【2019年暑期课程北师大版初二数学】第11讲实数教案

1、第11讲实数wwwmucN/ Q ®克京1概述适用学科初中数学适用年级新初二适用区域 北师版课时时长（分钟）120实数的概念及分类实数的性质 （相反数、倒数、绝对值）知识点利用数轴化简实数或式子在数轴上表示无理数1 .了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小2.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样教学目标3在利用数轴上的点来表示实数的过程中，让学生进一步体会数形结合的思想。4.在认识“实数”这一新知识时，学生应用已有的“有理数”的相关概念及运算规律类比解决"

2、实数”的相关概念及运算规律，从而获取解决实数相关问题的基本方法。5了解数系扩展对人类认识发展的必要性;1. 了解实数意义，能对实数进行分类;教学重点2.在实数范围求相反数、倒数和绝对值、明确实数的运算运算规律;教学难点! 【教学建议】3 .明确数轴上的点与实数 对应并能用数轴上的点来表示无理数。I利用数轴上的点表示无理数L本节是在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数范围从有理数到实数，这是数的范围的一次重要扩充，对今后学习数学有重要意义在中学阶段，多数数学问题是在实数范围内研究例如，函数的自变量和因变量是在实数范围内讨论，平面几何、立体几何中的几何量（长度、角度、面

3、积、体积等）都是用实数表示等 实数的知识贯穿于中学数学学习的始终，学生对于实数的运算，以后还要通过学习二次根式的运算来加深认识，因此本节的作用十分重要。学生学习本节课内容易出错:（1） 有理数、无理数、实数的概念及其分类上易混淆，所以注意区分;/ Q ®克為3WWWJDUUCN/ Q ®克為7WWWJDUIjCN(2) 算数平方根和平方根的概念易混淆；(3) 个实数的相反数与绝对值有关化简运算，非负数的应用。【知识导图】实数分类实数分类实数数轴与实数数轴与实数相反数实数性质倒数绝对值教学过程一、导入【教学建议】第一环节：复习引入新课内容：问题：(1 )什么是有理数？有理数怎

4、样分类？(2 )什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？意图：回顾以前学习过的内容，为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备。效果：学生主动思考并积极回答，通过相互补充完善了旧知识的复习掌握，通过对有理数分类的复习，使 学生进一步明确了分类要按同一标准不重不漏。通过举例明确了无理数的表现形式，野味后续判断或者对 实数进行分类提供了认知准备。第二环节：实数概念和分类内容1:把下列各数分别填入相应的集合内：3 252学穴教肓, 引8，' 9 , 0, 0.3737737773（相邻两个 3 之间7的个数逐次增加1)无理数集合有理数集合知识整理：有理数和无理数统称为实数。意图：通过将以上各

5、数填入有理数集合和无理数集合，建立实数概念。效果：学生动手填写，并进行小组交流讨论，对带根号的数是否是无理数有了进一步认识。内容2： 1.你能把上面各数分别填入下面相应的集合内吗?负数集合正数集合2. 0属于正数吗？ 0属于负数吗?知识整理：无理数和有理数一样，也有正负之分。1从符号考虑，实数可以分为正实数、0、负实数。2 另外从实数的概念也可以进行如下分类:实数有理数无理数0, 0不能放入上面的任何一个集意图：在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类。上面的数中有合中，学生容易遗漏，强调0也是实数，但它既不是正数也不是负数，应单独作一类。提醒学生分类可以有不同的方法，但要按同一标准不重不漏

6、。效果：让学生讨论回答，形成共识：实数也可以分为正实数、0、负实数，并体会到了分类中不能出现遗漏和重复的要求。第三环节：实数的相关概念内容1:1 在有理数中，数 a的相反数是什么？绝对值是什么？当 a不为0时，它的倒数是什么？2. 5成中的相反数是什么？ 人的倒数是什么？3 , 0, n的绝对值分别是什么？意图：从复习入手，类比有理数中的相关概念，建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念，它们的意义和 有理数范围内的意义是一致的。效果：学生类比有理数中相关概念，体会到了实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义。内容2:想一想：1. 3n的绝对值是。2. 想一想：a是一个实数，它的相反数是，它的绝对值

7、是，当a0时，它的倒数是。知识整理(1 )相反数：a与一a互为相反数；0的相反数仍是0;丄(2) 倒数：当a工0时，a与a互为倒数(0没有倒数);(3) 绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0;a(a 0)|a| 0(a 0)即: a (a 0)意图：加深学生对相关概念的理解。效果：学生在讨论交流中进一步掌握了实数的相反数、倒数、绝对值等知识。第四环节：实数运算，用哪些运算律?内容：1.在有理数范围内，能进行哪些运算？（加、减、乘、除、乘方）2.判断下列各式成立吗？2.5.5 .2-【3 s 5 13.?'5 、3.5、543 2 73 2 4 7 3

8、2 113 2意图：从复习入手，类比有理数中的相关运算及运算律，得到有理数的运算及运算律对实数仍然适用。效果：学生类比有理数中相关运算，体会到了实数范围内的运算及运算律。第五环节：探究 实数与数轴上点之间的对应关系内容1:如图所示，认真观察，探讨下列问题：（1）如图，OA=OB数轴上A点对应的数表示什么？它介于哪两个整数之间？（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？知识整理（1）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数 与数轴上的点是对应的；（2 ）在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。意图：探讨用数轴上的点来表示实数，

9、将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的思想，利用 数轴也可以直观地比较两个实数的大小。效果：经过学生的探讨，认识到了数轴上点A表示的数是 2，它是一个无理数，这表明有理数不能将整个数轴填满。进而观察到点 A在表示数1和2的点之间，因此“数轴上，右边的点表示的数总比左边的点 表示的数大”在实数范围内仍然适用。二、知识讲解知识点1实数的分类有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点对应，即数轴上每一个点都可以用一个实数来表示,反过来，每一个实数都可以在数轴上找到表示它的点。实数的分类：正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数 无无限不循环小数.负无理数|知识点2实

10、数的相反数、倒是、绝对值的意义1. 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全相同。绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a| > 0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a»，则a>0;若|a|=-a ，则a< 0。相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）.从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有 a+b=0, a=-b，反之亦成立。倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1

11、和-1。零没有倒数。知识点3实数的大小比较与运算1. 比较实数的大小有理数大小的比较法则在实数范围内仍适用，其一数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大；其 二正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两负数比较大小，绝对值大的反而小。2. 比较方根的大小若 a>b, 一 p> 辽）；若 a>b，则一 一 > 一厂 ；3. 实数的运算一有理数的运算率和运算性质在实数范围内任然适用。二涉及无理数的运算可根据问题的要求取其近似值三、例题精析【教学建议】此处内容主要用于教师课堂的精讲，每个题目结合试题本身、答案和解析部分，教师有的放矢的进行讲授 或与学生互动练习。例题1【

12、题干】下列说法正确的是（）A 不是有限小数就是无理数B 带根号的数都是无理数C 无理数一定是无限小数D 所有无限小数都是无理数【答案】C.【解析】根据无理数的概念判断即可.解：A、不是有限小数，如无限循环小数不是无理数，错误；B、 带根号的数不一定是无理数，如，错误；C、无理数一定是无限小数，正确；D、所有无限小数不一定都是无理数，如无限循环小数不是无理数，错误;故选：C 例题2【题干】 下列各式的值一定是正数的是（）A B ：C丄a.【答案】C【解析】根据实数、绝对值以及算术平方根的性质进行选择即可.解：A、当a < 0时，駅 w 0，故A错误；B、当a = 0时，一=0，故B错误；C

13、、 T0,. a2> 0,二"> 0,故 C 正确；aD、当a = 0时，|a|= 0，故D错误；例题3D |a|A （如图所示），则点A所表示的数为【题干】小明在数轴上先作边长为 1的正方形，再用圆规画出了点/ Q篡欢6911WWWM1XN1,则可根据勾股定理求出正方形对角线的长度以对角线长度为半径作圆与x轴交于点A，则点A表示的数即为1加上对角线的长度.解：根据勾股定理得，正方形的对角线的长度为-则点A表示的数为1+:，例题4 |【题干】.7的相反数是 .【答案】.h【解析】直接根据相反数的定义进行解答即可.解：由相反数的定义可知，灯弗的相反数是-（ 翻-血）,即岛-

14、逅.例题5C所表【题干】如图，在数轴上点 A, B表示的数分别是1,-.二若点B, C到点A的距离相等，则点 示的数是.-J20 1【答案】故答案为：2+.：-.【解析】先求出点A、B之间的距离，再根据点 B、C到点A的距离相等，即可解答.解：数轴上点 A, B表示的数分别是1 ,-；，二 AB= 1（ .）= 1< :,则点C表示的数为1+1+'=2+】:,B.4C1 、10 1E >四、课堂运用【教学建议】在对课堂知识讲解完，把握了重点突破了难点以及练习精讲了之后，再用练习进行课堂检测，根据学生情 况建议分3个难度层次：易，中，难。基础用所给词的适当形式填空。1. 下列

15、说法正确的是（）A .立方根等于它本身的实数只有 0和1B .平方根等于它本身的实数是 0C.1的算术平方根是土 1D .绝对值等于它本身的实数是正数【答案】B.【解析】根据立方根和平方根及算术平方根、绝对值的定义逐一判断可得.解：A.立方根等于它本身的实数有0和1,- 1，此选项错误；B .平方根等于它本身的实数是0,此选项正确；C . 1的算术平方根是1,此选项错误；D .绝对值等于它本身的实数是正数，此选项错误；2. 按要求写出下列各数：倒数是它本身的数是 ,相反数是它本身的数是 ,绝对值是它本身的数是 ,平方是它本身的数是 ,平方根是它本身的数是 ,算术平方根是它本身的数是 ,立方是它

16、本身的数是 ,立方根是它本身的数是 .【答案】土 1 , 0,非负数，0, 1； 0； 0, 1； 1, 0,- 1；- 1, 0, 1 . 3.在实数 金冈匹0, 【解析】根据平方根、立方根，可得答案.解：倒数是它本身的数是土 1 ,相反数是它本身的数是 0,绝对值是它本身的数是 非负数，平方是它本身的数是 0, 1,平方根是它本身的数是 0,算术平方根是它本身的数是0, 1,立方是它本身的数是 1, 0,- 1,立方根是它本身的数是-1, 0, 1,8的立方根是/ Q ®克13WWWJDU1XN【答案】匸1； 2.3【解析】直接利用相反数以及立方根的性质计算得出答案.解：-丄的相

17、反数是：38的立方根是：2.巩固卜列说法正确的是（)A . 的相反数是二B. 2是4的平方根C . ；是无理数D .计算：一 3【答案】B【解析】直接利用相反数的定义以及立方根和平方根的定义分别化简得出答案.解：A、.二的相反数是-.，故此选项错误；B、2是4的平方根，正确；C、-"7= 3,是有理数，故此选项错误；D、 .= 3,故此选项错误；2. 如图，数轴上点 A、点B表示的数分别中1和.二若点A是线段BC的中点，则点 C所表示的数是CABT-10123【答案】2 -!.【解析】设点C所表示的数是X,根据AC = AB列出方程，解方程即可.解：设点C所表示的数是X,点A是线段B

18、C的中点， AC= AB,1 - x= 口 - 1, - x= 2- r<.即点C所表示的数是2- . 口.3. 如图所示，已知四边形 ABCD是边长为2的正方形，AP = AC,则数轴上点P所表示的数是/ Q ®克為C/1 A1 E2 -1o :L2訂【答案】1 - 2:.【解析】根据勾股定理，可得 AC的长，根据数轴上两点间的距离，可得答案.解：AC = Q2 乂= 2V，AP= AC = 2 -:,1- 2 ：:,P点坐标1 - 2:.I拔高I1. 已知 皈:迈和鶴:迈互为相反数，求x+y的平方根.【答案】=± 2 .【解析】根据立方根互为相反数的被开方数互为相

19、反数，可得答案.解：由题意，得x- 2+y- 2= 0,解得x+y= 4-7= _ ;=± 2.2.已知A=是3x- 7的立方根，而B是A的相反数，求x2 - y的立方根./ Q ®克為15WWWOU1XN【答案】3【解析】根据立方根，可得方程组，根据解方程组，可得x, y的值，根据开立方，可得答案.解：由题意得x+y=53i-74Tr-6=0解得3. 如图，面积为30的长方形OABC的边0A在数轴上，0为原点，0C = 5，将长方形OABC沿数轴水平移01A1B1C1与原长方形0ABCE所表示的数互为相反数时,动，O, A, B, C移动后的对应点分别记为 Oi, A1,

20、 B1, C1,移动后的长方形 重叠部分的面积记为 S.(1) 当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点Ai表示的数是多少？(2) 设点A的移动距离AAi= x. 当S= 10时，求x的值； D为线段AA1的中点，点E在线段001上，且0E = OO1，当点D, 求x的值.CBoA*【答案】1) 9或3; (2)4;7.2.【解析】(1) 计算长方形边长，分左右两个方向移动来考虑；(2) 表示00 '，根据S= 10求解；用x表示出点D, E所表示的数，根据二者和等于0求解.解：(1)长方形 0ABC面积是30, 0C = 50A = 6.当长方形向右移动时，AB = 5, S= 1

21、5, 0' A = 3, 00 ' = AA'= 3,点A1表示的数是9;当长方形向左移动时，AB = 5, S= 15, 0' 0= 3, 00 ' = AA'= 3,点A1表示的数是3,点 A1表示的数是9或3;(2)/ S= 10, AB = 5, 0' A = 2, AA1 = x = 4;解得x=- 7.2，即左移7.2个单位时，点 D, E所表示的数互为相反数,结合题意知x= 72.课堂小结【教学建议】此处内容主要用于教师对本节课重点内容进行总结，一方面是对本节课的重点难点内容的回顾，更重要的是针对这节课学生出现的问题再次进行

22、复习提问等，以达到让学生课上掌握的目的，同时可以对下节课内容进行简单的铺垫，以体现出本节课内容与下节课内容之间的关系。1. 有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点 对应，即数轴上每一个点都可以用一个实数来表示,反过来，每一个实数都可以在数轴上找到表示它的点。实数的分类：正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数 无无限不循环小数.负无理数2.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全相同。绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a| > 0。零的绝对值是它本身，也可看成它/ Q ®克為17WW

23、WJDU1XN的相反数，若|a|=a，贝U a>0;若|a|=-a ，贝U a< 0。相反数：实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零).从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有 a+b=0, a=-b，反之亦成立。倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。3.实数的运算：1 ).比较实数的大小：有理数大小的比较法则在实数范围内仍适用，其一数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大；其二正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两负数比较大小,绝对值大的反

24、而小。2).比较方根的大小：若 a>b, C>Vb;若a>b，则3）实数的运算：一有理数的运算率和运算性质在实数范围内任然适用。二涉及无理数的运算可根据问题的 要求取其近似值拓展延伸）【教学建议】教师根据学生掌握情况有针对性的进行课后作业的布置，掌握好的同学可以适当的布置难度大一些的作业， 成绩一般的同学可以以基础题和巩固题目为主，但是一定要控制作业的数量，给学生布置的作业一般不要 超过5题，这样学生才能保证做题的质量。基础1. 下列说法中，正确的是（）A 立方根等于-1的实数是-1B 27的立方根是土 3C 带根号的数都是无理数D （- 6） 2的平方根是-6【答案】故选：

25、A 【解析】根据立方根的定义判断 A与B;根据无理数的定义判断 C ;根据平方根的定义判断 D 解：A、立方根等于-1的实数是-1，故本选项正确；B、27的立方根是3,故本选项错误；C、 由于无限不循环小数是无理数，所以带根号的数不一定都是无理数，女口是有理数，故本选项错误;D、（- 6） 2的平方根是土 6,故本选项错误；2. 下列说法中正确的是（）A .无限不循环小数是无理数B 无限小数都是无理数C 带根号的数都是无理数D .无理数是开方开不尽的数【答案】A【解析】 根据无理数和有理数的内容逐个判断即可.解：A、无限不循环小数是无理数，正确，故本选项符合题意；B、无限不循环小数是无理数，无

26、限循环小数是有理数，错误，故本选项不符合题意；C、如是有理数，不是无理数，即带根号的数不一定是无理数，错误，故本选项不符合题意；D、无理数包括开方开不尽的根式、含有n的、一些有规律的数,即光说无理数是开方开不尽的数错误,故本选项不符合题意;23. 3的倒数是（)2233A. 2B. -2C. 3D.-3【答案】A【解析】根据倒数的定义可得I的倒数是|,故选A巩固1. 3.在实数卜厂，,n- 2,口， 0.121 221 222 1 (两个”1”之间依次多一个“ 2”）中，有理数有C. 3个根据有理数的定义、无理数的定义进行判断即可得解.解：有理数有:2. 如图，在数轴上点A, B分别对应-一；

27、，- 1,点C是数轴上一点，且AB= BC,则点C对应的数为 .欝普G>-1 0 1【答案、护-2.【解析】根据中点坐标公式可求点C对应的数.解：在数轴上点 A, B分别对应-杯£，- 1,点C是数轴上一点，且 AB= BC ,点 C 对应的数为-1+ - 1 -（-.；） =.：；- 2.3. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，则 a+bv 0;a- b> 0;|a|v |b|;a2< b2;ab>b2.以上说法正确的有 （在横线上填写相应的序号）>a ft 0【答案】.【解析】根据图示，可得a< b<0,- a<- b，据此逐项判断即可.【解答】解：T a< b< 0, a+b< 0,wwwmixn选项正确；/ av bv 0,- a - bv 0,选项错误；/