【必考题】高三数学上期中试题含答案(4)

1、【必考题】高三数学上期中试题含答案（4）一、选择题1.周髀算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春 分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之 和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（）A. 一尺五寸B.二尺五寸2.已知等比数列an的各项均为正数，且log3 al log 3 a2 log3 a3 log3 a10A. 10B. 12C.三尺五寸a5a6 a4a718,则()C. 1 log 3 5D.四尺五寸D. 2 log 3 53 .河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门

2、石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处浮雕像”共7层，每上 层的数量是下层的2倍，总共有1016个 浮雕像”，这些 浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上浮雕像”的数量构成一个数列an ,则log2 a3 a5的值为（）A. 8B. 10C. 12D. 164 .已知等比数列an中，a3a114a7 ,数列bn是等差数列，且>a7,则b§b§（）A. 2B. 4C. 16D. 85 .设函数是定义在十8）上的单调函数，且对于任意正数 ",有代灯）=/（X）+ /（y）|,已知=- 1,若一个各项均为正数的数列 卜满足1A.3

3、66 .在等差数列A. 167 .已知哥函数EJV"）,其中a是数列反的前，1项和，则数列。记中第 18 项比1« 二（）B. 9C. 18D. 36an中，a3 a5 2a10 4 ,则此数列的前13项的和等于（）B. 26C. 8D. 131y f （x）过点（4, 2），令 an f（n 1） f （n） , n N ，记数列 一 的an前n项和为Sn，则Sn 10时，n的值是（）A. 10B. 120C. 130D. 1408,已知数列an满足a1二1,且an式为（）13an,1、n, 八（-）（n 2 ,且ne N*）,则数列an的通项公 3A. an3nn 2n

4、 2B- an3nC. an=n+2D. an= ( n+2) 3n9-等差数列an满足a10, a2018220190, a2018 a20190,则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是（）A. 2018B. 2019C. 4036D. 403710.在 ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若bsin A 73a cos B 0,且b2 ac,则的值为（） b2A. 2B. J2C.2x y 2 011 .若x , y满足xy40JUz y2x的最大值为 y 0A.8B. 4C. 1D. 4D. 212 .在 ABC中，内角A, B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin2A J3

5、asin B- cb J3c ,则一的值为（aA. 1B.、填空题13 .设数列an n1,n2a 6，且 an 2an 1an 1an2 ,右14 .a415 .16 .表示不超过x的最大整数，则已知数列a5a6已知数列已知函数集合为20192019aia2L 2019a2019anan是等差数列，若a12a3a14a4a7a1017,77 ,且 ak 13,则 k的前n项和为Sn,一2且 Sn 2nn 1, n N ,求 an5时取到最小值，则实数 a的所有取值的17 .某公司租赁甲、乙两种设备生产 类产品10件,乙种设备每天能生产 费为200元，设备乙每天的租赁费为A,B两类产品，甲种设

6、备每天能生产A类产品5件和BA类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁300元,现该公司至少要生产 A类产品50件,B类产品140件，所需租赁费最少为元.18 .已知对满足4x 4y 5 4xy的任意正实数x,V，都有19._22xy y ax ay 1 0,则实数a的取值氾围为在ABC中，若 sinX:sinB:sin78:l,则 C = 20.y设变量x, y满足约束条件：xxy 2 ,则z x 3y的最小值为1三、解答题21 .在 ABC中，内角A、B、C的对边分别为a, b, c, 2cosc acosB bcosA c 0.(i)求角C的大小；(1)若a衣b 2，求sin 2

7、B C的值.22 .已知a,b,c分别是AABC的角A, B,C所对的边，且c 2,a2 b2 4 ab .(1)求角C ;若 sin2 B sin2 A sinC(2sin 2A sinC),求 ABC的面积.23 .各项均为整数的等差数列an,其前n项和为Sn,ai1,a2,a3,S4 1成等比数列.(1)求2口的通项公式；(2)求数列( 1)n ?an的前2n项和T2n .124 .在 VABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a 4cosC , b 1. a(1)若 A 90 ,求VABC的面积；(2)若VABC的面积为Y3 ,求a , c. 225 .已知数列

8、 an的前n项和Sn pn2 qn p,q R,n N ，且阚 3,S4 24.(1)求数列 an的通项公式；(2)设bn 2an ,求数列bn的前n项和Tn .26 .在 ABC角中，角A、B、C的对边分别是 a、b、c,若asinB JSbcosA .(1)求角A；(2)若 ABC的面积为2百，a 5,求 ABC的周长.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1. B解析：B【解析】 【分析】an ,可得an为等差数列，根据已知结合前 n项和公式和从冬至日起各节气日影长设为等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为an ,9 a aQSn是

9、其前n项和，则S9 -1一- 9a5 85.5尺，2所以 a5 9.5 尺，由题知 a1 a4 a7 3a4 31.5,所以a4 10.5,所以公差d a5 a41,所以 a12 a5 7d 2.5尺。故选：B.【点睛】本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.2. A解析：A【解析】【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列an的性质求解。【详解】5因为 log3a log3a2 log3a3L log3a10 = log3 a1a2a3L a10 =log3 a1a10 ,又 a4a?a5a6a14。，由 a4a?a§a618得 a1知 9

10、,所以5一 log3a1 10g3a2 10g3a3L 10g3a10 = log39 =10,故选 a。【点睛】本题考查了对数运算及利用等比数列an的性质，利用等比数列的性质：当m n p q,(m,n, p,q N )时，am an ap aq ,2特利地m n 2k,(m, n, k N )时，am an ak ,套用性质得解，运算较大。3. C解析：C【解析】【分析】数列an ,是等比数列，公比为 2,前7项和为1016,由此可求得首项 a1，得通项公式， 从而得结论.【详解】Q最下层的 浮雕像”的数量为a1，依题有：公比q 2n 7sa1 1 21016,解11 71 2得 ai8,

11、则 an 8 2n 1 2n 2 1 n 7,n N* ,83 25,a5 27,从而a3 85 25 27 212, log2 83 85 log2 21212 ,故选 C.【点睛】本题考查等比数列的应用.数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后 利用数列的知识求解.4. D解析：D【解析】【分析】利用等比数列性质求出87,然后利用等差数列的性质求解即可.【详解】等比数列8n中,83811= 487,可得 872=4a7,解得 87 = 4,且 b7=87, b7= 4,数列bn是等差数列，则 b5+b9=2b7=8.故选D.【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简

12、单性质的应用，考查计算能力.5. C解析：C【解析】一 |1| 一 , f (Sn) =f ( 8n) +f ( 8n+1 ) -1=f'8n(8n + 1) -函数 f (X)tETE 乂域在(0, + °°)上的单2调函数，数列8n各项为正数，Sn=18n(8n+1)当n=1时，可得81 = 1；当n>2时，Sn- 1=-8n-1(8n-1 + 1) ，-可得8n=8n( 8n + 1 )2841(8n-1 + 1) /. (8n+8n-1)(8n-8n-1-1 ) =0: 8n>0,8n-8n-1-1=0 即 8n-8n-1 = 1数列8n为等差数

13、列，81=1 , d=1；8n=1+ ( n-1 ) M=n 即 8n=n 所以"1(1= 18故选C6. D解析：D【解析】【详解】试题分析：.838528io4 , 28428104, 848102 ,. q13(81 813) 13(84 810) S13 13,故选 D.22考点：等差数列的通项公式、前 n项和公式.7. B解析：B【解析】【分析】根据募函数所过点求得募函数解析式，由此求得an的表达式，利用裂项求和法求得Sn的表达式，解方程Sn【详解】10求得n的值.设备函数为f将4,2代入得42,1,所以f x 百.所以2S-n-1所以an,nL 22 1 67 1,由 S

14、n Vnl 1 10 解得n 120,故选 B.【点睛】本小题主要考查募函数解析式的求法,考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题8. B解析：B【解析】试题分析：由题可知，将 an(3)n(n 2,两边同时除以百,得出1,运用累加法，解得,整理得an考点：累加法求数列通项公式9. C解析：C【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式，结合已知条件列不等式组,进而求得使前n项和Sn0成立的最大正整数【详解】n.由于等差数列an满足a10, a2018a20190, a2018a20190,所以da20180所以S4036a!a403624036a2018a2019201802a2019a201

15、90S4037a1a403740374037022,所以使前n项和Sn0成立的最大正整数n 是 4036.0,且故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列前 n项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题10. A解析：A【解析】【分析】由正弦定理，化简求得sin B 3 cos B0,解得B ，再由余弦定理，求得3224b a c ,即可求解，得到答案.【详解】在 ABC 中，因为 bsin A J3acosB 0 ,且 b2 ac , 由正弦定理得 sin Bsin A J3sin AcosB 0 , 因为 A (0,),则 sin A 0 ,所以 sin B J3cosB 0 ,即 tan B

16、J3 ,解得 B -,由余弦定理得 b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac (a c)2 3ac (a c)2 3b2,22 a c即4b2a c ,解得2 ,故选A.b【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三 角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键.通常当涉及两边及其中一边 的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运 用余弦定理求解.11. D解析：D【解析】x y 2 0作出不等式组 x y 4 0,所表示的平面区域，如图所示， y 0当x 0时，可行域为四边形 OBCD内部，目标函

17、数可化为 z y 2x,即y 2x z, 平移直线y 2x可知当直线经过点 D(0,2)时，直线的截距最大，从而 z最大，此时， zmax 2 ,当x 0时，可行域为三角形 AOD ,目标函数可化为z y 2x ,即y 2x z ,平移 直线y2x可知当直线经过点 D(0,2)时，直线的截距最大，从而 z最大，zmax 2 ,综上，z y 2 x的最大值为2.故选D .点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.常见的类型有截距型( ax by型)、y b22斜率型( 型)和距离型(x a y b型). x a(3)确定

18、最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形12. D解析：D【解析】分析：由正弦定理可将 bsin2 A 73asinB 0化简得c0sA,由余弦定理可得2a2 b2 c2 2bccosA 7c2,从而得解.详解：由正弦定理，bsin2A J3asinB 0,可得 sinBsin2A J3sinAsinB 0,即 2sinBsinAcosA 、.3sinAsinB 0由于：sinBsinA 0, 用，要抓住能够利用某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式 时，要考虑用余弦

19、定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理; 以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.所以cosA 近 2因为50<A<砥所以A 6.3c,由余弦定理可得2.2222。22a b c 2bccosA 3c c 3c 7c.即a27口所以：4故选:点睛:D.在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要二、填空题13. 2018【解析】【分析】数歹Ian满足a1=2a2=6且(an+2- an+1)-(an+1- an) = 2利用等差数列的通项公式可得：an+1- an=2n+2再利用累加求和方法可得an=n (n+1)利解析：

20、2018【解析】利用等差数列的通项公 .利用裂项求和方法即【分析】数列an满足 a1 = 2, a2= 6,且(an+2 - an+1) - ( an+1 - an) = 2,(n+1)式可得：an+1 - an= 2n+2,再利用累加求和方法可得an= n可得出.【详解】an 2 an 1an 1an2, .数列an+1- an为等差数列，首项为 4,公差为2.-an+1 an= 4+2 ( n 1) = 2n+2. an = ( an an= 2n+2 (n - 1)1)+ ( an -1 an+ +2x 2+22)+ + (a2 a1)+ain (n+1)aia2a20192019202

21、011 202020192019 L2019a?a201920192019 -2020201812020= 2018.故答案为:【点睛】2018.本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法与裂项相消求和方法，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题.14. 18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理解析：18【解析】a7a1017 ,a4 ay a10 17 ,观察下标发现4, 7, 10成等差数列，所以3a7 a17a7 一同理 11a9 a4 a5 a6 L a 加 a14 77, a§ 7 3, 22八d ak a9 13 7 66 9 k 9 9 1833

22、15 .【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达 式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检 验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最解析：an【解析】4,n 14n 1,n 2分析：根据an & Sn 1可以求出通项公式 an ；判断S与a1是否相等，从而确定 an的表达式。详解：根据递推公式，可得Sn 1 2(n 1)2 (n 1) 1由通项公式与求和公式的关系，可得anSnSn 1 ,代入化简得一 2一2an 2n n 1 2(n 1) (n 1) 14n 1经检验，当n 1时，S1 4,a1 3所以S1

23、 a1所以an4, n 14n 1,n 2点睛：本题考查了利用递推公式anSnSn 1求通项公式的方法，关键是最后要判断a1是否相等，确定an的表达式是否需要写成分段函数形式。16 .【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】一当时恒成立则为增函 数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数解析：20,30【解析】【分析】先求导，判断函数的单调性得到函数的最小值，由题意可得x取离ja最近的正整数使f x达到最小，得到f 5f 6 , f 5 f 4 ,解得即可2x a2x当a 0时,x 0恒成立，则f x

24、为增函数,最小值为f x min f 1 4a,不满足题意，当a 0时，令f x 0,解得x Ja ,当0 x ja时，即f x 0,函数f x在区间0,ja上单调递减，当x y时，即f x 0,函数f x在区间ja,上单调递增，当x ja时，函数f x取最小值，又x n* , x应取离ja最近的正整数使f x达到最小， 又由题意知，x 5时取到最小值，.5 7a 6或4 7a 5,. . f 5 f6 且 f5 f4,即 5a 3 6 g 3且5 a 3 4 旦 35654'解得20 a 30.故实数a的所有取值的集合为 20,30 .故答案为：20,30 .【点睛】本题考查了导数和

25、函数的单调性关系，以及参数的取值范围，属于中档题17. 2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产大乙种设备需要生产 天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产 AB两类产品的情况为下表所示：产 品设备A类产品（件）（ 50 联产品（件）（ 140 解析：2300【解析】 【分析】 【详解】设甲种设备需要生产 工天，乙种设备需要生产 F天，该公司所需租赁费为 二元，则 z 200x 300y ,甲、乙两种设备生产 A,B两类产品的情况为下表所示 ：产品 设备A类产品（件）（50B类产品（件）（140租赁费（元）甲设备510200乙设备6203005x则满足的关系为10xx6y20 y 0

26、,y50140 即: 065y2y0.y10作出不等式表示的平面区域5 y 10的交点（4,5）时，目标函数2y 14x当z 200x 300 y对应的直线过两直线xz 200x 300y取得最低为2300元.xy满足可求得x+y>5由x2+2xy+y2 -18. （-8【解析】【分析】由正实数ax-ay+1>0包成立可求得a<x+y+恒成立利用对勾函数的性质即可求得实数a的取值范围【详解】因为正实数 xy满足而4x解析:26【解析】【分析】由正实数x,y 满足 4x 4y 5 4xy ,可求得 x+y>5,由 x2+2xy+y2 axay+1>0 恒成立5可求得

27、awx+y+工恒成立，利用对勾函数的性质即可求得实数a的取值范围.x y【详解】因为正实数x, y满足4x 4y 5 4xy ,而4xyW (x+y) 2,代入原式得(x+y) 2-4 (x+y) - 5R,解得 x+yR5或 x+yw- 1 (舍去)， 由 x2+2xy+y2 - ax-ay+1>0 可得 a (x+y) < (x+y) 2+1,即 a<x+y+1,令 t=x+y C 5, +00), x y、八，1则问题转化为awt,t一，一一 1 ，一因为函数y=t +，在5, +°°)递增,所以 ymin =5+ = ,5 5所以a<26 ,

28、526故答案为(一°0,5【点睛】本题考查基本不等式，考查对勾函数的单调性质，求得x+y>5是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题.19. 2 冗 3【解析】二,由正弦定理可得 sinA:sinB:sinC=7:8:13 a： b: c=7:8: 13令 a=7kb=8kc=13k (k>0)利用余弦定理有 cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64一一 2用解析：【解析】由正弦定理可得 sinA:sinB:sinC = 7:8:13 , a ： fr ： c = 7T«7 13|,匕=89c = 13A (fc>0),利用余弦定理有a2b2-

29、 c2 4gA2 + 64立工_ 169/?1_ , _ctyaC =Q0<C<180"， C= 120 ，故答2f 击IlZfc22案为12。”.20.-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10【解析】作出可行域如图所示:x zx z由z x 3y得y ,平移直线y ，由图象可知当直线经过点A时，直线3 33 3x zy 3 3的截距最大，此时z最小x 1.一由得 A( 1,3),此时 z 1 3 310x y 2故答案为 10三、解答题21.（I） C3（n）47.210【解析】【分析】(I

30、)利用正弦定理化简已知条件，求得 cosC的值，由此求得 C的大小.(II)根据余弦定 理求得c ,利用正弦定理求得 sin B ,利用同角三角函数关系式求得cosB ,由二倍角公式求得sin2B,cos2B的值，再由两角差的正弦公式求得sin 2B C的值.解：(I)由已知及正弦定理得J2 cosc sin AcosBsinBcosA sinC 0一. 一 2V2cosCsinC sinC 0， cosC ,02（n）因为 a 42 b 2, C,由余弦定理得sin Csin2Bsin 2B,2b 2abcosC2 .22,22sin B在5sin B所以cos B2.552.54 qq 2

31、,cos2B cos55sin 2 B cosC cos2 B sin Csin2 B7、. 210本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题22.(1) C【解析】2 .33试题分析：(1)由余弦定理得cosC值，再根据三角形内角范围求角 C； (2)由正弦定 理将条件化为边的关系： b2 c2 a2 4accosA,再根据余弦定理得 2a b ,代人解得胆,c 2,由勾股定理得3VABC的面积.试题解析：解:1)由余弦定理，得cosCB ,最后根据直角三角形面积公式得222222 c2a b c a b 2 a

32、b 12ab2ab 2ab 2又C 0,，所以c .322由 sin B sin A sinC 2sin2A sinC ,得 sin2B sin2C sin2A 2sin2 AsinC ,得 sin2B sin2C sin2A 4sinAcosAsinC , .222b c a再由正弦te理信 b c a 4accosA ,所以cosA .4ac222又由余弦定理，得 cosA b一c-a-,2bc由，得,222b c a4bc222一c,得 4ac 2bc,得 2a 2bcb,a b : ab,得a逋，b迤b 2a33所以b2 a2 c2 .所以B .2所以 VABC的面积 S lac -

33、2G 2 23 . 223323. (1) an 2n 3 (2) T2n 2n【解析】【分析】2(1)由题意，可知a3 a2 (S4 1),解得d 2,即可求解数列的通项公式;(2)由(1),可知anan 12,可得T2nai a2a3 a4.【详解】(1)由题意，可知数列an中，a1一 22则 a3 a2 (S4 1),即 1 2d所以数列的通项公式 an 2n 3.(2)由(1),可知 an an 12,所以T2na a2a3 a4a2n 1 a2n ,即可求解.1 , a2, a3, S4 1成等比数列1 d 3 6d ,解得 d 2,a2n 1 a2n2n.本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力,属于基础题24.(1)2.?2(1)已知4cosc根据余弦定理和勾股定理等已知条件，可求得a与c的值，应用三角形面积公式,可求得三角形面积;(2)根据三角形面积公式，得 sinC,根据a1 4cos C ,得 cosC, a代入sin2C+cos2C=1, 【详解】得关于a的方程，解方程即可 a4cosC2,22a b ca2 1.90b22c2a2 12, 2ab2 c我,1.一SV ABC1 .