复变函数与积分变换第4章

1、 本章介绍孤立奇点、留数的概念；本章介绍孤立奇点、留数的概念；孤立奇点处留数的计算；并将其应用于孤立奇点处留数的计算；并将其应用于实函数积分的计算实函数积分的计算. .4.1 4.1 孤立奇点孤立奇点1 1 可去奇点可去奇点2 2 极点极点3 3 本性奇点本性奇点本章将利用函数的本章将利用函数的laurent级数展开式研究级数展开式研究 函数在孤立奇点处的性质函数在孤立奇点处的性质.如果函数如果函数 f (z)在在z0点不解析点不解析, 则称则称z0 是是f (z)的的 一个奇点一个奇点. 如果如果z0 是是f (z)的一个奇点的一个奇点, 且存在且存在d d 0, 使得使得f (z)在在 内

2、解析，则称内解析，则称z0 是是f (z)的的00zzd d 孤立奇点孤立奇点. 例如例如z=0是函数是函数 和和 的孤立奇点的孤立奇点. 但但z=01zesinzz都是奇点都是奇点.不是函数不是函数 的孤立奇点的孤立奇点, 因为因为 1(1, 2,)kk 1sinzz则则f (z)可以展开为可以展开为laurent级数级数0( )() ,nnnf zczz 其中其中101( )d (0, 1, 2,),2()nncf zcznizz c是是 z0为中心为中心, 半径小于半径小于d d 的圆周的正向的圆周的正向. 根据根据laurent级数展开式的系数级数展开式的系数cn的不同情况的不同情况,

3、可以把可以把 f (z)的孤立奇点进行分类的孤立奇点进行分类. 若若z0 是是 f (z)的孤立奇点，此时的孤立奇点，此时f (z) 在圆环域在圆环域 00zzd d 内解析内解析, 根据根据laurent级数展开定理，级数展开定理，4.1.1 4.1.1 可去奇点可去奇点0100( )()().nnf zcc zzczz 定义定义4.1 如果如果f (z)在在 内的内的laurent00zzd d 级数中不含有级数中不含有 的负幂项的负幂项, 即当即当 0zz 1, 2,3,n 时时, 则称则称z0是是 f (z)的的可去奇点可去奇点. 0,nc 此时此时这个幂级数的收敛半径至少为这个幂级数

4、的收敛半径至少为d d , , 和函数和函数j j ( (z) )在在z0处解析处解析.无论无论 f (z)在在z0是否有定义是否有定义, 可定义可定义反之反之, 若若在在内解析内解析, 且极限且极限)(zfd d 00zz)(lim0zfzz存在，存在，则则 是是 的可去奇点的可去奇点.)(zf0z0000()lim( )(),zzf zcf zzj j则在则在 内内 解析解析.d d 0zz( )( )f zzj j 事实上事实上: 由于由于 存在存在, 函数函数 f (z)在在 z0 点点0lim( )zzf z某个去心邻域内有界，即存在两个正数某个去心邻域内有界，即存在两个正数 m 和

5、和 rm时时, z0是是f (z)的的n-m级级极点极点; 而当而当n m时时, z0是是f (z)的可去奇点的可去奇点. 例例4.4考虑函数考虑函数 51cos( ).zf zz 设设 5( )1cos , ( ).p zzq zz 显然显然, z=0是是q(z)的的5级零点级零点. 因为因为(0)(0)0, (0)10,ppp 所以所以, z=0是是p(z)的的2级零点级零点. 故故z=0是是f (z)的的3级极点级极点 . 不是不是5 5级极点级极点4.1.3 4.1.3 本性奇点本性奇点定义定义4.3 如果如果f (z)在在 00zzd d 内的内的laurent 展开式中含有无穷多个

6、系数非零的展开式中含有无穷多个系数非零的 负幂项负幂项, 即即 0zz 存在无限个整数存在无限个整数n0,内内laurent)(zfrzz 00在在100()().nnc zzczz 0z.使得使得f (z)在在rzz 00内解析内解析.级数为级数为在在 内取分段光滑正向内取分段光滑正向jordan曲线曲线c , 00zzr 12,ic 0100d()d() dnncccczc zzzczzz ccnnzzzczzzcd)(d)(1010( )dcf zz 0i 2的的系系数数级级数数中中负负幂幂项项101)(laurent zzc0c0z.曲线曲线c包含包含z0在其内部在其内部. 考虑积分考

7、虑积分 根据根据 , 积分与曲线积分与曲线c的选取无关的选取无关 0res ( ),.f z z 11( )d2ccf zzi 即即定义定义4.4 设设z0是是f (z)的孤立奇点的孤立奇点, c是在是在z0的充分的充分小邻域内包含小邻域内包含z0在其内部的分段光滑正向在其内部的分段光滑正向 jordan曲曲线线, 积分积分 1( )d2cf zzi 称为称为f (z)在在z0点的点的留数留数(residue), 记做记做 0res( ),.f z z函数函数 f (z)在孤立奇点在孤立奇点z0点的留数即是其在以点的留数即是其在以 z0为中心的圆环域内为中心的圆环域内laurent级数级数-1

8、次幂项的系数次幂项的系数. 定理定理4.5 (留数基本定理留数基本定理) 设函数设函数f (z)在区域在区域d内除有限个孤立奇点内除有限个孤立奇点12,nz zz外处处解析外处处解析, c是是d内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向 jordan曲线曲线, 则则 1( )d2res( ),.nkkcf zzif z z 根据留数基本定理根据留数基本定理, 函数在闭曲线函数在闭曲线f (z)上的积上的积分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计算问题算问题. 证明分别以证明分别以 12,nz zz为为 中心中心, 作

9、半径充分小的正向圆周作半径充分小的正向圆周 1z2znzdc.c1c2cn12,nc cc使得它们中的每个使得它们中的每个都在其余的外部都在其余的外部, 而都在而都在c的内部的内部. 根据根据 , 12( )d( )d( )d( )d .nccccf z zf zzf zzf zz 再由留数的定义再由留数的定义, 即得即得1( )d2res( ),.nkkcf zzif z z 4.2.2 4.2.2 留数的计算留数的计算(1) 如果如果0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点, 则则0res ( ),0.f z z 如果如果 为为 的的1级极点级极点, 那么那么0z)(zf法则法则4.14.1成

10、成laurent级数级数, 求求.1 c(3) 如果如果0z为为的极点的极点, 则有如下计算规则则有如下计算规则)(zf000res ( ),lim() ( ).zzf z zzzf z (2) 如果如果0z为为的本性奇点的本性奇点, )(zf展开展开则需将则需将)(zf证明由于证明由于z0是是 f (z)的的1级极点，所以在级极点，所以在z0的的 某个去心邻域内的某个去心邻域内的laurent级数展开式为级数展开式为 110010( )()().f zczzcc zz 故故2010010() ( )()(),zzf zcc zzc zz 所以所以 0010lim() ( )res ( ),.

11、zzzzf zcf z z 例例4.6求求 ( )(1)(2)zef zzz 和和 2sin( )zg zz 在孤立奇点处的留数在孤立奇点处的留数. 11res ( ),1lim(1) ( )lim,2zzzef zzf zez 222res ( ),2lim(2) ( )lim.1zzzef zzf zez 由定理由定理4.3的的, z=0是是g(z)的的1级极点，于是级极点，于是00sinres ( ),0lim( )lim1.zzzg zzg zz 易知易知z=1和和z=2都是都是 f (z)的的1级极点，故级极点，故 法则法则4.24.2 设设,)()()(zqzpzf )(zp及及)

12、(zq在在0z都解析都解析. 如果如果000()0, ()0, ()0,p zq zq z 那么那么0z为为f (z)的的1级极点级极点, 并且并且.)()(),(res000zqzpzzf 证明证明 由条件易知由条件易知z0是是f (z)的的1级极点级极点. 于是于是000000( )res ( ),lim() ( )lim( )()zzzzp zf z zzzf zq zq zzz .)()(00zqzp 例例4.7求求 2( )1izef zz 在孤立奇点处的留数在孤立奇点处的留数.处解析，且处解析，且 1()0, ()0, ()20.pieqiqii 所以所以 是是 f (z)的的1级

13、极点，并且级极点，并且zi res ( ), ,22izz ieif zize res ( ),.22izzieef ziiz 显然显然 和和 都在都在 zi ( )izp ze 2( )1q zz 010011dres ( ),lim()( ).(1)!dnnnzzf z zzzf znz 如果如果 为为 的的 级极点级极点, 取正整数取正整数 0z)(zfm法则法则4.34.3证明证明 由于由于z0是是 f (z)的的m级极点，所以在级极点，所以在z0的的 2020)()()(zzczzczfmm110010()(),czzcc zz 某个去心邻域内的某个去心邻域内的laurent级数展开

14、式为级数展开式为 那么那么,nm 因此因此10010()( )()()nn mnmzzf zczzczz 10010()().nnc zzc zz 对上式求对上式求1n 阶导数阶导数, 得得 +(含有含有 正幂的项正幂的项),0zz 1(1)!nc 101d()( )dnnnzzf zz 所以所以01011dlim()( )(1)!,dnnnzzzzf zncz 于是于是0101011dres ( ),lim()( ).(1)!dnnnzzf z zczzf znz 例例4.8求求 2( )(1)nnzf zz 在在z= -1处的留数处的留数. 解解 显然显然z= -1是是f (z)的的n级极

15、点，所以级极点，所以 (1)211res( ), 1lim(1)!nnzf zzn 2112 (21)(22)lim(1)!n nznnnnzn 12 (21)(22)( 1)(1)!nnnnnn 1(2 )!( 1).(1)!(1)!nnnn 如果如果z0是是f (z)的的m级极点，有时在级极点，有时在 中取中取nm来计算更为方便来计算更为方便.例例4.9求求 在在z=0处的留数处的留数. 51cos( )zf zz 根据根据 可知可知, z=0是是f (z)的的3级极点级极点, 在在 法则法则4.3中取中取n=5, 则则 (4)011res ( ),0lim(1cos ).4!24zf z

16、z 如果在法则如果在法则4.3中取中取n=3, 那么计算就要麻烦得多那么计算就要麻烦得多.例例4.10计算积分计算积分 4d ,1czzz 其中其中c是是 2z 的正向的正向. 4( )1zf zz 的的1级极点，并且都在级极点，并且都在c的内部的内部. 所以所以 41( )d2res ( ),kkcf zzif z z 4442111220.(1)4kkkkz zziizz 根据根据 和和 , 显然显然 是函数是函数12341, , 1, zzi zzi 极点极点z=3在在 的外部的外部. 2z 分别是分别是f (z)的的3级和级和1级极点级极点, 都在都在 的内部的内部. 而而 2z 01

17、2res ( ),0lim2!(1)(3)zzf zzz 例例4.11 计算积分计算积分32d ,(1)(3)czzzzz 其中其中c是是 的正向的正向. 2z 记记 32( ),(1)(3)zf zzzz 显然显然z=0和和z=133011114lim.2(1)(3)27zzz 11res ( ),1lim(1) ( ).2zf zzf z 于是，根据留数基本定理于是，根据留数基本定理322141d2.(1)(3)27227zzziizzz 0111lim413zzz 例例4.12 求求 在在z=0处的留数，并求处的留数，并求 12( )zf zz e ( )d ,cf zz 其中其中c是是

18、 的正向的正向. 1z 解解 易见易见z=0是函数是函数f (z)的本性奇点，并且的本性奇点，并且 ( () )1221( ) 0.2!3!4!zzf zzzz 因此因此 1res( ),0.3!f z 于是，根据留数基本定理于是，根据留数基本定理( )d.3cf zzi 例例4.13求求 在在z=0处的留数处的留数. 1( )zzf ze 解解 因为因为 11( )zzzzf zee e 所以所以10111res ( ),0.0!1!1!2!(1)!nf zcn n ( () )00 0,!nnnnzzznn 1 1 函数在无穷远点的性质函数在无穷远点的性质 2 2 函数在无穷远点的留数函数

19、在无穷远点的留数4.34.3 函数在无穷远点的留数函数在无穷远点的留数4.3.14.3.1函数在无穷远点的性质函数在无穷远点的性质如果函数如果函数f (z)在在 点的去心邻域点的去心邻域 rz 内解析，则称内解析，则称z= 是是f (z)的孤立奇点的孤立奇点. 如果令如果令 则则 在去心邻域在去心邻域 1,z 1( )fj j 10r ( 或当或当 r=0 时，时， )内解析内解析, 即即 0 0 是是 的孤立奇点的孤立奇点. ( )j j 类似地可以定义类似地可以定义 z= 为为 f (z)的可去奇点、极点或本性奇点的可去奇点、极点或本性奇点. laurent级数展开式为级数展开式为 ( )

20、.nnnf zc z 定义定义4.5设设 f (z)在在 内解析，且其内解析，且其 rz 如果展开式中不含有如果展开式中不含有z的正幂项，则称的正幂项，则称 z= 是是 f (z) 的可去奇点的可去奇点; 如果展开式中含有如果展开式中含有 z 的有限个正幂项的有限个正幂项(至少含有一项至少含有一项), 且最高次幂为且最高次幂为m, 则称则称z= 是是f (z)的的m级极点级极点; 如果展开式中含有如果展开式中含有 z 的无穷多个正幂项，的无穷多个正幂项，则称则称 z= 是是 f (z)的本性奇点的本性奇点. 类似地可以得到以下结论类似地可以得到以下结论. 定理定理4.6设设 f (z)在在 内

21、解析，则内解析，则 rz (1) z= 是是 f (z)的可去奇点充分必要条件是的可去奇点充分必要条件是 存在极限存在极限 0lim( ),zf zc 其中其中c0是有限复常数是有限复常数. (2) z= 是是 f (z)的极点充分必要条件是的极点充分必要条件是 lim( ),zf z 即即lim( ),zf z (3) z= 是是 f (z)的本性奇点充分必要条件是的本性奇点充分必要条件是 lim( )zf z 不存在有限与无穷的极限不存在有限与无穷的极限. 4.3.24.3.2函数在无穷远点的留数函数在无穷远点的留数定义定义4.6 设设z= 是是f (z)的孤立奇点的孤立奇点, 即即 f

22、(z) 在在z= 的去心邻域的去心邻域 内解析内解析, 称积分称积分 rz 1( )d2cf zzi 为为f (z)在在z= 的留数，并记做的留数，并记做 其中其中 res ( ),f z c 表示圆周表示圆周 的负向的负向(即顺时针方向即顺时针方向). ( () ) zrrr 1res ( ),.f zc 易见易见f (z)在在rz 内内laurent展开式展开式 项的系数项的系数11c z 定理定理4.7设函数设函数f (z)在扩充复平面内只有有限在扩充复平面内只有有限个孤立奇点个孤立奇点121,nnz zzz 则则f (z)在所有各孤在所有各孤立奇点留数的总和等于零，即立奇点留数的总和等

23、于零，即 1res ( ),0.nkkf z z 证明取充分大的正数证明取充分大的正数r , 使得使得 在在 121,nz zz 圆周圆周 的内部区域的内部区域. zr 根据根据 , 11( )d2res ( ),.nkkzrf zzif z z 于是于是111res ( ),( )d0.2nkkzrf z zf zzi 根据无穷远点的留数定义根据无穷远点的留数定义, 1res ( ),( )d ,2nzrf z zf zzi 所以所以1res ( ,)0.nkkf z z 下面介绍求无穷远点留数的方法下面介绍求无穷远点留数的方法. 法则法则4.44.4设设f (z)在在 内解析，则内解析，则

24、 rz 211res ( ),res,0 .f zfzz 证明设证明设 f (z)在在r|z|0, m0, 使得当使得当 时，时， zr 2( ).mf zz 1res ( ),( )d2zrf zf zzi 因此，当因此，当 rr 时时, 利用利用 21d0 (),2zrmmsrrr 于是于是res ( ),0.f z 例例4.15计算积分计算积分 其中其中 51d ,(1)(3)cizzz c是是 的正向的正向. 2z f (z)有有7个孤立奇点个孤立奇点, 5个个1级极点在级极点在c内部内部, 1个个1级级解设解设 在扩充复平面内在扩充复平面内51( ).(1)(3)f zzz 极点极点

25、z=3和可去奇点和可去奇点z= 在在c外部外部. 由由 可知可知,只需要计算只需要计算f (z)在在z=3和和z= 的留数的留数. 根据根据 , 而而 res ( ),0.f z 5311res ( ),3lim,1242zf zz 1res ( ),3res ( ),0,2if zf zi 所以根据所以根据 和和 , 2res ( ),3res ( ),.121iiif zf z 注注 本题采用这种方法要比直接应用留数基本定本题采用这种方法要比直接应用留数基本定理简便一些理简便一些. 1 1 三角有理式的积分三角有理式的积分 4.4 4.4 留数的应用留数的应用 2 2 有理函数的无穷积分有

26、理函数的无穷积分 3 3 有理函数与三角函数乘积的积分有理函数与三角函数乘积的积分 4 4 零点的分布零点的分布两个重要工作两个重要工作: :(1) 被积函数的转化被积函数的转化; ;(2) 积分区域的转化积分区域的转化. .利用留数理论，可以计算某些类型的定积分或利用留数理论，可以计算某些类型的定积分或广义积分广义积分, 其基本思想是把实函数的积分化为复变其基本思想是把实函数的积分化为复变函数的积分函数的积分, 然后根据留数基本定理然后根据留数基本定理, 把它归结为把它归结为留数的计算问题，这样就可以把问题简化留数的计算问题，这样就可以把问题简化. ddiiez ,ddizz ( () )2

27、11sin,22iizeeiiz ( () )211cos.22iizeez 当当 在在2,0变化时变化时, z 沿单位圆周沿单位圆周 的正向的正向1 z绕行一周绕行一周. 于是于是4.4.1 4.4.1 三角有理式的积分三角有理式的积分20(cos ,sin )d .r 考虑积分考虑积分则则ize 令令 d )sin,(cos20 r22111 1,d22zzzrzziziz zzfzd )(1 f (z)是有理函数是有理函数. 如果在如果在单位圆周内部单位圆周内部f (z)的所有孤立奇点的所有孤立奇点. .),(res21 nkkzzfi满足满足 的条件的条件.单位圆周上分母不为零单位圆周

28、上分母不为零, 1.1.被积函数的转化被积函数的转化2.2.积分区域的转化积分区域的转化例例4.164.16 计算积分计算积分201d(0).cosabab 解解 积分可以转化为积分可以转化为izzzzbabazd211dcos11220 212d .2zizbzazb 222212.aabaabzzbb ，22bzazb 在复平面内有两个零点在复平面内有两个零点:由于由于 因此因此 从而被积函数从而被积函数ab ，1211.zz，1级极点级极点z1. 所以所以22212d2 res( ),2ziaabzif zbzazbb 2222222.22aabzbiibzaab 22( )2if zb

29、zazb 在单位圆周在单位圆周 内只有一个内只有一个1z 证明证明 由于由于 01,p)cos1(2)1(cos2122 ppppizzpzzpizd21211221 例例4.17 证明证明 ( () )2220d2 01 .12 cos1ipppp 在在 内不为零内不为零, 故积分有意义故积分有意义. 积分转化为积分转化为02 zpzpzizd)(1(11 被积函数被积函数1( )(1)()f zipzzp 在复平面内有两个极点在复平面内有两个极点121,.zp zp只有只有1级极点级极点 在单位圆周在单位圆周 内内, 于是于是1zp 1z 2122res,.(1)()1iipipzzpp

30、例例5.18设设m为正整数为正整数, 计算积分计算积分2011dd .254cos254cosimimeei 0cosd .54cosmi 解解 因为因为 都是以都是以 为周期的偶函为周期的偶函 mcos,cos 2数，则数，则 积分可以转化为积分可以转化为21111dd .252(1)2(21)(2)mmzzzzizzizzizz 被积函数被积函数 在复平面内有两个在复平面内有两个( )(21)(2)mzf zzz 极点极点121, 2.2zz只有只有1级极点级极点 在单位圆周在单位圆周 内内, 于是于是112z 1z 11 2re,2(21)(2)2mziisizz 12.23232mmi

31、i 4.4.2 4.4.2 有理函数的无穷积分有理函数的无穷积分考虑积分考虑积分 ( )d .f xx 定理定理4.8设函数设函数f (z)在实轴上处处解析在实轴上处处解析, 在上在上半平面半平面 内内, 除有限个孤立奇点除有限个孤立奇点 ，im0z 12,nz zz处处解析处处解析, 且存在常数且存在常数 使得当使得当 00, 0, 0,rmd d 0,zr 且且 时，时， 则则 im0z 1( ),mf zzd d 1( )d2res ( ),.nkkf xxif z z 证明显然证明显然, f (x)在在 上连续，且当上连续，且当 (,) 0 xr 时，时， 所以由比较判别法知所以由比较

32、判别法知,1( ),mf xxd d ( )df xx 收敛，并且收敛，并且 lim( )d( )d .rrrf xxf xx 取取 充分大为半径充分大为半径 , 0rr 以原点为中心作上半圆周以原点为中心作上半圆周 ,rcrcxy0. z1. z2. zn-rr取逆时针方向取逆时针方向, 使上半平面的使上半平面的 孤立奇点在由实轴和孤立奇点在由实轴和 所围的区域内所围的区域内. rcrcxy0. z1. z2. zn-rr利用利用 ( )d( )drrrcf xxf zz 12res ( ),.nkkif z z 根据定理的假设和根据定理的假设和 1( )d( ) dd,rrrcccmmf

33、zzf zssrrdddd 因此因此lim( )d0.rrcf zz 2. 积分区域的转化积分区域的转化:取一条分段光滑的曲线取一条分段光滑的曲线, 使其与实轴的一部使其与实轴的一部分构成一条简单闭曲线分构成一条简单闭曲线, 并使并使 f (z) 在其内部除有在其内部除有限孤立奇点外处处解析限孤立奇点外处处解析. 这种方法称为这种方法称为围道积分法围道积分法.1. 被积函数的转化被积函数的转化:当当 z 在实轴上时在实轴上时 , f (z)=f (x).f (x)f (z)推论设推论设 是有理函数是有理函数, 多项式多项式q(z) ( )( )( )p zf zq z 的次数比的次数比p(z)

34、至少高至少高2次次, q(z)在实轴上没有零点在实轴上没有零点, 且且12,nz zz是是 f (z)在上半平面的全体孤立奇点，则在上半平面的全体孤立奇点，则 1( )d2res ( ),.nkkf xxif z z 证明由条件可知证明由条件可知 存在有限的极限存在有限的极限. 2lim( )zz f z 于是，存在于是，存在 使得当使得当 时时, 成立成立00, 0,rm 0zr 2( ),mf zz 即满足即满足 的条件的条件. 例例4.19计算广义积分计算广义积分 22222d (0).()()xix abxaxb 解记解记 显然显然 f (z)满满 22222( ),()()zf zz

35、azb 足足 的条件，且的条件，且 和和 是是 f (z) 在上半在上半 1zai 2zbi 平面的孤立奇点，都是平面的孤立奇点，都是f (z)的的1级极点级极点. 因此，因此， 222res ( ),lim()()zaizf z aizaizb 22222.2()2 ()aaai bai ab 22222res ( ),lim.()()2 ()zbizbf z bizazbii ba于是，根据于是，根据 222222 ()2 ()abiii abi ab 22().ababab 例例4.20计算积分计算积分 ( () )440d 0 .xiaxa 解因为被积函数是偶函数，所以解因为被积函数是

36、偶函数，所以441d.2xixa 35744440123, , , iiiizaezaezaezae 是是 的的4个个1级极点级极点, 其中其中 z0和和z1在上半在上半441( )f zza 平面，平面，z2和和z3在下半平面在下半平面. 于是，根据于是，根据 441d2xixa 01444411res,res,izizzaza01334401114444zziizzaa332222.422222 2iiiaa 3444444iiaeaeiaa 4.4.3 4.4.3 有理函数与三角函数乘积的积分有理函数与三角函数乘积的积分考虑积分考虑积分 ( )cosd , ( )sind .f xmx

37、xf xmx x jordan引理引理 设设f (z)在区域在区域 上上 0, im0zrz 解析，且当解析，且当 时时, 其中其中 0zr ( ( ) )( ),f zm z 00r 是常数是常数, m(r)是是r的实值函数的实值函数, 且且 则对则对 lim( )0,rm r 任何实数任何实数m0, 在以原点为中心在以原点为中心, rr0为半径的逆为半径的逆lim( )d0.rimzrcf z ez 时针方向上半圆周时针方向上半圆周cr , 都有都有 证明根据证明根据 ()( )d( )drrimzim x iyccf z ezf z ez sin0( )d()drmymrcf z esm

38、 rer sinsin202( )ddmrmrrm ree sin202( )d .mrrm re 利用不等式利用不等式 可得可得( (2sin1 0,2 rcxy0-rrr2sin2200ddmrmree 220(1),22mrmreemrmr 于是于是( () )( )d( )(1)0 .rimzmrcf z ezm rerm 即即lim( )d0.rimzrcf z ez jordan引理的另一种形式引理的另一种形式 设设f (z)在区域在区域 上解析上解析, 且当且当00, rezrz 是实常数是实常数, m(r)是是r的实值函数的实值函数, 且且 则则lim( )0,rm r lim

39、( )d0,rmzrcf z ez roxycr 0 0时时, 其中其中 是常数是常数, 是是 0zr ( ( ) )( ),f zm z 00r 0 对任何实数对任何实数m0, 其中其中000:rczrr 逆时针方向逆时针方向, 0re.z 定理定理4.9设设 是有理函数是有理函数, q(z)在在( )( )( )p zf zq z 实轴上没有零点实轴上没有零点，多项式，多项式q(z)的次数至少比的次数至少比p(z)的的 次数高次数高1次，次， 是是 f (z)在上半平面内的所有在上半平面内的所有12,nz zz孤立奇点，则对任何实数孤立奇点，则对任何实数m0, 1( )d2res ( ),

40、.nimximzkkf x exif z ez 证明由条件可知证明由条件可知 存在有限的极限存在有限的极限. lim ( )zz f z 于是，存在于是，存在 使得当使得当 时时, 成立成立00, 0,rm 0zr ( ),mf zz 即满足即满足 的条件的条件. 显然显然, f (x)在在 上连续，且当上连续，且当 时时,(,) 0 xr 所以由比较判别法知所以由比较判别法知,( ),mf xx 取取 充分大为半径充分大为半径 , 0rr 以原点为中心作上半圆周以原点为中心作上半圆周 ,rcrcxy0. z1. z2. zn-rr取逆时针方向取逆时针方向, 使上半平面的使上半平面的 孤立奇点

41、在由实轴和孤立奇点在由实轴和 所围的区域内所围的区域内. rc( )sind , ( )cosdf xmx xf xmx x 收敛收敛, 于是于是 收敛收敛. ( )dimxf x ex 根据根据( )( )drrimximzrcf x edxf z ez 12res ( ),.nimzkkif z ez 再由再由 lim( )d0,rimzrcf z ez 于是令于是令 得得 ,r 1( )d2res ( ),.nimximzkkf x exif z ez 例例4.21计算积分计算积分 22cosd .(1)(9)xxxx 解记解记 则则2221( ),(1)(3 )f zzz 12, 3z

42、i zi 是是f (z)在上半平面的全体孤立奇点在上半平面的全体孤立奇点, 都是都是1级极点级极点. 显然显然f (z)满足满足 的条件的条件, 所以所以22d(1)(9)ixexxx 2res ( ), res ( ),3 izizif z eif z ei 2232limlim()(9)(1)(3 )izizzizieeizizzzi ( () )1323231 .164824eeieiie 其实部其实部(虚部为零虚部为零)就是所要求的积分，即就是所要求的积分，即( () )2223cosd31 .(1)(9)24xxexxe 例例4.22计算积分计算积分 220sind (0).xxix

43、axa 解解 记记 则则 是是 f (z)在上半在上半22( ),zf zza 0zai 平面内惟一的孤立奇点平面内惟一的孤立奇点, 且是且是1级极点级极点. 显然显然 f (z)满满 足足 的条件的条件, 所以所以22221sin1dimd22ixxxxeixxxaxa ( () )1im 2re( ),.22izaisf z eaie q(z)的次数至少比的次数至少比p(z)的次数高的次数高1次次. 如果如果 12,nz zz是是f (z)在上半平面内的所有孤立奇点，在上半平面内的所有孤立奇点， 是是 12,nz zzf (z)在实轴上的所有孤立奇点在实轴上的所有孤立奇点，且都是，且都是1

44、级极点级极点, 则则 定理定理4.10设设 是有理函数是有理函数, 多项式多项式( )( )( )p zf zq z 当广义积分当广义积分 收敛时，收敛时， ( () )( )sind 0f xmx xm ( )sindf xmx x 11im 2res( ),res( ),.nnimzimzkkkkif z ezif z ez ( )cosd?f xmx x z1z2znyoxcr rr1z 证明不妨设实轴证明不妨设实轴上只有一个上只有一个1级极点级极点1.z 取取r0充分大，充分大，r 0充充分小分小, 分别为半径作圆分别为半径作圆周周cr和和cr (如图如图), 与实轴一起围成区域与实轴

45、一起围成区域d, 使得使得f (z)crd在上半平面的奇点位于区域在上半平面的奇点位于区域d的内部的内部, 位于位于d外部外部.1z 根据根据1( )d( )d( )drrzrimzimximzrccf z ezf x exf z ez 11( )d2res( ),.nrimximzkzrkf x exif z ez 显然显然lim( )d0.rimzrcf z ez 而且而且 f (z)满足满足 的条件，因此的条件，因此1100lim( )dlim( )dzrrimximxrzrrrrrf x exf x ex ( )d ,imxf x ex 下面考虑下面考虑 0lim( )d .rimzr

46、cf z ez 由于由于 是是 的的1级极点，则在级极点，则在 的某个的某个1z ( )imzf z e1z 去心邻域内去心邻域内, 可以展开成可以展开成laurent级数级数 ( )imzf z e11( )( ),imzcf z ezzzj j 其中其中 在在 的邻域内有的邻域内有11res( ),imzcf z ez ( ) zj j1z 界且解析界且解析, 即存在即存在m0, 使得使得 故故 ( ).zmj j ( )d0 (0),rczzm rrj j 01111dd,riiccc ireziczzre 11( )d( )ddrrrimzccccf z ezzzzzzj j 1 (0

47、).icr 因此，因此， ( () )( )sindim( )dimxf xmx xf x ex 11res( ),2res( ),.nimzimzkkif z ezif z ez 和和 方法仍是方法仍是例例4.23设设m0, 证明证明 0sind.2mxxx 证明记证明记 则则 f (z) 在复平面上只有在复平面上只有1( ),f zz 一个一个1级极点级极点z=0, 且在实轴上，故由且在实轴上，故由 0sin1sindd2mxmxxxxx ( () )11imres,0im.222imzeiiz 4.4.44.4.4零点的分布零点的分布例例4.24 设设z=z0是解析函数是解析函数f (z

48、)的的m级零点，则级零点，则 z=z0是是 的的1级极点，并且级极点，并且 ( )( )fzf z 0( )res, .( )fzzmf z 证明证明 因为因为z=z0是是 f (z)的的m级零点，则在级零点，则在z=z0 的某邻域内，有的某邻域内，有 00( )()( ), ()0,mf zzzzzjjjj0( )( ).( )( )fzmzf zzzzj jj j 由于由于 则则 在在z=z0点解析，从而点解析，从而z=z0 0()0,zj j ( )( )zzj jj j 是是 的的1级极点，并且级极点，并且( )( )fzf z 0( )res, .( )fzzmf z 其中其中j j

49、 ( (z) )在该在该邻域内解析邻域内解析. 因此因此 例例4.25 设函数设函数 f (z)在分段光滑在分段光滑jordan曲线曲线c 及其内部解析，且在及其内部解析，且在c上无零点，则上无零点，则 1( )d,2( )cfzznif z 其中其中n表示表示f (z)在在c的内部零点的总数的内部零点的总数 (约定约定k级零级零点按点按k个零点计算个零点计算). 证明证明 因为不恒为零的解析函数的零点是孤立因为不恒为零的解析函数的零点是孤立零点零点, 所以所以 f (z)在在 c 的内部只有有限个零点的内部只有有限个零点, 记为记为12,nzzz它们的级数分别是它们的级数分别是 12,.n 由由 知，知