知识点总结高等代数

1、章 行 列 式 知 识 点 总 结一行列式定义1、n级行列式的乘积 aija2j2L anjn2、等价定义aij3、4、1)2)3)a11a12La21a22LMMan1an2Lana1 na2nMann(2)的代数和,当j1j2La11%La21a22LMMan1an2Ln列时，该项前面带正号ai na2nMannaijn( yuaeLig in由n级排列的性质可知,(1)等于所有取自不同行不同列的n个元素这里jL jn是一个n级排列。当j"L jn是偶排jn是奇排列时，该项前面带负号，即:(1)(j1j2L jn)a1j1a2j2L anjn。 jL jnan和1 n11aij(

2、1)卽2Lin)("L jn)aijai j L ai ji1 j1 i2 j2inj n3 in和jL jnn级行列式共有n!项，其中冠以正号的项和冠以负号的(不算元素本身所带的负号)各占一半。常见的行列式上三角、下三角、对角行列式副对角方向的行列式范德蒙行列式:二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等。2、互换行列式的两行(列)，行列式变号。3、行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数，等于用这个数乘以此行 列式。即：某一行（列）中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面。4、若行列式中有两行成比例，贝y此行列式等于零。5、若某一行（列）是两组数之和，则这个行列式等于

3、两个行列式之和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样。6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变。三、行列式的按行（列）展开1、子式1） 余子式：在n级行列式D aj中，去掉元素aj所在的第i行和第j列后，余下的n-1级行列式称为aj的余子式，记作Mj o2） 代数余子式：4 （ 1）i jMj称为aj的代数余子式。3） k级子式：在n级行列式D aij中，任意选定k行和k列（1 k n），位于这些行 列交叉处的k2个元素，按原来顺序构成一个 k级行列式M,称为D的一个k级子式。当（k n）时，在D中划去这k行和k列后余

4、下的元素按照原来的次序组成的 n k级行列式M称为k级子式M的余子式。2、按一行（列）展开1）行列式任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，即按第i行展开D 如八1 恥人2 L ainAn（i 1,2,L , n）;按第 j 列展开 D 刘州a2jA2j LanjAnj(j 1,2,L , n);2）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和 等零，即aiiAji ai2Aj2 L amAjn 0（i j）；或 aiiAij a2iA2j L 玄帀州 0,（i j）.3、按k行（k列）展幵拉普拉斯定理：在n级行列式中，任意取定k个行（k列）（1

5、 k n 1），由这k行（k 列）元素组成的所有的k级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。4、其他性质1）设A为n阶方阵，则A A ；2）设A为n阶方阵，则kA kn A ；3）设A,B为n阶方阵，则|AB AgB，但A B A |B ；AA 04）设A为m阶方阵，设B为n阶方阵，则AgB，但A B A B。0 B B5） 行列式的乘法定理：两个n级行列式乘积等于n级行列式四、行列式的计算1、计算行列式常用方法：定义法、化二角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等。具体计算时需要根据等到式中行（或列）元素的特点来选择相应的解题 方法。方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法。用

6、直接递推法的关键是找出一个关于Dn1的代数式来表示Dn，依次从D1 D2 D3 D4 L Dn，逐级递推便可以 求出Dn的值。方法二：数学归纳法。 第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性。第二步的 关键是首先要得到Dn关于Dn 1和Dn 2的递推关系式。方法三：加边法。加边法是将所要计算的n级行列式适当地添加一行一列（或 m行 m列）得到一个新的n+1 （或m+1 ）级行列式，保持行列式的值不变，但是所得到的n+1 （或m+1）级行列式较易计算。其一般做法如下:aiiLLLan1LainLan11qL0anLLLL0aMLCnLa11Lan1a1nLan10CnLan1特殊情况取a a2 L

7、 an 1或bb2L bn 1 o方法四：拆行（列）法将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和，然后再求 行列式的值。拆行（列）法有两种情况：一是行列式中有某行（列）是两项之和, 可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项和形式，这时需作保持 行列式值不变，使其化为两项和。方法五：析因子法。如果行列式D中有一些元素是变数x （或某个参变数）的多项 式，那么可以将行列式 D当作一个多项式f（x），然后对行列式f（x）实行某些变换, 求出f （x）的互素的一次因式，使得 f （x）与这些因式的乘积g（x）只相差一个常数因子C,根据多项式相等的定义，比较f （x）与的g（x）某一项系数，求

8、出c值，便可求得 D cg（x） o2、行列式计算中常用的类型：类型一：“两条线”型行列式（非零兀分布在两条线上，例如O NO ON OO等等）o注：“两条线”型行列式一般采取直接展幵降阶法计算，或用拉普拉斯定理展 幵，降阶后的行列式或为三角形行列式，或得到一个递推公式 类型二：“三条线”行列式（非零元分布在三条线上）。N N（1） “三对角”行列式(O O O ,NN N )。N注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解。首先得到一个一般的递推公式 Dn pDn 1 qDn 2，然后可以用以下两种方法之一求出Dn的表达式：-先计算Di,D2,D3等，找出规律进行猜想，然后再用数学归纳法进行证

9、明。.间接递推法：借助于行列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于Dn和Dni的方程组，从而消去Dn 1就可解得Dn。L L L（2）“爪型”行列式（ N M ）。NM注：“爪型”行列式可以按行（列）提取公因子，然后化为上（下）三角形行列式 进行求解。L L L（3）Hessenerg 型行列式（ N M ）。NM类型三：各行（列）元素之和相等（或多数相等仅个别不相等）的行列式。注：行加法（或列加法）再化为三角形行列式进行求解。类型四：除主对角线外其余元素相同（或成比例）型行列式。注：拆行（列）法或再结合其他方法进行求解。类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式。类型六：其他形式行列式。五、克莱姆法则1、克莱姆法则：如果含有 n个未知量的n个方程的线性方程组al1 x1ax?La1n Xna21 Xla?*?La2nXnb2的系数行列式不等于零，即Lan1 Xan2X2LKnhbn则方程组有唯一解:a11La1nDLLL0，an1Lan1其中Dj（j 1,2丄n）