大学物理实验误差不确定度

1、 测量是物理实验的基础。测量是物理实验的基础。 测量结果应测量结果应包括包括数值、单位数值、单位和对测量结果精确程度的和对测量结果精确程度的评价（评价（不确定度不确定度）。）。 以电阻测量为例以电阻测量为例 测量对象测量对象 数值数值 不确定度不确定度 单位单位含义：含义： R 的真值有相当大（例如的真值有相当大（例如95%）的可能（概率）的可能（概率）位于区间位于区间 （909.9，910.7） 之内。之内。4.03.910R测量分为测量分为直接测量直接测量和和间接测量间接测量 直接测量：直接测量：由仪器直接读出测量由仪器直接读出测量结果的。结果的。 间接测量：间接测量：由直接测量结果由直接

2、测量结果通过公式计算通过公式计算 而得出结果的。而得出结果的。例：例：测量铜柱的密度时，我们可以用米尺量出它的测量铜柱的密度时，我们可以用米尺量出它的高高h和直径和直径d，算出体积，算出体积 然后用天平然后用天平称出它的质量称出它的质量M，算出密度，算出密度 这里铜柱的高这里铜柱的高 h、直径、直径 d 和质量和质量 M是是直接测得量，直接测得量， 体积体积V和密度和密度是是间接测得量间接测得量。24dhVhdMVM24误差公理误差公理：测量总是存在误差的，：测量总是存在误差的，误差普遍存在误差普遍存在。误差定义误差定义：推论：推论：(1).真值真值不可确知不可确知(2).误差误差不可确知不可

3、确知 误差虽然不可确知，但我们可以分析误差的主要误差虽然不可确知，但我们可以分析误差的主要来来源源，尽可能消除或减小某些误差分量对测量的影响，尽可能消除或减小某些误差分量对测量的影响，把它控制在允许范围之内。对于最终不能消除的误差把它控制在允许范围之内。对于最终不能消除的误差分量，我们还可以估计出它的分量，我们还可以估计出它的限值限值或或分布范围分布范围，对测，对测量结果的精确程度作出合理的评价量结果的精确程度作出合理的评价测量误差测量值真值 系统误差系统误差：测量值对真值的偏离（包括大小和方向）：测量值对真值的偏离（包括大小和方向） 总是相同的。具有总是相同的。具有恒定性，不能用增加测量次数

4、的方恒定性，不能用增加测量次数的方法使它减小。法使它减小。 偶然误差偶然误差：由大量、微小、不可预知的因素引起。：由大量、微小、不可预知的因素引起。 具有具有随机性，随机性，服从服从统计律统计律 产生原因：产生原因： 系统误差系统误差： 如仪器误差，方法误差，人员误差如仪器误差，方法误差，人员误差 偶然误差偶然误差： 如实验条件和环境因素的起伏，估读数如实验条件和环境因素的起伏，估读数 的偏差，测量对象的不稳定的偏差，测量对象的不稳定.已定系统误差已定系统误差：设法消除，或修正：设法消除，或修正 测量结果测量结果 = 测得值测得值(或其平均值或其平均值)- -已定系统误差已定系统误差 （如电表

5、、螺旋测微计的零位误差；伏安法测电阻时电表内（如电表、螺旋测微计的零位误差；伏安法测电阻时电表内阻引起的阻引起的 误差）误差）未定系统误差未定系统误差：估计其：估计其限值（仪器的允差）限值（仪器的允差），归入归入B类不确类不确定度定度参与对测量结果的评价（参与对测量结果的评价（如仪器误差）。如仪器误差）。 仪仪 器器 名名 称称量量 程程最小分度值最小分度值最最 大大 允允 差差钢板尺钢板尺150mm500mm1000mm1mm1mm1mm0.10mm0.15mm0.20mm游标卡尺游标卡尺125mm0.02mm0.05mm0.02mm0.05mm螺旋测微器（千分尺）螺旋测微器（千分尺）025

6、mm0.01mm0.004mm七级天平（物理天平）七级天平（物理天平）500g0.05g0.08g（接近满量程）0.06g（1/2量程附近）0.04g（1/3量程附近）普通温度计普通温度计精密温度计（水银）精密温度计（水银）0100010010.110.2电表电表级别%量程数字万用电表数字万用电表m%UUx 电流表电流表（量程量程30mA, 0.5级级）仪器误差仪器误差 举例：举例：仪30 0.5% 0.2(mA)仪偶然误差的特点：统计规律性偶然误差的特点：统计规律性 小误差出现的概率大；大误差出现的概率小小误差出现的概率大；大误差出现的概率小,具具 有有单峰性单峰性； 正、负误差正、负误差对

7、称对称分布，分布， 具有具有抵偿性。抵偿性。处理方法处理方法： 取多次测量的取多次测量的平均值平均值为测量结果为测量结果的最的最佳估计值。佳估计值。 研究其研究其分布分布，找出其，找出其特特征值征值，归入，归入A类不确定度，类不确定度，参与对测量结果参与对测量结果的评价。的评价。 P(x) 小 大 x 0 偶然误差一般服从偶然误差一般服从正态分布，正态分布，可用概率密度函数可用概率密度函数来描述，概率密度函数为来描述，概率密度函数为(1). 当测量次数当测量次数 时，时，所有测量值的所有测量值的算术平均值就等于真算术平均值就等于真值值 所以所以增加测量次数可以减小偶然误差增加测量次数可以减小偶

8、然误差。(2). 称为标准差，是称为标准差，是 中的参数，反映误差的离散程度中的参数，反映误差的离散程度 221( )exp()22xx P(x) 小 大 x 0 ( )xn( ) x(3). 置信区间置信区间 与置信概率（置信水平）与置信概率（置信水平）的关系：的关系：11.9621.96333( )d68.3%( )d95%( )d99.7%Px xPxxPxx),(00kxkx p(x) - 0 x( )dkCkPxx 偶然误差的处理方法偶然误差的处理方法 假定系统误差已消除，对同一个物理量进行假定系统误差已消除，对同一个物理量进行n次测量，测得次测量，测得的值为的值为xi (i =1,

9、 2，n)(1) 用多次测量的用多次测量的算术平均值算术平均值作为作为x0的的估计值：估计值： (2) 用算术平均值的标准差用算术平均值的标准差 作为作为 的的估计值估计值 按贝塞耳公式求出按贝塞耳公式求出：测量结果可以表述为：测量结果可以表述为：nxxnii/ )(1211()(1)nxiixxn nxxYx为了估计测量结果的可靠程度，测量结果应写成为了估计测量结果的可靠程度，测量结果应写成不确定度不确定度 是是概率概率意义上对测量结果意义上对测量结果精确程度精确程度的评价。的评价。表示测量结果是一个范围表示测量结果是一个范围它表示待测物理量的真值有一定的概率落在上述范围内它表示待测物理量的

10、真值有一定的概率落在上述范围内（关键是找出关键是找出 置信区间置信区间与与置信概率置信概率的关系的关系） 若置信概率为若置信概率为100%，则相应的，则相应的 就称为就称为极限误差极限误差， 用用 表示，写作：表示，写作： N,NN NNYNNeYNeN 也常用也常用标准差标准差 表示，写作表示，写作 这时置信概率就为这时置信概率就为68.3% 要完整地表示一个物理量，应该有要完整地表示一个物理量，应该有数值、单位数值、单位 、不确定度不确定度这三个要素这三个要素 相对误差和相对不确定度：相对误差和相对不确定度： 常用相对不确定度估计相对误差的大小常用相对不确定度估计相对误差的大小NYN=测量

11、误差相对误差真值=不确定度相对不确定度测量值例：测得两个物体的长度为：例：测得两个物体的长度为： 其相对其相对不确定度不确定度分别为：分别为： 两者两者不确定度不确定度相等，但相等，但相对相对不确定度后不确定度后者者大大1个数量级个数量级。注：不确定度一般取注：不确定度一般取12位有效数字。位有效数字。cm03. 035. 2,cm03. 050.2321ll%3 . 1%10035. 203. 0%,13. 0%10050.2303. 021EE不确定度分类不确定度分类 不确定度分为两类：不确定度分为两类： A 类类分量分量 (多次重复测量时多次重复测量时)可用可用统计学方法统计学方法计算的

12、计算的 分量；（常指分量；（常指标准差标准差） B 类类分量分量 用其他方法估算的分量（比如用其他方法估算的分量（比如仪器仪器的允差的允差或或极限误差极限误差）。）。 总不确定度是这两类分量的总不确定度是这两类分量的方和根方和根合成：合成： 2B2AAB A 计算标准偏差计算标准偏差 计算计算算术平均值算术平均值的标准差的标准差211()1niixxn211()(1)nxiixxn n 单次测量的几种情况：单次测量的几种情况： (1).仪器精度较低；仪器精度较低；(2).对测量的准确程度要求不高对测量的准确程度要求不高(3).受测量条件限制受测量条件限制 单次测量只能考虑单次测量只能考虑B类分

13、量，即仪器的允差或类分量，即仪器的允差或极限误差极限误差 ，表达式：，表达式： 若要在若要在 与与 间换算，间换算，eYNee3e 求测量数据的平均值求测量数据的平均值 修正已定系统误差修正已定系统误差 (例如初读数例如初读数x0），得），得 求求算术平均值算术平均值的标准偏差的标准偏差根据所用仪器得根据所用仪器得 B=仪 =e将将极限误差换算为标准差极限误差换算为标准差 由由 A、 B合成总不确定度合成总不确定度u : 给出直接测量的最后结果：给出直接测量的最后结果： 11niixxn211()(1)nAiixxn n22BAu %100 xuEuxx0 xxx3Be例：例：用一级螺旋测微计

14、测某一圆柱体的直径用一级螺旋测微计测某一圆柱体的直径d共共6次，测量值如下表：次，测量值如下表： 螺旋测微计的初读数为：螺旋测微计的初读数为：- 0.003mm， 螺旋测微计的仪器误差为螺旋测微计的仪器误差为仪仪= 0.004mm，求测量结果。，求测量结果。解解:(1)求直径求直径 d 的算术平均值、对已定系统误差进行修正的算术平均值、对已定系统误差进行修正 (2)计算计算A类不确定度类不确定度 i123456Di /mm8.3458.3488.3448.3438.3478.344(8.3458.3488.3448.343 8.3478.344)/68.345mmd 8.345-(-0.003

15、)8.348mmd 210.002mm(1)nidddn n(3)计算计算B类不确定度类不确定度(4)合成不确定度合成不确定度(5)测量结果为测量结果为 mm002. 03/仪B22220.0020.0020.00280.003mmAB 0.003100% 0.03%8.348E8.348 0.003mm0.03%DE设被测量设被测量y可写成可写成m个直接测量量个直接测量量 的函数的函数通过直接测量已得通过直接测量已得则则或或mxxx,21),(21mxxxfyxmmmxxuxxuxxuxx.,222111),(21mxxxfy 2222211)()()(xmmxxuxfuxfuxfu 222

16、2222121)ln()ln()ln(xmmxxuxfuxfuxfyuE 适用条件(1).各直接测量量 互相独立；(2).各直接测量量 的已定系统误差已 被消除或修正。mxxx,21mxxx,21常用函数的不确定度合成公式 1. 求出各直接测量量求出各直接测量量 xi 的平均值的平均值 和和(总总)不确定度不确定度2. 求求y的平均值的平均值3. 据据 求出求出 或或3.用用 求出求出 或先用或先用 求出求出 再求再求4.完整表示出完整表示出y的结果的结果 ix).,(21nxxxfy ixfixflnnixiyixf12)(nixiyixfy12)ln(yyyyyyyix).,(21nxxx

17、fy 例：例：已知金属环的外径已知金属环的外径 内径内径 高高 求环的体积求环的体积V ，并正确表示测量结果。，并正确表示测量结果。解：解：环体积公式为环体积公式为 （1）环体积的最可靠值为）环体积的最可靠值为 （2）首先将环体积公式两边同时取自然对数后，再求全微分）首先将环体积公式两边同时取自然对数后，再求全微分 cm004. 0600. 32Dcm004. 0880. 21Dcm004. 0575. 2h)(42122DDhV3222122436. 9575. 2)880. 2600. 3(4)(4cm hDDV)ln(ln)4ln(ln2122DDhV21221122d2d2d0dDDD

18、DDDhhVV 则相对不确定度为则相对不确定度为（3）不确定度为）不确定度为（4）环体积的测量结果为）环体积的测量结果为 V=9.440.08 cm3 9.436应与应与0.08取齐，故将取齐，故将9.436修约为修约为9.44。 21212222222212112222222222()()()0.0042 3.600 0.0042 2.880 0.004()()()2.5753.6002.8803.6002.8800.00810.8%DDVhVD uDuuuEVhDDDD 39.4360.0080.08(cm )VVuV E有效位数的概念有效位数的概念 测量结果用且只用它的有效位数表示。测量

19、结果用且只用它的有效位数表示。 不确定度决定有效位数不确定度决定有效位数。具体为具体为：不确定度的有效位数取不确定度的有效位数取1位，测量结果的末位与位，测量结果的末位与 不确定度末位对齐。不确定度末位对齐。 测量结果的有效位数越多，其相对不确定度越小，精确度越高测量结果的有效位数越多，其相对不确定度越小，精确度越高 例：例：0.0123与与1.23与与123的有效位数都是的有效位数都是3位。位。0.01230有效位数是有效位数是4位位, , 最右边的最右边的“0”是有效位数，不可以省略不写。是有效位数，不可以省略不写。 记例1：光速C=30万公里每秒不正确的写法：C=300000km/s；C

20、=30km/s正确的写法：C=3.0105km/s=3.0108m/s例2：电子电量e =1.60218910-19C101,10aaAn且科学记数法科学记数法仪器的读数规则(1).刻度式仪表，在最小分度值后要估读一位(2).数字显示仪表，直接读取仪表的示值。(3).游标类量具，读到游标分度值的整数倍。有效位数的运算规则有效位数的运算规则 “4 4舍舍6 6入入5 5凑偶凑偶”:(1).要舍弃的数字小于5时，舍去；(2).要舍弃的数字大于5时，进1；(3).要舍弃数字刚好是5，凑偶。例例：保留3位有效位数，则9.8249=9.829.82571=9.839.8250=9.82数值的修约规则数值

21、的修约规则运算过程多保留运算过程多保留1至至2位，位，最终结果的有效位数由不确定度决定最终结果的有效位数由不确定度决定要点：(1).避免运算过程引入不必要的“舍入误差”(2).最终结果按有效位数的规则进行修约，归根到底，不确定度决定有效位数有效位数的运算规则有效位数的运算规则例：例：已知已知 ， 求求 并正确表示测量结果。并正确表示测量结果。解：解： (1) 注意注意应取应取 = 3.1416 参与运算参与运算 (2) 注意注意多算出多算出1位，最后再作修约位，最后再作修约 (3) V=9.440.08 cm3 注意注意最终结果的正确表达最终结果的正确表达 cm004. 0600. 32Dcm

22、004. 0880. 21Dcm004. 0575. 2h)(42122DDhV3222122436. 9575. 2)880. 2600. 3(4)(4cm hDDV%81. 00081. 0)880. 2600. 3004. 0880. 22()880. 2600. 3004. 0600. 32()575. 2004. 0(212222222VuEVV)cm(08. 00081. 0436. 93VVEVu(1).两数相加（减），其和（差）的有效位数的最后（即最右）一位与两数中最后一位位数高者相同。如：11.4+3.56 =15.0 ； 75-10.350 =65 十分位十分位 十分位十分

23、位 个位个位 个位个位(2).两数相乘（除），其积（商）的有效位数与两数中有效位数少者相同。如：98 2003 =2.0105 ； 2.0000.991=2.02 二位二位 二位二位 三位三位 三位三位 注：正确数不适用上述规则常数应取足够的有效位数参与运算简化的运算规则简化的运算规则所有实验数据都要用列表的方法记录例：例：表表1：伏安法测电阻实验数据：伏安法测电阻实验数据U /V 0.741.522.333.083.664.495.245.98 6.767.50I /mA 2.004.016.228.209.75 12.00 13.99 15.92 18.00 20.01U /V 0.74

24、1.52 2.33 3.08 3.66 4.49 5.24 5.98 6.76 7.50I /m A 2.00 4.01 6.22 8.20 9.75 12.00 13.99 15.92 18.00 20.01作图可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系作图可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系可用来求某些物理参数可用来求某些物理参数作图规则作图规则：（以以伏安法测电阻实验为例）伏安法测电阻实验为例）表表1：伏安法测电阻实验数据：伏安法测电阻实验数据要用坐标纸作图要用坐标纸作图根据坐标分度值和数据范围，确定坐标纸的大小根据坐标分度值和数据范围，确定坐标纸的大小坐标分度值的选取应能基本反映测量

25、值的准确度或精密度坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度坐标轴的标注（所代表的物理量的名称、单位、分度值等）坐标轴的标注（所代表的物理量的名称、单位、分度值等）标出数据点标出数据点连成光滑曲线，标注图题及必要的说明连成光滑曲线，标注图题及必要的说明I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00电阻伏安特性曲线电阻伏安特性曲线利用所绘直线作有关计算利用所绘直线作有关计算I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上由图上A、B两点可得被测电阻两点可得被测电阻R为：为：)k(379. 076. 258.1800. 100. 7ABABIIUUR不当图例展示不当图例展示：n(nm)1.6500500.0700.01.67001.660