灰色系统理论

1、灰色系统理论 主要介绍灰色系统理论的基本概念与基本原理，重点介绍灰色关联分析方法和灰色系统模型 gm(1,1)模型。 目标不在于讨论灰色系统理论的理论基础，而是在于掌握一种数学建模的思想、方法和技巧。 如有同学对该理论的理论基础该兴趣，我们可以课下讨论。 一、一、灰色系统的基本概念与基本原理灰色系统的基本概念与基本原理 灰色系统理论是华中科大邓聚龙教授于1982年创立的一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。 概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统研究方法。 概率统计研究的是“随机不确定”现象,着重于考察随机不确定现象的历史规律。其出发点是大样本，并要求对象服从某种典型

2、分布。 模糊数学着重研究“认知不确定”问题,其研究对象具有“内涵明确、外延不明确”的特点。例如，“年轻人”，“有钱”。 灰色系统理论着重研究“小样本, 贫信息”认知不确定问题，其研究对象具有“外延明确、内涵不明确”的特点。 例如，“ 8万到10万之间” 就是一个灰概念，其外延明确，但内涵不清楚。项目灰色系统概率统计模糊数学研究对象贫信息不确定随机不确定认知不确定基础集合灰色朦胧集康托集模糊集方法依据信息覆盖映射映射途径手段灰序列生成频率分布截集数据要求任意分布典型分布隶属度可知侧重内涵内涵外延目标现实规律历史统计规律认知表达特色小样本大样本凭借经验1. 灰色系统的基本概念灰色系统的基本概念 灰

3、色系统中“灰色”的基本含义是指信息不完全，包括元素信息不完全；结构信息不完全；边界信息不完全；运行行为信息不完全。 2. 灰色系统的基本原理灰色系统的基本原理 目前灰色系统理论的理论体系很不完善，但是，邓聚龙发现并提炼了灰色系统理论的基本原理： 公理1 差异信息原理差异是信息，凡信息必有差异； 公理2 解的非唯一原理信息不完全、不确定的解是不唯一的； 公理3 最少信息原理充分利用已有的最小信息； 公理4 认知根据原理信息是认知的根据； 公理5 新信息优先原理新信息对认知的作用优于老信息； 公理6 灰性不灭原理信息不完全 (灰)是绝对的。3.灰数及其运算1. 灰数：只知道大概范围而不知道其确切的

4、数，通常记为： 。灰数的种类： a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： a, b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： - ,b c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： a, b d、连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰数，取值连续地取满整个区间地灰数称为连续灰数。e、黑数与白数 当 (- , )，即当 的上界、下界皆为无穷，称为黑数，当 a,b且a=b,时，称 为白数。f、本征灰数与非本征灰数 本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数；非本征灰数是凭借某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。 从本质上看，灰数可分为信息型、概念型

5、和层次型灰数。a2、区间灰数的运算。设灰数1 a, b, 2 c,d (ab,c0, 则 1-1 1/b,1/a 1 2 minac,ad,bc,bd,maxac,ad,bc,bd若cd0, 则 1/ 2= 12-1 mina/c,a/d,b/c,b/d,maxa/c,a/d,b/c,b/a若k为正实数 则： k1 ka, kb定义：形如 的白化称为等权白化等权白化。定义：在等权白化中 而得到的白化值称为等权均等权均值白化。值白化。定义：设区间灰数1 a, b, 2 c,d (ab,c0, 则称x为单调增长序列；2、1中不等号反过来成立，则称x为单调衰减序列；3、存在 有则称x为随机振荡序列。

6、设m=max m=min称mm为序列x的振幅。nkk,3,2,0) 1()(kxkx0)1()(kxkxnkkx,2, 1)(nkkx,2, 1)(定义3 （序列算子的定义） 设x为系统行为数据序列，d为作用于x的算子，x经过算子d的作用后所得序列记为称d为序列算子，称xd为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以进行多次，相应的若 皆为序列算子，则称 为二阶算子， 为三阶算子， 为二阶算子作用序列， 为三阶算子作用序列。 公理1 （不动点公理） 设x为系统行为序列，d为序列算子，则d满足 )(,)2(,)1(dnxdxdxxd321,ddd21dd321ddd21dxd321ddxd)()(nx

7、dnx公理2 （信息充分利用公理）系统行为数据序列x中的每一个数据 都应该充分的参与算子作用的全过程。nkkx,2, 1),(公理3 （解析化、规范化公理）任意的， 都可以由一个统一的 的初等解析式表达。( )x k dnk, 2 , 1 )(,),2(),1 (nxxx上述三个公理称为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公理的序列算子称为缓冲算子。设x为原始数据序列，d为缓冲算子，当x分别为增长序列、衰减序列或振荡序列时：1、若缓冲序列xd比原始序列x的增长速度（或衰减速度）减缓或振幅减小，称缓冲算子d为弱化算子。2、若缓冲序列xd比原始序列x的增长速度（或衰减速度）加快或振幅增大，称缓冲算子d为

8、强化算子。缓冲算子的性质定理1 设x为单调增长序列，xd为其缓冲序列，则有1、d为弱化算子2、d为强化算子 即单调增长序列在弱化算子作用下数据膨胀，在强化算子作用下数据萎缩。定理2 设x为单调衰减序列，xd为其缓冲序列，则有1、d为弱化算子2、d为强化算子 即单调衰减序列在弱化算子作用下数据萎缩，在强化算子作用下数据膨胀。;, 2 , 1,)()(nkdkxkx;, 2 , 1,)()(nkdkxkx;, 2 , 1,)()(nkdkxkx;, 2 , 1,)()(nkdkxkx实用缓冲算子的构造定理3 设原始数据序列x=令 其中 则当x为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，d皆为弱化算子

9、。（证明从略） )(,),2(),1(nxxx)(,)2(,)1(dnxdxdxxdnknxkxkxkndkx,2, 1;)()1()(11)(四、实用缓冲算子的构造定理4 设原始数据序列x=令 其中 则当x为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，d皆为强化算子。（证明从略） )(,),2(),1(nxxx)(,)2(,)1(dnxdxdxxd1,2, 1;12)()1()2()1 ()(nkkkkxkxxxdkx均均 值值 生生 成成定义 1 设序列 与 为x的一对紧邻值， 称为前值，称为后值，若 为新信息，则对任意 为老信息。)(),1(),(,),2(),1 (nxkxkxxxx)(k

10、x) 1( kx)(kx) 1( kx)(nx)(, 1kxnk定义2 设序列x在k处有空穴，记为 ，即则称 与 为 的界值为前界， 为后界。当 由 和生成时，称生成值 为 的内点。)( k)(),1(),(),1(,),2(),1 (nxkxkkxxxx) 1( kx) 1( kx)( k) 1( kx) 1( kx)( k) 1( kx) 1( kx)(kx)1(),(kxkx定义3 设 与 为序列x中的一对紧邻值，若有1、 为老信息， 为新信息；2、则称 为由新信息与老信息在生成系数 下的生成值，当 0.5时，称 的生成是“重新信息、轻老信息”生成；当0.5 时，称的生成是“重老信息、轻

11、新信息”生成；当 =0.5，称 的生成为非偏生成。定义4 设为在 处有空穴 的序列，而 为非紧邻均值生成数，用非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为非紧邻均值生成序列。)(kx) 1( kx) 1( kx)(kx 1 , 0),1()1 ()()(*kxkxkx)(*kx)(*kx)(*kx)(),1(),(),1(,),2(),1 (nxkxkkxxxxk)( k) 1(5 . 0) 1(5 . 0)(*kxkxkx定义 5 设序列 若则称 为紧邻均值生成数，由紧邻均值生成数构成的序列称为紧邻均值生成序列。在gm建模，常用紧邻信息的均值生成，它是以原始序列为基础构造新序列的方法。注意：设 为

12、n元序列，z为x的紧邻均值生成序列，则z为 元序列： 无法由x生成z(1).)(),2(),1 (nxxxx) 1(5 . 0)(5 . 0)(*kxkxkx)(*kx)(),2(),1 (nxxxx)(),3(),2(nzzzz1n 级比和光滑比当序列的起点x(1)和终点x(n)为空穴，就无法采用均值生成填补空缺，只有转而采用别的方法，级比生成和光滑比生成就是常用的填补序列端点空穴的方法。定义1 设序列称为序列x的级比，称为序列x的光滑比。)(),2(),1 (nxxxxnkixkxkki,3 ,2;)()()(11nkkxkxk, 3 , 2;)1()()(定义2 设x为端点是空穴的序列：

13、若用 右邻的级比（或光滑比）生成 ，用左邻的级比（或光滑比）生成 ，则称 与为级比（或光滑比）生成，按级比生成（或光滑比生成）填补空穴所得的序列称为级比生成（或光滑比生成）序列。命题 1 设x是端点为空穴的序列，则1、若采用级比生成，则2、若采用光滑比生成，则)(),1(,),2(),1 (nnxxx) 1 () 1 (x)(n)(nx) 1 (x)(nx)1()1()(),3(/)2()1 (nnxnxxx)1(1)(1()(,)2() 3()2() 1 (2nnxnxxxxx命题2 级比与光滑比有下述关系：定义3 若序列x满足：1、2、3、则称x为准光滑序列。定义 4 设x为有空穴的序列，

14、若新序列生成满足准光滑条件，则称为准光滑生成。nkkkkk, 3 ,2);(1 ()()1()1(; 1)() 1(kk1,3,2nknkk,4,3;,0)(5.0累加生成算子和累减生成算子定义 1 设 为原始序列d为序列算子，其中则称d为 的一次累加生成算子，记为1-ago（accumulating generation operator),称r阶算子 为 的r次累加生成算子，记为r-ago,习惯上，我们记)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx)0(x)(,) 2(,) 1 ()0()0()0()0(dnxdxdxdxkinkixdkx1)0()0(,2, 1);()()

15、0(xrd)0(x)(,)2(,) 1 ()1()1()1()1()0(dnxdxdxxdx)(,)2(,) 1 ()()()()()0(dnxdxdxxdxrrrrr其中定义2 设 为原始序列，d为序列算子，其中，则称d为 的一次累减生成算子，r 阶算子 称为 的r 次累减生成算子。定理 1 累减算子是累加算子的逆算子。( )(1)1( )( );1,2,krrixkxi kn(0)x(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )xxxxn(0)(0)(0)(0)(1) ,(2) ,( ) ),xdxd xdxn d(0)(0)(0)( )( )(1);1,2,xk dxkxkkn(0)xr

16、d(0)x命题 1 设 为非负序列其中 ，且为 的r次累加生成序列，则当r充分大的时候，对于 存在n，使得 有下式成立：这就是说，对于有界非负序列，经过多次累加生成后，所得序列可以充分光滑，且光滑比(0)x(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )xxxxn(0)( )0 xk(0)( ) , ;1,2, .xka bkn( )( )( )( )(1),(2),( )rrrrxxxxn(0)x0 ,knkn()1()1()( )rkrixkxi( )0()kk 例例1 某县乡镇企业19831986年产值为 x=(10155, 12588, 23480, 35388)，平均年增长率高达51.

17、6%。 经分析讨论发现，增长速度高的主要原因是基数低，而基数低的原因则是过去没有用足、用好有利于乡镇企业发展的政策。要弱化序列增长速度，就需要将政策因素附加到过去的年份中，为此进行二阶弱化得xd2=(27260, 29547, 32411, 35388)。 对数据xd2利用gm(1,1)模型可预测出该县乡镇企业 19862000年间产值平均增长率为9.4%，这与该县乡镇企业发展实际基本吻合。 例例2 某市19961999年农林牧渔总产值为 x=(91.99, 94.24, 96.96, 98.92)，平均年增长率仅为2.4%。 从2000年开始，该市调整了农村产业结构，使这种增长缓慢的状况得到

18、改善。为了对经济的发展作科学合理的预测，必须对增长缓慢的数据加以处理，使其符合今后的发展趋势，在此基础上进行合理的预测。 对原始数据进行二阶强化得xd2=(73.98,81.50,91.33,98.92)。 对数据 xd2 利用gm (1,1)模型可预测出该市20002005年农林牧渔总产值平均增长率为 10.1 %，这与该市农业发展实际基本吻合。 此数据与书上计算结果不同。三、灰色关联分析 一般的抽象系统都包含有许多影响因素，多种因素共同作用的结果决定了系统的发展态势。我们希望从众多的因素中判断出，哪些是主要因素、哪些是次要因素。这些属于系统分析的内容，数理统计中的回归分析、方差分析、主成分

19、分析等都可以用来进行系统分析。这些方法的不足之处是：1、要求有大量的数据。、要求有大量的数据。 2、要求样本服从某一种典型概率分布，各因素数据与系、要求样本服从某一种典型概率分布，各因素数据与系统特征数据之间呈线性关系且个因素之间彼此无关。统特征数据之间呈线性关系且个因素之间彼此无关。3、计算量大，、计算量大，4、可能出现量化结果与定性分析结果不符的情况。、可能出现量化结果与定性分析结果不符的情况。灰色关联分析方法的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。对一个抽象系统或现象进行分析，首先要选准反映系统行为特征的数据序列

20、。我们称之为找系统行为的映射量，用映射量来间接地表征系统行为。比如：国民平均受教育的年限 教育的发达程度刑事案件的发案率 社会治安面貌和社会秩序（教材p40-41的例子）19971998199920002001200205101520253035404550 x0 x1 x2 x3valuedate3.1 灰色关联因素和关联算子集定义 1 设 为系统因素，其在序号k上的观测数据为则称 为因素 的行为序列；若k为时间序号， 为因素 在k时刻的观测数据，则称 为因素 的行为时间序列；若k为指标序号， 为因素 关于第k个指标的观测数据，则称为因素 的行为指标序列。若k为观测对象序号，为因素关于第k个

21、对象的观测数据，则称 为因素 的行为横向序列ixnkkxi,2,1),()(,),2(),1(nxxxxniiiix)(kxiix)(,),2(),1(nxxxxniiiix)(kxiix)(,),2(),1(nxxxxniii)(kxiix)(,),2(),1(nxxxxniiiix无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据，都可以用来做关联分析。定义2 设 为因素 的行为序列， 为序列算子，且 其中则称 为初值化算子， 为原像， 为 在初值化算子 下的像，简称初值像。)(,),2(),1 (nxxxxniiiix1d)(,)2(,) 1 (1111dnxdxdxxdnkxkxdkxi

22、ii, 2 , 1);1 (/ )()(11dix1dxi1dix定义 3 设 为因素 的行为序列， 为序列算子，且 其中则称 为均值化算子， 为 在均值化算子 下的像，简称均值像。 )(,),2(),1 (nxxxxniiiix2d)(,)2(,) 1 (2222dnxdxdxxdnkkxnxxkxdkxniiiiii, 2 , 1; )(1,)()(122d2dxiix2d定义 4设 为因素 的行为序列， 为序列算子，且 其中则称 为区间化算子， 为区间值像。命题1 初值化算子 、均值化算子 和区间值化算子皆可以使系统行为序列无量纲化，且在数量上规一。一般地， 不宜混合、重叠使用。)(,)

23、,2(),1 (nxxxxniiiix3d)(,)2(,) 1 (3333dnxdxdxxdnkkxkxkxkxdkxiiiii, 2 , 1,)(min)(max)(min)()(33d3dxi1d2d3d3d2d1d定义 5 设 为因素 的行为序列， 为序列算子，且其中则称 为逆化算子， 为 在逆化算子 下的像，简称逆化像。 1 , 0)();(,),2(),1 (kxnxxxxiniiiix4d)(,)2(,) 1 (4444dnxdxdxxdnkkxdkxii,2, 1);(1)(44d4dxiix4d定义 6 设 为 因素 的行为序列， 为序列算子，且其中则称 为倒数化算子， 为倒数

24、化像。命题2 若系统因素 与系统主行为 呈负相关关系，则 的逆化算子作用像 和倒数化作用像 与 具有正相关关系。);(,),2(),1 (nxxxxniiiix5d)(,)2(,) 1 (5555dnxdxdxxdnkkxdkxii, 2 , 1; )(1)(55d5dxiix0x5dxi4dxiix0x3.2 灰色关联公理与灰色关联度定义 1 设序列 ，则称为序列x所对应的折线。命题 1 设系统特征行为序列 为增长序列， 为相关因素行为序列，则有1、 当 为增长序列时， 与 为正相关关系；2、当 为衰减序列时， 与 为负相关关系。由于负相关序列可以通过逆化算子或倒数化算子作用转化为正相关序列

25、，所以我们主要研究非负的相关关系。);(,),2(),1 (nxxxxniii 1,; 1, 2 , 1)() 1()()(kktnkkxkxktkxx0xixixixixix0x0x定义 2 设序列 则称1、 为x在区间k-1,k上的斜率。2、 为x在区间k,s上的斜率。3、 为x的平均斜率。);(,),2(),1 (nxxxxniii, 2 , 1),1()(nkkxkx, 2 , 1;,)()(nkkskskxsx, 2 , 1),1 ()(11nkxnxn定理 1 设 ， 皆为非负增长序列， 为非0常数 ， 初值化算子，且分别为 的初值像； 分别为 的平均斜率； 分别为 的平均斜率，则

26、必有1、 =2、当c0时， 0时， ixjxccxxij,1d1dxyii1dxyjjixjxijixjxijjyiyijijji上述定理反映出序列的增殖特性，当两个增长序列的绝对值量相同时，初值小的序列的相对增长速度要高于初值大的序列，要保持相同的增长速度，初值大的序列的绝对增量必须大于初值小的序列。定义 3 设 为系统特征序列，且为相关因素序列，);(,),2(),1(nxxxxniii);(,),2(),1(1111nxxxx);(,),2(),1(nxxxxiiii);(,),2(),1(nxxxxmmmm给定实数 ，若实数满足1、规范性2、整体性 对于 有 3、偶对称性 =)(),(

27、0kxkxinkiikxkxnxx100)(),(1),(iixxxxxx00101),(, 1),(02;,2, 1 ,0mmsxxxsjix),(jixxjixxij),(),(jixxjiijxxxxx,),(4、接近性 越小， 越大。则称 为 对 的灰色关联度，以上4条称为灰色关联四公理。 表明系统中的任何两个行为序列都不可能时严格无关联的。整体性则体现了环境对灰色关联比较的影响，环境不同，灰色关联度亦随之变化。偶对对称性表明，当灰色关联因子集中只有两个序列时，两两比较满足对称性。接近性是对关联度量化的约束。 )()(0kxkxi)(),(0kxkxi),(0ixxix0x1 ,0()

28、,(0ixx定理 2 设系统行为序列对于 令);(,),2(),1(1111nxxxx);(,),2(),1(nxxxxiiii);(,),2(),1(nxxxxmmmm);(,),2(),1(0000nxxxx)()(maxmax)()()()(maxmax)()(minmin)(),(00000kxkxkxkxkxkxkxkxkxkxikiiikiikii)1 ,0(nkiikxkxnxx100)(),(1),(则称 满足灰色关联四公理，其中 为分辨系数。灰色关联度的计算步骤：1、求各序列的初值像（或均值像），令2、求差序列，记3、求两极最大差与最小差，记),(0ixx(1)( (1),(

29、2),( )iiiiiixxxxxx n0,1, 2,im0( )( )( )(1),(2),( )iiiiiikxkxkn0,1, 2,im4、求关联系数5、计算关联度m a x m a x(),m in m in()iikiikmkmk0(),(0 ,1)()1, 2 ,;1, 2 ,iimmkkmkn im0011( );1,2,niikk imn应用研究应用研究一级男子百米运动员身体素质与运动成绩的灰色关联度分析选择100米作为研究项目,依据灰色关联度分析原理,揭示一级水平男子百米运动员的各项身体素质、各类型素质与运动成绩之间的关联度;针对训练实践中对身体素质认识上的模糊,提出相应的训

30、练策略,旨在对提高运动成绩有所裨益。相关因素：行进间30米 ，230米，460米，5150米，立定跳远，立定三级跳，二级蛙跳，后抛铅球，仰卧起坐，坐蹲起，深蹲，前后劈叉，左右劈叉，站立体前屈，折回跑，象限跳，侧跨步。 应用研究应用研究 我国铁路货物运输发展的灰色关联分析本文用灰色关联分析方法对19892002年我国铁路运输货运量的发展进行系统分析,探讨影响我国铁路运输货运量发展的主要因素以及各因素相对于铁路运输货运量发展的关联程度,以便为有关部门的决策者提供数据资料.影响我国铁路运输货运量发展的主要因素有:gdp、人口数量、居民消费水平、固定资产总投资及国家财政总收入等.把铁路运输货运量作为母

31、序列x0,其影响因素作为子序列 3.3 广义灰色关联度一、绝对灰色关联度命题 1 设行为序列记折线为 令则 1、当 为增长序列时， 2、当 为增长序列时， 3、当 为增长序列时， 符号不定。);(,),2(),1(nxxxxniii(1)(1),(2)(1),( )(1)iiiiiixxxxx nx(1) ,iixx1(1)niiisxxdtix0is ixix0is is定义 1 设行为序列为序列算子，且其中 则称d为始点零化算子， 为 的始点零化像，记为命题2 设行为序列的始点零化像分别为(1),( 2 ),();iiiixxxxnd( (1) ,(2) ,( ) )iiiix dxd x

32、dx n d( )( )(1),1,2,iiix k dx kxknix dix0000(1),(2),( )iiiixxxxn(1),( 2 ),();iiiixxxxn(1),( 2 ),();jjjjxxxxn0000(1),(2 ),()iiiixxxxn0000(1),(2 ),()jjjjxxxxn令则 1、若 恒在 上方， 2、若 恒在 下方， 3、若 与 相交， 符号不定。定义 2 称序列 各个观测数据间时距之和为 的长度。注意：长度相等的两个序列中的观测数据数量不一定相等。001()nijijssxxdt0ix0jx0ijss0ijss0ix0jx0jx0ixijssixix

33、定义 3 设序列 与 的长度相等，则称为 与 的灰色绝对关联度。灰色绝对关联度满足灰色关联公理中的规范性、偶对对称性与接近性，但不满足整体性。引理 2 设序列 与 的长度相同，且皆为1-时距，而分别为 和 的始点零化像，则ix0x000011iiiissssss0xix0xix0000(1),(2),( )iiiixxxxn00000000(1),(2),( )xxxxn0xix10000021()()2nksxkxn10021()()2niiiksxkxn1000000021( )( )( )( )2niiikssxkxkxnxn定理 3 设序列 和 的长度相同，当他们时距不同或至少有一个为

34、非等时距序列时，若通过均值生成填补相应空穴使之化成时距相等的等时距序列，则此时灰色绝对关联度不变。0xix定理 4 灰色绝对关联度 具有下列性质：1、2、 只与 和 的几何形状有关，而与其空间相对位置 无关。3、 任何两个序列都不是绝对无关的，即 恒不为0。4、 与 几何上的相似程度越大， 越大。5、 与 的长度变化， 亦变。6、 当 或 的任一个观测数据变化， 将随之变化。7、8、0i001;i0i0xix0i0xix0i0x0xixix0i0i00ii00111,0应用研究应用研究 登陆地域选择登陆作战中登陆地域的选择是决定能否“登得上”的主要因素之一。登陆地域选择的好坏直接影响到登陆成败

35、、战场兵力与武器损耗的多少,以及作战价值的大小等等。因此,必须在认真分析海岸区域的地理条件和敌海岸兵力分布情况的基础上,科学地选择登陆地域。用灰色关联理论的方法来分析登陆地域选择问题,主要是提出一种新的用以解决登陆地域选择的问题的解法,即灰色关联理论的方法。二、灰色相对关联度定义定义5 设序列 长度相同，且初值不等于0， 分别为 的初值像，则称 的灰色绝对关联度为 与 的灰色相对关联度。记为灰色相对关联度是序列 与 相对于初始点的变化速率的联系的数量表征。 与 的变化速率越接近， 越大，反之越小。命题命题 4 设 为长度相同且初值不等于0的序列，若 ，其中c0为常数，则 。0,xix0,x i

36、x 0,xix0,x ix 0xix0 ir0xix0 ir0,xix0ixcx01ir0xix应用研究应用研究海洋产业与海洋主要产业总产值关联度分析，确定主导产业0为海洋主要产业总产值;1为海洋水产业;2为海洋油气业;3为海滨砂矿业;4为海洋盐业;5为沿海造船业;6为海洋交通运输业;7为沿海海外旅游业。 三、灰色综合关联度定义 6 设序列 的长度相同，且初值不等于0， 与 分别为 与 的灰色绝对关联度和灰色相对关联度， 则称为 与 的灰色综合关联度。它既体现了折线的相似程度，又反映了相对与始点的变化速率全面反映了序列之间联系，一般取 =0.5。综合关联度的性质（略）（9条）0,xix0 ir

37、0i0xix0,1000(1)iiir0xix导弹武器系统作战效能的灰色评估导弹武器系统作战效能的灰色评估依据导弹武器系统的战术技术指标要求依据导弹武器系统的战术技术指标要求,建立了导弹武器系统的指标体系建立了导弹武器系统的指标体系;运用灰色运用灰色系统的原理和方法结合层次分析法对该系系统的原理和方法结合层次分析法对该系统的能力进行评价统的能力进行评价,评价采取定量分析为主评价采取定量分析为主,与定性分析相结合。实例证明与定性分析相结合。实例证明,灰色评估与灰色评估与层次分析法相结合能有效降低人为因素的层次分析法相结合能有效降低人为因素的影响影响,评价结果具有客观性评价结果具有客观性,一定程度

38、上能给一定程度上能给决策者提供可靠的依据决策者提供可靠的依据例例 供应商选择决策。 某企业需要在 6 个待选的零部件供应商中选择一个合作伙伴，各待选供应商有关数据见下表：评价指标待选供应商123456产品质量0.830.900.990.920.870.95产品价格326295340287310303地理位置213825192710售后服务3.22.42.22.00.91.7技术水平0.200.250.120.330.200.09经济效益0.150.200.140.090.150.17供应能力250180300200150175市场影响0.230.150.270.300.180.26交货情况0.

39、870.950.990.890.820.94四、四、灰色预测模型灰色预测模型 灰色预测的核心内容是灰色模型，主要特点是模型使用的不是原始数据序列，而是生成的数据序列，即先对原始数据做累加(或其他方法生成) 得到近似的指数规律再用微分方程建模的方法。 灰色预测的优点是需要的数据少(4个即可)、精度较高、计算简单、易于检验，缺点是只适合指数增长的中短期预测。1. gm(1,1)模型模型 gm(1,1) 表示1阶微分方程且含1个变量的灰色模型。 设系统某行为特征序列的观察值为x(0)=x(0)(1), x(0)(2), , x(0)(n)，其一次累加生成序列(1-ago)为x(1)=x(1)(1),

40、 x(1)(2), , x(1)(n)，其中， 。 (1)(0)1,1,2,kixkxikn 根据累加生成算子的性质，x(1) 近似服从指数增长规律。 x(1)的紧邻均值生成序列为z(1)=z(1)(2), z(1)(3), , z(1)(n)，其 根据差分方程的特性，建立灰差分方程x(0)(k)+a z(1)(k)=b, k=2,3,n称之为gm(1,1)模型的基本形式，- a 称为 (1)(1)(1)12,2,3,zkxkxkkn发展系数，b称为灰作用量。 gm (1,1) 模型的基本形式有多种，上述仅为其中常用的一种形式。 上述差分方程可变换为 方程(1)表明x(1)(k)为k的指数函数

41、。 (1)(1)(1)(1)(1)(1)221(1)2211(2)2abxkxkaaaxkxkxkxkb 将离散的差分方程(2)近似为连续的微分方程： 称之为gm(1,1)模型的白化形式或影子方程。 记 (1)(1)dxtaxtbdt (0)(1)(0)(1)(0)(1)221331,1xzaxzuybbxnzn 则gm(1,1)模型的基本形式可写为y=bu，这是一个超定方程，其在最小二乘意义下的解为u=(btb)-1bty。 求出a, b值后，代入白化方程，可得解称为时间响应函数，从而时间响应序列为 (1)(1)11atbbxtxeaa (1)(0)11,0,1,2,akbbxkxekaa还原值为最后可以利用残差(相对误差)对预测值进行检验。若 ，通常认为达到了较高的要求。 (0)(1)(0)(0)1111,0,1,2,aakxkxkxkbexekna (0)(0)(0),1,2,xkxkkknxk 10%k2. gm(1,1)模型的讨论模型的讨论 从 gm(1,1) 的建模预测过程可以很清楚地看出，gm(1, 1) 其实就是基于累加生成序列和最小二乘估计的指数拟合模型。 gm(1,1) 建模机理和预测的稳定性一直是众多学者探讨的问题之一，但尚未