2025年河北省中考数学试卷真题（含答案逐题解析）

2025年河北省初中学业水平考试（九年级）数学试卷注意事项：1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置.3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效.答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.4.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题.5.考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）1．从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（）A． B． C． D．2．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（）A． B． C． D．3．计算：（）A．2 B．4 C．6 D．84．“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和4cm，笔的实际长度为14cm，则该化石的实际长度为（）A．2cm B．6cm C． D．10cm5．一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左主视图视图为（）A． B． C． D．6．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（）A． B． C． D．8．若，则（）A． B． C．3 D．69．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（）A． B． C． D．10．在反比例函数中，若，则（）A． B． C． D．11．如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．计算：______．14．平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可）15．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______．16．2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为______．（参考数据：，）三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（本小题满分7分）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；（2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；（3）直接写出不等式组的解集．18．（本小题满分8分）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：计算：．解：第一步第二步．第三步请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．（2）计算：．19．（本小题满分8分）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．（1）求证：；（2）若，求证：．20．（本小题满分8分）某工厂生产，，，四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题：（1）求调整前产品的年产量；（2）直接写出，的值；（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．21．（本小题满分9分）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为．（1）如图1，当时，求的度数；（2）如图2，当四边形为菱形时，求的长；（3）当时，求的长．22．（本小题满分0分）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为2.5m的铁棒从加热到伸长了．（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．（2）求铁的线膨胀系数；若原长为1m的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．（3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．23．（本小题满分11分）综合与实践［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线．［模型］已知矩形（数据如图2所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．如图3，嘉嘉的思路如下：①连接，交于点；②过点作，分别交，于点，……如图4，淇淇的方法如下：①在边上截取，连接；②作线段的垂直平分线，交于点；③在边上截取，作直线．［探究］根据以上描述，解决下列问题．（1）图2中，矩形的周长为______；（2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；（3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线符合要求．［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．（4）如图5，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接．①当时，求的值；②当最大时，直接写出的长．24．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，．（1）求，的值及点的坐标．（2）点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由．（3）直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半．①若点与点重合，点恰好落在上，求的值；②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值．2025年河北省中考数学试卷答案解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）1.从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解．【详解】解：故选：B．2.榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：C．3.计算：（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解．【详解】解：故选：B．4.“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解．【详解】设该化石的实际长度为，依题意，，解得：故选：C．5.一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左主视图视图为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解．【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，故选：A．6.若一元二次方程两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．【详解】解：原方程展开并整理为标准形式：其中，，．∴，．∴点即的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．故选：C．7.抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字有个，数字有2个，则数字只有个，结合选项，即可求解．【详解】解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，∴数字有个，数字有2个，则数字只有个选项A中数字有2个，符合题意故选：A．8.若，则（）A. B. C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解．【详解】解：当时，原式故选：B．9.如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明．【详解】解：A、∵，∴，∴，∵，∴，∴，故A不符合题意；B、∵，∴，∵，∴，∴，故B不符合题意；C、∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故C不符合题意；D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意；故选：D．10.在反比例函数中，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解．【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小，当时，，当时，∴当时，，故选：B．11.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴∵折叠∴∴∵，即∴，故A不正确∵∴，故B不正确∵折叠，∴∵，故C不正确，D选项正确故选：D．12.在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解．【详解】解：设直线的解析式为，代入∴∴∴直线的解析式为∵，A.当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意，B.当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意，C.当为时，平移方式为向右平移个单位，，∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意，D.当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形内部，不符合题意，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.计算：______．【答案】【解析】【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键．直接根据合并同类项法则计算即可．【详解】解：，故答案：．14.平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出，进而写出一个整数解即可求解．【详解】解：依题意，∴，∵为整数，∴可以是，，，，故答案为：（答案不唯一）．15.甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______．【答案】99【解析】【分析】本题主要考查了已知式子值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为：，设叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案．【详解】解：由题意可知：重叠部分为：，设重叠部分的长度为k，则，，重叠后的总长度为：，即，代入，得：，解得：，∴，，∴，故答案为：99．16.2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为______．（参考数据：，）【答案】【解析】【分析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D，首先得到线段的长与其他的都不相等，然后求出，解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可．【详解】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D由图可得，线段的长与其他的都不相等，∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，∴∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为∴∴∵∴∴，即∴∵，∴．∴这条线段的长为．故答案为：．【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17.（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；（2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；（3）直接写出不等式组的解集．【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键．（1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；（2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；（3）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：（1）不等式两边同时除以2得，数轴表示如下所示：（2）移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，数轴表示如下所示：（3）解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式组的解集为．18.（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．计算：．解：第一步第二步．第三步（2）计算：【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2）【解析】【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键；（1）第一步计算分配律时符号出错；（2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除．【详解】解：（1）原计算第一步开始出错；；（2）19.如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．（1）求证：；（2）若，求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；（1）先证明，结合，，即可得到结论；（2）先证明，结合即可得到结论.【小问1详解】证明：∵，∴，∵，，∴；【小问2详解】证明：∵，∴，∵，∴，即.20.某工厂生产，，，四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题：产品数据类别调整前单价成本（元/件）调整后单价成本（元/件）方案甲方案乙（1）求调整前产品的年产量；（2）直接写出，的值；（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．【答案】（1）万件（2），（3）甲种方案总成本较低【解析】【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数与中位数，从统计图表中获取信息是解题的关键；（1）先求得总产量，然后求得的年产量，最后求得产品的年产量；（2）根据方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同，即可求解；（3）分别计算甲、乙两种方案的成本，比较大小，即可求解．【小问1详解】万件，产品的年产量为：万件，∴调整前产品的年产量为：万件【小问2详解】∵方案甲的平均数与调整前的相同，∴解得：，∵方案乙的中位数与调整前的相同，调整前，中位数为调整后为，∴【小问3详解】解：方案甲的总成本为：（万元）方案乙的总成本为：（万元）∴甲种方案总成本较低21.如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为．（1）如图1，当时，求的度数；（2）如图2，当四边形为菱形时，求的长；（3）当时，求的长．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根据题意证明出四边形是正方形，得到，然后利用圆周角定理求解即可；（2）首先证明出是等边三角形，如图所示，连接交于点G，求出，，然后得到是等腰直角三角形，进而求解即可；（3）分两种情况，根据弧长公式求解即可．【小问1详解】∵正方形的边长为5．∴∵当时∴∵∴∴四边形是菱形∵∴四边形是正方形∴∴；【小问2详解】∵四边形为菱形∴∵扇形所在圆的圆心在对角线上，∴∴是等边三角形如图所示，连接交于点G∴∴∴∴∵∴是等腰直角三角形∴∴；【小问3详解】如图所示，当是劣弧时，∵，半径∴；如图所示，当是优弧时，∵，半径∴∴．综上所述，的长为或．【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．22.一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了．（1）原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．（2）求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．（3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键；（1）根据，代入数据进行计算即可求解；（2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；（3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．【小问1详解】解：，答：该铜棒的伸长量．【小问2详解】解：，解得：，设该铁棒温度的增加量为，根据题意得，，解得：，答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加．【小问3详解】解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得，，解得：，答：该铁棒温度的增加量为．23.综合与实践［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线．［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．［探究］根据以上描述，解决下列问题．［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．如图3，嘉嘉的思路如下：①连接，交于点；②过点作，分别交，于点，……如图4，淇淇的方法如下：①在边上截取，连接；②作线段的垂直平分线，交于点；③在边上截取，作直线．（1）图中，矩形的周长为______；（2）在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；（3）根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求．（4）如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接．当时，求的值；当最大时，直接写出的长．【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）；．【解析】【分析】根据矩形的周长公式计算即可；以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，连接，由作图可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证，根据矩形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证直线把矩形分成了周长相等的两部分，所以线段即为所求；根据矩形的性质可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，根据平行四边形的性质和矩形的性质可以证明书，，所以可以证明，所以直线把矩形分成了周长相等的两部分，从而可证直线符合要求；过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，根据矩形的性质可得：，，，根据勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，，从而可得：，，根据等腰直角三角形的性质可得：，，根据正切的定义可以求出的正切；连接交于点，把矩形分成了周长相等的两部分，点为和的中点，利用勾股定理可以求出，，过点作，则，根据相似三角形的性质可以求出，，，在中，利用勾股定理可得：，在中，利用勾股定理即可求出的长度．【小问1详解】解：四边形是矩形，，，，，，矩形的周长为，故答案为：；【小问2详解】解：如下图所示，以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求，，，，是等腰直角三角形，，矩形的对角线交于点，，四边形是矩形，，，，在和中，，，，，，直线把矩形分成周长相等的两部分；【小问3详解】证明：四边形是矩形，，，