相似三角形的性质与位似提高

1、相似三角形的性质与位似、相似三角形的性质1 相似三角形的对应角相等2 相似三角形的对应边成比例3 相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比.4 相似三角形周长的比等于相似比.5 相似三角形面积的比等于相似比的平方.二、位似图形有关的概念与性质及作法1如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比注：(1) 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点(2) 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形(3) 位似图形的对应边互相平行或共线

2、.3. 位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比注：位似图形具有相似图形的所有性质4. 画位似图形的一般步骤：(1) 确定位似中心(位似中心可以是平面中任意一点)(2) 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长(或截取)(3) 根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置(4) 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形 注：位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上(图形边上或顶点上)。 外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”(即同向位似图形) 内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似

3、”(即反向位似图形)Page 17 of 12【例1】 已知 ABC与 DEF相似且对应中线的比为 2:3，则 ABC与厶DEF的周长比为.【例2】 若两个相似三角形的相似比是2:3，则这两个三角形对应中线的比是 .【例3】两个相似三角形的面积比 S： S,与它们对应高之比g： h2之间的关系为【例4】 如果两个相似三角形对应高的比为5:4，那么这两个相似三角形的相似比为 .【巩固】两个相似三角形对应高之比为1:2，那么它们对应中线之比为（）A. 1: 2B. 1:3C. 1: 4D. 1:8【例5】 若厶ABCDEF，它们的面积比为 41 ,则 ABCDEF的相似比为（）A . 2:1 B

4、. 1: 2 C . 4 :1 D . 1: 4【例6】 已知 ABCs A'B'C'，它们的相似比是 2： 3 , ABC的周长为6，贝U A'B'C'的周长为（ ）.【巩固】若两个相似三角形的面积之比为1：，则它们的周长之比为（）A . 12B . 14C . ：5D . ：16【例7】 已知 ABCs DEF，且AB： DE = 12，则 ABC的面积与 DEF的面积之比为（）A . 1：2B . 1：4C . 21D . 21【例8】 在厶ABC和厶DEF中，AB=2DE , AC =2DF , . A=/D .如果 ABC的周长是16，

5、面积是12 , 那么 DEF的周长、面积依次是 .【巩固】已知D、E分别是 ABC的AB、AC边上的一点，DE/ BC，且 Sa a:S四边形8B=3,那么 AD： AB等于（)1112A .-B .-C .D .4323【拓展】如图，在 ABC 中，DE / FG/ BC,GI / EF /AB.若 ADE、 EFG、 GIC的面积分别为2 2 220cm、45cm、80cm，贝 ABC 的面积为 【例9】一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高的长为22.5cm .现沿底边依交从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A .

6、第4张B .第5张C .第6张D .第7张【巩固】如图所示，路边有两根电线杆AB、CD，其中AB =3 m , CD = 6 m ,用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M处距离地面的高度 MH .BE交AD于点0 .【拓展】 如图，在 ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点,【例10】如图，下列各组图形中是位似图形的为DE II BC(1)A . (1) (2) ( 3) (4)(2)B . (2) ( 4)(3)(4)C. (1) (2) (4)D . (1) (2) ( 3)(1)当AE丄时，求A0的值；AC2AD(2)当AE1二、1丄时，求AO的值；AC34AD(3)

7、试猜想AE1时AO的值，并证明你的猜想ACn 1AD【巩固】判断满足下列关系的 AOC与 BOD是否是位似图形，如果是，请指出位似中心.(1)如图1所示,(2)如图2所示,AB、CD相交于点O，且.B =/A .图1DBAB、CD 相交于点 O，且.ABC =/ADC, AD =CB ；【巩固】如图， ABC与厶A'B'C'是位似图形，点 A、B、A'、B'、O共线，点O为位似中心.(1) AC与A'C'平行吗？试说明理由；(2) 若 AB=2A'B' , OC'=5，求 CC'的长.(A)1 对(B)2

8、对色D(C)3 对 (D)4 对【例11】1如图，E是平行四边形 ABCD的边BC的延长线上的一点，连结 AE交CD于F,则图中共有相 似三角形()2. A ABC 中,(A)2 : 1(B)1 : 2DE / BC ,且 AD : DB=2 : 1，那么 DE : BC 等于(C)2 : 3(D)3 : 23如图，P是Rt ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截 ABC，使截得的三角形 与厶ABC相似，满足这样条件的直线共有（）（A）1 条 （B）2 条 （C）3 条 （D）4 条【例12】 如图， ADE绕正方形 ABCD 下列结论错误的是（）（A）AE 丄 AF（B）EF :

9、 AF= . 2 : 1的顶点A顺时针旋转90°,得 ABF，连结EF交AB于H，则2(C)AF =FH?FE (D)FB : FC=HB : EC【例13】 如图，在正方形网格上有6个斜三角形： ABC， BCD， BDE， BFG， FGH ,® A EFK.其中中，与三角形相似的是（）（A）（B）（C）（D）【例14】 如图，在梯形 ABCD中，AB丄BC ,Z BAD=90 °，对角线 BD丄DC.（1）A ABD与A DCB相似吗？请说明理由如果AD=4 , BC=9，求BD的长【例 15】 如图，DE / BC , Sa doe : Sa cob=4

10、: 9,求 AD : BD.【例16】(1)下列各组图形中有可能不相似的是(A. 各有一个角是45°的两个等腰三角形B. 各有一个角是60°的两个等腰三角形C. 各有一个角是105 °的两个等腰三角形D. 两个等腰直角三角形(2) ABC和厶A' B' C'符合下列条件，其中使厶 ABC和厶A ' B ' C'不相似的是(A. / A= / A' =45°/ B=26 °/ B ' =109 °B. AB=1AC=1.5 BC=2 A' B' =4A

11、9; C' =2 B' C' =3C. / A= / B'AB=2 AC=2.4 A' B' =3.6 B' C' =3D. AB=3AC=5 BC=7 A' B ' = 3 A ' C ' = .5B ' C ' = .7【例17】 如图，在 ABC中，EF/ BC 塑=丄,S四边形bcfe=8，则Saabc=()EB 2A.9B.10C.12D.13【例18】 如图，在四边形 ABCD中, DC/ AB CBLAB AB=AD CDAB,点E、F分别为 AB AD的中点，则 2A

12、丄B.c._D.丄765412的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH其中E、F、G分别在 AB BC FD上.若【例19】如图，边长B.C.5D D.6于点 F，贝U Sadef：Saebf： Saabf=()D【例20】如图，在平行四边形ABCD中,E是CD上的一点，DE EC=2 3,连接AE、BE、BD,且AE BD交AB口 A.2 : 5: 25I |B.4: 9: 25|C.2 : 3: 5| |D.4: 10: 25【例21】 如图， ABC中，AD BE是两条中线，则 Saedc： Saabc=()P| A.1 : 2B.2: 3p| C.1 : 3|D.1 : 4【例22】

13、在菱形ABC屮E是阮边上的点，连接AE交BD于点F，若 EC=2BE则疇的值是（）A丄b.2c.2d.12345【例23】 如图，菱形 ABCD中, AB=AC点E、F分别为边AB BC上的点，且 AE=BF连接CE、AF交于点H, 连接DH交AG于点O.则下列结论：厶ABFA CAE/ AHC=120，AH+CH=DHAD =OD?DH中，正确 的是（）A A.B B.C c.D D.【例24】如图，四边形 ABCD四边的中点分别为 E, F, G H,对角线AC与BD相交于点O,若四边形EFGH 的面积是3,则四边形ABCD的面积是（）H£GA.3B.6C.9D.12【例25】

14、如图，矩形ABCD中, E是BC的中点，连接AE,过点E作EF丄AE交DC于点F,连接AF.设-I，=k,AD(2) AE平分/ BAF ( 3)当k=1时， ABEA ADF其中结论正确的是 ()A. (1) (2) ( 3)B B. (1) (3)C C. (1) (2)D. (2) ( 3)【例26】如图， ABD中，EF/ BD交AB于点E、交AD于点F,AC交EF于点G 交BD于点C,SAEG=丄S四边形EBCG则逛I的值为()sCA A.卫B.Zc丄D D.丄4323【例27】 如图，四边形 ABCD是平行四边形，AE丄BC于E, AF丄CD于F.(1) ABE与 ADF相似吗？说

15、明理由. AEF与 ABC相似吗？说说你的理由.【例 28】 如图，在 Rt ABC 中，/ C=90 ° , AC=4 , BC=3.(1) 如图，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长.(2) 如图(2)，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于 ABC，求正方形的边长.(3) 如图(3)，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于 ABC，求正方形的边长. 如图，三角形内有并排的 n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于 ABC，请写出正方形的边长【例29】 如图，D为Rt ABC的斜边BC中点，E为AB的中点，F为AE的中点，FM丄BC,F

16、N丄AD,垂 足分别为M、N，试确定FM是FN的几倍，并说明你写结论的正确性。【例30】 如图，AD为厶ABC的高，DE丄AB , DF丄AC ,垂足分别为 E、F，试判断/ ADF与/ AEF的大 小，并说明明理由。【拓展】如图 1,在Rt AOC中，AO丄OC,点B在OC边上，OB= 6, BC= 12,/ ABO + /C = 90°动 点M和N分别在线段 AB和AC边上.(1) 求证： AOBCOA，并求 cosC 的值；(2) 当AM= 4时， AMN与厶ABC相似，求 AMN与厶ABC的面积之比；(3) 如图2,当MN / BC时，以MN所在直线为对称轴将 AMN作轴对称

17、变换得厶 EMN .设MN=x,A EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为 y,求y关于x的函数关系式，并写出自 变量x的取值范围.图1图2家庭作业一. 填空：1. 在厶ABC中，AB=ACZ A=360，/ B的平分线交 AC 于 D, BCSA，且 BC。2. AB3AABC, AB=4ABi=12,则它们对应边上的高的比是 _，若BC边上的中线为1.5 , 则BiCi上的中线AQ=3. 如果两个相似三角形的周长为6cm和15cm那么两个相似三角形的相似比为4. 在厶ABC中, BC=54cmCA=45cmAB=63cm若另一个与它相似的三角形的最短边长为 15cm则其周长为5. 在 Rt

18、 ABC中, CD是斜边 AB上的高，若 BD=9 DC=12 贝U AD=, BC=6. AB3A ABC,且厶 ABC 的周长： ABC 的周长=11:13,又 A1B1 AB=1cm 贝 U AB=cmA B =cm7. 在梯形ABCD中, AD/ BC对角线BD分成的两部分面积的比是1: EF分成的两部分面积的比 S四边形AEFD S四边形BCE=8. 如图，DEFG! Rt ABC的内接正方形，若 CF=8 DG=4 2 ,则 BE=,二.选择题：9. 两相似三角形面积的比是1: 4,则它们对应边的比是（、2 : 1 D 1: 、22, EF是中位线，则被FGA.1 : 4 B 1: 2 C10 在 Rt ABC中, Z C=9C°, A 10 cm B 5 cm C 15