则a中所有3阶子式都为0d若秩(a)=2，则a中所有2阶子式都不为06下列命题中错误的是（ c ）

2、a只含有1个零向量的向量组线性相关b由3个2维向量组成的向量组线性相关c由1个非零向量组成的向量组线性相关d2个成比例的向量组成的向量组线性相关7已知向量组线性无关，线性相关，则（ d ）a必能由线性表出b必能由线性表出c必能由线性表出d必能由线性表出注：是的一个极大无关组8设a为矩阵，则方程组ax=0只有零解的充分必要条件是a的秩（ d ）a小于mb等于mc小于nd等于n 注：方程组ax=0有n个未知量9设a为可逆矩阵，则与a必有相同特征值的矩阵为（ a ）abcd，所以a与有相同的特征值10二次型的正惯性指数为（ c ）a0b1c2d3，正惯性指数为2二、填空题（本大题共10小题，每小题2

3、分，共20分）11行列式的值为_12设矩阵，则_13设，若向量满足，则_14设a为n阶可逆矩阵，且，则|_15设a为n阶矩阵，b为n阶非零矩阵，若b的每一个列向量都是齐次线性方程组ax=0的解，则_个方程、个未知量的ax=0有非零解，则016齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为_，基础解系所含解向量的个数为17设n阶可逆矩阵a的一个特征值是，则矩阵必有一个特征值为_a有特征值，则有特征值，有特征值18设矩阵的特征值为，则数_由，得219已知是正交矩阵，则_由第1、2列正交，即它们的内积，得020二次型的矩阵是_三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式的值解：22已

4、知矩阵，求（1）；（2）解：（1）；（2）注意到，所以23设向量组，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量解：，向量组的秩为3，是一个极大无关组，24已知矩阵，（1）求；（2）解矩阵方程解：（1），；（2）25问a为何值时，线性方程组有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）解：时，有惟一解，此时，；时，有无穷多解，此时，通解为，其中为任意常数26设矩阵的三个特征值分别为，求正的常数a的值及可逆矩阵p，使解：由，得，对于，解：，取；对于，解：，取；对于，解：，取令，则p是可逆矩阵，使四、证明题（本

5、题6分）27设a，b，均为n阶正交矩阵，证明证：a，b，均为n阶正交阵，则，所以 全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设3阶方阵，其中（）为a的列向量，若，则（ c ）abc6d122计算行列式（ a ）abc120d1803若a为3阶方阵且，则（ c ）ab2c4d8，4设都是3维向量，则必有（ b ）a线性无关b线性相关c可由线性表示d不可由线性表示5若a为6阶方阵，齐次方程组ax=0基础解系中解向量的个数为2，则（ c ）a2b3c4d5由，得46设a、b为同阶方阵，且，则（ c ）aa与b相似bca与b等

6、价da与b合同注：a与b有相同的等价标准形7设a为3阶方阵，其特征值分别为，则（ d ）a0b2c3d24的特征值分别为，所以8若a、b相似，则下列说法错误的是（ b ）aa与b等价ba与b合同cda与b有相同特征值注：只有正交相似才是合同的9若向量与正交，则（ d ）ab0c2d4由内积，得410设3阶实对称矩阵a的特征值分别为，则（ b ）aa正定ba半正定ca负定da半负定对应的规范型，是半正定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11设，则_12设a为3阶方阵，且，则_13三元方程的通解是_，通解是14设，则与反方向的单位向量是_15设a为5阶方阵，且，则线性空间的维数

7、是_的维数等于基础解系所含向量的个数：1617若a、b为5阶方阵，且只有零解，且，则_只有零解，所以可逆，从而18实对称矩阵所对应的二次型_19设3元非齐次线性方程组有解，且，则的通解是_是的基础解系，的通解是20设，则的非零特征值是_由，可得，设的非零特征值是，则，三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算5阶行列式解：连续3次按第2行展开，22设矩阵x满足方程，求x解：记，则，23求非齐次线性方程组的通解解：，通解为，都是任意常数24求向量组，的秩和一个极大无关组解：，向量组的秩为2，是一个极大无关组25已知的一个特征向量，求及所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特

8、征向量解：设是所对应的特征值，则，即，从而，可得，；对于，解齐次方程组：，基础解系为，属于的全部特征向量为，为任意非零实数26设，试确定使解：，时四、证明题（本大题共1小题，6分）27若是（）的线性无关解，证明是对应齐次线性方程组的线性无关解证：因为是的解，所以，是的解；设，即，由线性无关，得，只有零解，所以线性无关全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，a-1表示方阵a的逆矩阵，r(a)表示矩阵a的秩，（）表示向量与的内积，e表示单位矩阵，|a|表示方阵a的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式=4，则行

9、列式=（ ）a.12b.24c.36d.482.设矩阵a，b，c，x为同阶方阵，且a，b可逆，axb=c，则矩阵x=（ ）a.a-1cb-1b.ca-1b-1c.b-1a-1cd.cb-1a-13.已知a2+a-e=0，则矩阵a-1=（ ）a.a-eb.-a-ec.a+ed.-a+e4.设是四维向量，则（ ）a.一定线性无关b.一定线性相关c.一定可以由线性表示d.一定可以由线性表出5.设a是n阶方阵，若对任意的n维向量x均满足ax=0,则（ ）a.a=0b.a=ec.r(a)=nd.0<r(a)<(n)6.设a为n阶方阵，r(a)<n，下列关于齐次线性方程组ax=0的叙述正

10、确的是（ ）a.ax=0只有零解b.ax=0的基础解系含r(a)个解向量c.ax=0的基础解系含n-r(a)个解向量d.ax=0没有解7.设是非齐次线性方程组ax=b的两个不同的解，则（ ）a.是ax=b的解b.是ax=b的解c.是ax=b的解d.是ax=b的解8.设，为矩阵a=的三个特征值，则=（ ）a.20b.24c.28d.309.设p为正交矩阵，向量的内积为（）=2，则（）=（ ）a.b.1c.d.210.二次型f(x1,x2,x3)=的秩为（ ）a.1b.2c.3d.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式

11、=0，则k=_. 12.设a=，k为正整数，则ak=_. 13.设2阶可逆矩阵a的逆矩阵a-1=，则矩阵a=_. 14.设向量=（6，-2，0，4），=（-3，1，5，7），向量满足，则=_. 15.设a是m×n矩阵，ax=0,只有零解，则r(a)=_. 16.设是齐次线性方程组ax=0的两个解，则a（3）=_. 17.实数向量空间v=（x1,x2,x3）|x1-x2+x3=0的维数是_. 18.设方阵a有一个特征值为0，则|a3|=_. 19.设向量（-1，1，-3），（2，-1，）正交，则=_. 20.设f(x1,x2,x3)=是正定二次型，则t满足_.三、计算题（本大题共6小题

12、，每小题9分，共54分） 21.计算行列式 22.设矩阵a=，对参数讨论矩阵a的秩. 23.求解矩阵方程x= 24.求向量组：，的一个极大线性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来. 25.求齐次线性方程组的一个基础解系及其通解. 26.求矩阵的特征值和特征向量.四、证明题（本大题共1小题，6分） 27.设向量，.,线性无关，1<jk. 证明：+，,线性无关.全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管）试题参考答案课程代码：04184 三、计算题 解：原行列式全国2011年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：at表示矩阵a的转置矩阵，a*表

13、示矩阵a的伴随矩阵，e是单位矩阵，|a|表示方阵a的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1下列等式中，正确的是（ ）ab3=c5d2下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）abcd3设a、b均为n阶可逆矩阵，且c=，则c-1是（ ）abcd4设a为3阶矩阵，a的秩r (a)=3，则矩阵a*的秩r (a*)=（ ）a0b1c2d35设向量，若有常数a,b使，则（ ）aa=-1, b=-2ba=-1, b=2ca=1, b=-2da=1, b=26向量组的极大线性无关组为（

14、 ）abcd7设矩阵a=，那么矩阵a的列向量组的秩为（ ）a3b2c1d08设是可逆矩阵a的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（ ）abcd9设矩阵a=，则a的对应于特征值的特征向量为（ ）a（0，0，0）tb（0，2，-1）tc（1，0，-1）td（0，1，1）t10二次型的矩阵为（ ）abcd二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11行列式_.12行列式中第4行各元素的代数余子式之和为_.13设矩阵a=，b=（1，2，3），则ba=_.14设3阶方阵a的行列式|a|=，则|a3|=_.15设a，b为n阶方阵，且ab=e，a-1b=b-1a=e，则a2+b2=_.16已知3维向

15、量=（1，-3，3），（1，0，-1）则+3=_.17设向量=（1，2，3，4），则的单位化向量为_.18设n阶矩阵a的各行元素之和均为0，且a的秩为n-1，则齐次线性方程组ax=0的通解为_.19设3阶矩阵a与b相似，若a的特征值为，则行列式|b-1|=_.20设a=是正定矩阵，则a的取值范围为_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21已知矩阵a=，b=，求：（1）atb；（2）|atb|.22设a=，b=，c=，且满足axb=c，求矩阵x.23求向量组=（1, 2, 1, 0）t，=（1, 1, 1, 2）t，=（3, 4, 3, 4）t，=（4, 5, 6, 4）t的秩与

16、一个极大线性无关组. 24判断线性方程组是否有解，有解时求出它的解.25已知2阶矩阵a的特征值为=1，=9，对应的特征向量依次为=（-1，1）t， =（7，1）t，求矩阵a.26已知矩阵a相似于对角矩阵=，求行列式|a-e|的值.四、证明题（本大题共6分）27设a为n阶对称矩阵，b为n阶反对称矩阵.证明：（1）ab-ba为对称矩阵；（2）ab+ba为反对称矩阵.全国2011年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，at表示方阵a的转置钜阵，a*表示矩阵a的伴随矩阵，e表示单位矩阵，|a|表示方阵a的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20

17、分）1设，则=（）a-49b-7c7d492设a为3阶方阵，且，则（）a-32b-8c8d323设a，b为n阶方阵，且at=-a，bt=b，则下列命题正确的是（）a（a+b）t=a+bb（ab）t=-abca2是对称矩阵db2+a是对称阵4设a，b，x，y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（）a若a2=0，则a=0b（ab）2=a2b2c若ax=ay，则x=yd若a+x=b，则x=b-a5设矩阵a=，则秩（a）=（）a1b2c3d46若方程组仅有零解，则k=（）a-2b-1c0d27实数向量空间v=（x1，x2，x3）|x1 +x3=0的维数是（）a0b1c2d38若方程组有无穷多解，则=（）a

18、1b2c3d49设a=，则下列矩阵中与a相似的是（）abcd10设实二次型，则f（）a正定b不定c负定d半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11设a=(-1,1,2)t，b=(0,2,3)t,则|abt|=_.12设三阶矩阵，其中为a的列向量，且|a|=2，则_.13设，且秩(a)=3，则a,b,c应满足_.14矩阵的逆矩阵是_.15三元方程x1+x3=1的通解是_.16已知a相似于，则|a-e|=_.17矩阵的特征值是_.18与矩阵相似的对角矩阵是_.19设a相似于，则a4_.20二次型f(x1,x2,x3)=x1x2-

19、x1x3+x2x3的矩阵是_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算4阶行列式d=.22设a=，而x满足ax+e=a2+x，求x.23求向量组：的秩，并给出该向量组的一个极大无关组，同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.24当为何值时，齐次方程组有非零解？并求其全部非零解.25已知1,1,-1是三阶实对称矩阵a的三个特征值，向量、是a的对应于的特征向量，求a的属于的特征向量.26求正交变换y=px，化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形.四、证明题（本大题6分）27设线性无关，证明也线性无关.全国2011年7月高等教育自学考试线性

20、代数（经管类）试题 答案课程代码：04184全国2011年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：在本卷中，at表示矩阵a的转置矩阵，a*表示矩阵a的伴随矩阵，e表示单位矩阵。 表示方阵a的行列式，r(a)表示矩阵a的秩。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设3阶方阵a的行列式为2，则( )a.-1 b. c.d.12.设则方程的根的个数为（ ）a.0 b.1 c.2d.33.设a为n阶方阵，将a的第1列与第2列交换得到方阵b，若则必有（ ）a.b. c. d. 4.设a,b是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（ ）a.b.c.d.5.设其

21、中则矩阵a的秩为（ ）a.0b.1c.2d.36.设6阶方阵a的秩为4，则a的伴随矩阵a*的秩为（ ）a.0b.2c.3d.47.设向量=（1，-2，3）与=（2，k，6）正交，则数k为（ ）a.-10b.-4c.3d.108.已知线性方程组无解，则数a=( )a.b.0c.d.19.设3阶方阵a的特征多项式为则( )a.-18b.-6c.6d.1810.若3阶实对称矩阵是正定矩阵，则a的3个特征值可能为（ ）a.-1，-2，-3b.-1，-2，3c.-1，2，3d.1，2，3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.设行列式其第3行各元素的代数余子式之和为_.12.设则_.1

22、3.设a是4×3矩阵且则_.14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为_.15.设线性无关的向量组1，2，r可由向量组1，2，,s线性表示，则r与s的关系为_.16.设方程组有非零解，且数则_.17.设4元线性方程组的三个解1，2，3，已知则方程组的通解是_.18.设3阶方阵a的秩为2，且则a的全部特征值为_.19.设矩阵有一个特征值对应的特征向量为则数a=_.20.设实二次型已知a的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设矩阵其中均为3维列向量，且求22.解矩阵方程23.设向量组1=（1，1，1，3）t，2=（

23、-1，-3，5，1）t，3=（3，2，-1，p+2）t，4=（3，2，-1，p+2）t问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.24.设3元线性方程组,（1）确定当取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.25.已知2阶方阵a的特征值为及方阵（1）求b的特征值；（2）求b的行列式.26.用配方法化二次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题(本题6分)27.设a是3阶反对称矩阵，证明全国2012年1月自考线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：本卷中，a-1表示

24、方阵a的逆矩阵，r(a)表示矩阵a的秩，|表示向量的长度，t表示向量的转置，e表示单位矩阵，|a|表示方阵a的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设行列式=2，则=（ ）a-6 b-3 c3d62设矩阵a，x为同阶方阵，且a可逆，若a（x-e）=e，则矩阵x=（ ）ae+a-1 be-a ce+ade-a-13设矩阵a，b均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）a可逆，且其逆为b不可逆c可逆，且其逆为d可逆，且其逆为4设1，2，k是n维列向量，则1，2，k线性无关的充分必要条件是（ ）a向量组1，2，k中任意两个向量线性无关b存在一组不全为0的数l1，l2，lk，使

25、得l11+l22+lkk0c向量组1，2，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示d向量组1，2，k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5已知向量则=（ ）a（0，-2，-1，1）tb（-2，0，-1，1）tc（1，-1，-2，0）td（2，-6，-5，-1）t6实数向量空间v=(x, y, z)|3x+2y+5z=0的维数是（ ）a1 b2 c3d47设是非齐次线性方程组ax=b的解，是其导出组ax=0的解，则以下结论正确的是（ ）a+是ax=0的解b+是ax=b的解c-是ax=b的解d-是ax=0的解8设三阶方阵a的特征值分别为，则a-1的特征值为（ ）a b c d2,4,39设矩阵a=

26、，则与矩阵a相似的矩阵是（ ）abcd10以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ）a正定矩阵的乘积一定是正定矩阵b正定矩阵的行列式一定小于零c正定矩阵的行列式一定大于零d正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。11设det (a)=-1，det (b)=2，且a，b为同阶方阵，则det (ab)3)=_12设3阶矩阵a=，b为3阶非零矩阵，且ab=0，则t=_13设方阵a满足ak=e，这里k为正整数，则矩阵a的逆a-1=_14实向量空间rn的维数是_15设a是m×n矩阵，r (a)=r,则ax=0的基础解

27、系中含解向量的个数为_16非齐次线性方程组ax=b有解的充分必要条件是_17设是齐次线性方程组ax=0的解，而是非齐次线性方程组ax=b的解，则=_18设方阵a有一个特征值为8，则det（-8e+a）=_19设p为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则|px|=_20二次型的正惯性指数是_三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式22设矩阵a=，且矩阵b满足aba-1=4a-1+ba-1，求矩阵b23设向量组求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来24设三阶矩阵a=，求矩阵a的特征值和特征向量25求下列齐次线性方程组的通解26求矩阵a=的秩四、证明

28、题（本大题共1小题，6分）27设三阶矩阵a=的行列式不等于0，证明：线性无关 全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：在本卷中,at表示矩阵a的转置矩阵，a*表示矩阵a的伴随矩阵，e是单位矩阵，|a|表示方阵a的行列式，r(a)表示矩阵a的秩.一、 单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式=2,则=(d)a.-12b.-6c.6d.122.设矩阵a=,则a*中位于第1行第2列的元素是(a)a.-6b.-3c.3d.63.设a为3阶矩阵，且|a|=3，则=( b )a.3b.c.d.34.已知43矩阵a的列向量组线性无关，则at的

29、秩等于( c )a.1b.2c.3d.45.设a为3阶矩阵,p =,则用p左乘a，相当于将a ( a )a.第1行的2倍加到第2行b.第1列的2倍加到第2列c.第2行的2倍加到第1行d.第2列的2倍加到第1列6.齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为( b )a.1b.2c.3d.47.设4阶矩阵a的秩为3，为非齐次线性方程组ax =b的两个不同的解，c为任意常数，则该方程组的通解为( a )a.b.c.d.8.设a是n阶方阵，且|5a+3e|=0，则a必有一个特征值为( b )a.b.c.d.9.若矩阵a与对角矩阵d=相似，则a3=( c )a.eb.dc.ad.-e10.二次型f =是

30、( d )a.正定的b.负定的c.半正定的d.不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.行列式=_16_.12.设3阶矩阵a的秩为2，矩阵p =，q =，若矩阵b=qap ,则r(b)=_2_.13.设矩阵a=，b=，则ab=_.14.向量组=(1,1,1,1),=(1,2,3,4),=(0,1,2,3)的秩为_2_.15.设,是5元齐次线性方程组ax =0的基础解系，则r(a)=_3_.16.非齐次线性方程组ax =b的增广矩阵经初等行变换化为，则方程组的通解是_.17.设a为3阶矩阵，若a的三个特征值分别为1，2，3，则|a|=_6_.18.设a为3阶矩阵，且|a|=

31、6，若a的一个特征值为2，则a*必有一个特征值为_3_.19.二次型f=的正惯性指数为_2_.20.二次型f=经正交变换可化为标准形.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式d =22.设a=，矩阵x满足关系式a+x=xa,求x.23.设均为4维列向量，a=（）和b=（）为4阶方阵.若行列式|a|=4，|b|=1，求行列式|a+b|的值.24.已知向量组=(1,2,1,1)t,=(2,0,t,0)t,=(0,4,5,2)t,=(3,2,t+4,-1)t（其中t为参数），求向量组的秩和一个极大无关组.25.求线性方程组.（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）26.

32、已知向量(1,1,1)t，求向量,使两两正交.四、证明题（本题6分）27.设a为mn实矩阵，ata为正定矩阵.证明：线性方程组a=0只有零解.全国2012年7月自考线性代数(经管类)试题课程代码:04184国2012年10月自考线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：本卷中，a-1表示方阵a的逆矩阵，r(a)表示矩阵a的秩，|表示向量的长度，t表示向量的转置，e表示单位矩阵，|a|表示方阵a的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设行列式=2，则=（ ）a-6 b-3 c3d62设矩阵a，x为同阶方阵，且a可逆，若a（x-e）=e，则矩阵x=（ ）ae+a-1 be-a ce+a de-a-13设矩阵a，b均为可逆方阵，则以下