数学建模中预测方法稻谷书苑

1、沈沈 炎炎 峰峰tel:6648022015.8.11教学运用历届cumcm数据预测题目n2003年 a题 sars的传播问题n2005年 a题 长江水质评价和预测问题n2006年 b题 艾滋病疗法的评价及疗效的 预测问题n2007年 a题中国人口增加预测问题n2009年 d题 “会议筹备”对与会人数的确定n2010 b题 上海世博会影响力 相关数据预测n2012 a题 葡萄酒质量评价和相关预测问题 n2013 a题 交通事故阶段车流量的分析与预测2教学运用3教学运用4教学运用5教学运用6教学运用7教学运用model assessmentobjectives: choose an approp

2、riate model from candidates estimate the prediction performance of a given modelfor both of these purposes, the best approach is to run the procedure on an independent test set, if one is availableif possible one should use different test data for (1) and (2) above: avalidation set for (1) and a tes

3、t set for (2)often there is insufficient data to create a separate validation or test set. in this instance cross-validation is useful.8教学运用k-fold cross-validationdivide the data into k roughly equal parts (typically k=5 or 10)for each k = 1,2,k, fit a candidate model to the other k-1parts, and comp

4、ute its error in predicting the kth part:this gives the cross-validation errordo this for many models and choose the model that makes smallest.2 ( )( )kiii kth parteyy9教学运用年份199019911992199319941995一季度4.776.387.4610.348.4810.39二季度6.168.066.3710.458.1510.48三季度5.049.648.469.549.4312.23四季度5.136.838.898

5、.279.6710.98某市六年来汽车货运量（亿吨公里）某市六年来汽车货运量（亿吨公里）10教学运用年份199019911992199319941995一季度4.776.387.4610.348.4810.39二季度6.168.066.3710.458.1510.48三季度5.049.648.469.549.4312.23四季度5.136.838.898.279.6710.98某市六年来汽车货运量（亿吨公里）某市六年来汽车货运量（亿吨公里）11教学运用0246810121416456789101112教学运用13教学运用某市六年来汽车货运量时间序列分解某市六年来汽车货运量时间序列分解14教学运

6、用15教学运用1 1 移动平均法移动平均法n移动平均法：在原时间序列内依次求连续若干期的平均数作为其某一期的趋势值，如此逐项递移求得一系列的移动平均数，形成一个新的、派生的平均数时间序列。n 在新的时间序列中偶然因素的影响被削弱，从而呈现出现象在较长时间的基本发展趋势。16教学运用n把时间序列连续 n 期的平均数作为最近一期（第t期）的趋势值: )(111)1(nttttyyynmn 期移动平均数17教学运用n把时间序列连续 n 期的平均数作为 n 期的中间一期的趋势值。 n如果n为奇数，则把n期的移动平均值作为中间一期的趋势值。 n如果n为偶数，须将移动平均数再进行一次两项移动平均，以调整趋

7、势值的位置，使趋势值能对准某一时期)。相当于对原序列进行一次n+1 项移动平均，首末两个数据的权重为0.5，中间数据权重为1。为偶数）nyyyynmntntttnt()5 . 05 . 0(1112/中心化移动平均18教学运用example 1n新卫机械厂的销售收入（万元）：新卫机械厂的销售收入（万元）：年年份份销售销售收入收入年年份份销售销售收入收入年份年份 销售销售收入收入年份年份销售销售收入收入1985108019902160 1995 2160200032401986126019912340 1996 2340200134201987180019921980 1997 28802002

8、32401988162019932520 1998 3060200330601989144019942559 1999 27002004360019教学运用中心移动平均法销售销售收入收入3 3年移年移动平均动平均销售销售收入收入4 4年移动年移动平均平均移正移正1981985 510801080108010801981986 61260126013801380126012601981987 7180018001560156018001800148514851981988 81620162016201620162016201642.1642.5 51981989 9144014401740174

9、0144014401822.1822.5 51440144015301530175517551890189020教学运用移动平均的结果移动平均的结果21教学运用n移动平均法一般用来消除不规则变动的影响，把序列进行修匀（smoothing)，以观察序列的其他成分。n如果移动平均的项数等于季节长度则可以消除季节成分的影响；n如果移动平均的项数等于平均周期长度的倍数则可以消除循环变动的影响。n由于区分长期趋势和循环变动比较困难，在应用中有时对二者不做区分，而是把两项合在一起称为“趋势循环”成分（trend-cycle)。移动平均法的应用移动平均法的应用22教学运用 指数平滑方法的基本原理n指数平滑是

10、一种加权移动平均，既可以用来描述时间序列的变化趋势，也可以实现时间序列的预测。 n指数平滑预测的基本原理是：用时间序列过去取值的加权平均作为未来的预测值，离当前时刻越近的取值，其权重越大。 23教学运用tttyyy)1 (1式中： 1 ty表示时间序列第t+1期的预测值；ty表示时间序列第t期的实际观测值；ty表示时间序列第t期的预测值；表示平滑系数，01。1112211)1 ()1 ()1 ()1 ()1 (yyyyyyyyttttttttn单参数指数平滑的模型为：24教学运用适用场合n单参数（一次）指数平滑适用于不包含长期趋势和季节成分的时间序列预测 n如果原序列有增长趋势，平滑序列将系统

11、的低于实际值n如果原序列有下降趋势，平滑序列将系统的高于实际值25教学运用平滑系数的确定n选择合适的平滑系数是提高预测精度的关键。n如果序列波动较小，则平滑系数应取小一些，不同时期数据的权数差别小一些，使预测模型能包含更多历史数据的信息；n如果序列趋势波动较大，则平滑系数应取得大一些。这样，可以给近期数据较大的权数，以使预测模型更好地适序列趋势的变化。 n统计软件中可以根据拟合误差的大小自动筛选最优的平滑系数值。26教学运用初始预测值的确定n初始预测值的确定n等于第一个观测值 n等于前k个值的算术平均n适用场合：单参数（一次）指数平滑适用于不包含长期趋势和季节成分的平稳时间序列预测 27教学运

12、用案例分析n新卫机械厂销售额的单参数指数平滑预测n分析预测创建模型方法选择“指数平滑”;根据需要设置“条件”。n拟合情况与2年的预测值（下页图）。nspss statistics 估计的=0.689.n拟合数据的mape=12.847%.28教学运用单参数指数平滑的图形结果29教学运用n时序图检验 根据平稳时间序列均值与方差为常数平稳时间序列均值与方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征n自相关图检验 平稳序列通常具有短期相关性平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自

13、相关系数对很快地衰减向零。n纯随机性检验（白噪声检验）平稳性检验平稳性检验30教学运用nar(p)ar(p)模型模型nma(q)ma(q)模型模型narmaarma（p p，q q）模型）模型 平稳时间序列分析模型： arma模型的全称是自回归移动平均（auto regression moving average）模型，它是目前最常用的拟合平稳时间序列的模型拟合平稳时间序列的模型。arma模型又可细分为ar模型、ma模型和arma模型三大类。tptptttxxxx22110qtqttttx2211qtqtttptpttttxxxx22112211031教学运用n确定性时间序列分析（确定性时间序

14、列分析（平滑法平滑法、趋势外推拟合法）趋势外推拟合法） 通常这种非平稳的时间序列显示出非常明显的规律性，比如有显著的趋势或有固定的变化周期 。n随机性时间序列分析随机性时间序列分析（arima模型模型 ） 由随机因素导致的的非平稳时间序列，通常这种随机波动非常难以确定和分析 。通过差分法或适当的变换通过差分法或适当的变换使非平稳序列的化成为平稳序列使非平稳序列的化成为平稳序列 。 在实际情况中，绝大部分序列都是非平稳的，因而对非平稳序列的分析更普遍、更重要，相应地各种分析方法也更多。通常包含下列两种方法：n非平稳序列分析法非平稳序列分析法32教学运用arima(autoregressive i

15、ntegrated moving average)模型模型，差分自回归滑动平均模型（滑动也译作移动），又称求合自回归滑动平均模型。arima（p，d，q）中，ar是自回归，p为自回归项数；ma为滑动平均，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳序列所做为使之成为平稳序列所做的差分次数（阶数）的差分次数（阶数）。 arima（p，d，q）模型是arma（p，q）模型的扩展。 33教学运用34教学运用例：建立国际航线旅客月度人数的例：建立国际航线旅客月度人数的arima模型。我们已有一组模型。我们已有一组1949年至年至1961年国际航线旅客月度人数的年国际航线旅客月度人数的144条记录。使用条记录。使

16、用arima过程过程进行建模和预测。其数据列于下表所示。进行建模和预测。其数据列于下表所示。year1234567891011121949112118132129121135148148136119104118195011512614113512514917017015813311414019511451501781631721781991991841621461661952171180193181183218230242209191172194195319619623623522924326427223721118020119542041882352272342643022932592292

17、0322919552422332672692703153643473122742372781956284277317313318374413405355306271306195731530135634835542246546740434730533619583403183623483634354915054043593103371959360342406396420472548559463407362405196041739141946147253562260640846139043235教学运用n（1）绘制时序图）绘制时序图36教学运用n（2）对平稳性和季节性的识别）对平稳性和季节性的识别对

18、平稳性和季节性的识别通常有时序图和自相关图两种方法，或两者结合起来一起判断。l 时序图，是通过直接观察时间序列折线图来检验序列是否平稳。如果时间序列有某种趋势或呈现出增加或减少范围的扩散现象，则序列是不平稳的。l 自相关图。如果序列的折线图并不明显地呈现上述现象，而我们又无法直接判断序列究竟平稳与否，通常可以利用自相关图自相关图来检测序列是否平稳。37教学运用38教学运用n（3）变换不平稳序列为平稳序列）变换不平稳序列为平稳序列l 如果时间序列呈线性趋势，均值不是常数，利用一阶差分将产生一个平稳序列。l 如果时间序列呈二次趋势，均值不是常数，利用二阶差分将产生一个平稳序列。l 如果时间序列呈现

19、出随时间的上升或下降而偏差，方差不是常数，通常可利用取自然对数转化为平稳序列。l 如果时间序列呈现指数趋势，均值和方差都不是常数，通常也可利用取自然对数转化为平稳序列。l 如果时间序列呈现“相对环”趋势，通常将数据除以同时发生的时间序列的相应值转化为平稳序列。39教学运用a）取对数消除振幅变大趋势-线性增长趋势40教学运用b）需要对这个新序列数据再进行滞后一次（消除增长消除增长）和滞后12次（消除季节消除季节）共两次差分最终转换为平稳序列 （4）检验待选的时间序列模型的自相关函数检验待选的时间序列模型的自相关函数41教学运用acf图中，我们认为自相关系数在延迟图中，我们认为自相关系数在延迟1阶

20、后都落入阶后都落入2倍标准倍标准差内，然后在延迟差内，然后在延迟12阶处突然有一个较大的自相关系数，阶处突然有一个较大的自相关系数，紧接着又落入紧接着又落入2倍标准差内，很象在倍标准差内，很象在1，12处截尾处截尾 42教学运用n（5）估计备选时间序列模型的参数估计）估计备选时间序列模型的参数估计n（6）利用确定的模型进行预测）利用确定的模型进行预测43教学运用(7.4.1)yabx44教学运用22(7.4.6)iiiiiiabqiiyyyexa bxye 总方差222iiiiqiiaaabaaaba bxyyxyx 45教学运用000(7.4.7)iiqyabxanabyxiinabyxii

21、byxiiaybxn令，即所以27.4.7 qiibba byx将式代入得（）46教学运用 222iiiiiiiqyb xxyibbybxbxbybxxyxxyxx 2002(7.4.8)iiiixyxxxxyybxxixxyybxxiss令其，即所以47教学运用1(7.4.9)xyxyxyxxyysrrs s48教学运用 49教学运用(7.4.2)22(7.4.3)nyyxxiiiibnxxiibyxiiannyiaxyixibi250教学运用年份年份 倒倒5年年 倒倒4年年 倒倒3年年 前年前年 去年去年 今年今年 明年明年产量（万元）产量（万元） 300 350 380 430 500

22、？ ？法法51教学运用年份年份倒倒5年年倒倒4年年大前年大前年前年前年去年去年 平均值平均值xi-2-10 1200 yi3003503804305001960392 xiyi-600-35004301000480xi24101410 yi29000012250014440018490025000079180052教学运用991.056.484480234801048023480196039279180010010480048022ryysxxsyyxssssrxyiiyyiixxiiixyyyxxxyxyyxx其中959. 0r临界值53教学运用xbayii)(584192392448392

23、)(53614439234839248392392519604810480432万元明年：万元今年：其中yyxxbaynyaxyxbiiiiiiiii54教学运用213636. 01075. 52415.172xxy55教学运用01 122(7.4.11)kkyaa xa xa x01 122(7.4.10)iiikkiiyaa xa xa x56教学运用101212, , nknyayayaya (0,)in57教学运用112111222212(1)111kknnknnkxxxxxxxxxxyxa101212, , nknyayayaya 58教学运用 令误差平方和：令误差平方和： 由极小值

24、条件由极小值条件 可得：可得：21()() ()minntiiiqyyyxayxa0qa1() ()(7.4.12)ttax xx y记记 系数矩阵（对称）系数矩阵（对称） 适于计算机实现适于计算机实现trx x最小二乘法估计最小二乘法估计 是是a的无偏估计。的无偏估计。a11( )() ()() ()tttte ax xx yx xx xaa59教学运用21201 1221() ()niiiniiikkiiqyyyaa xa xa x01 1220101 122101 1222()02()02()0iiikkiiiiikkikiiiikkikqyaa xa xa xaqxyaa xa xa xaqxyaa xa xa xa 60教学运用011222011121211201122iikkiiiiiikikiiikikiikiikkikiinaaxaxaxyaxaxax xax xx yaxax xax xaxx y61教学运用221() ( )niirssyyk221() (1)niiiessyynk221() (1)niitssrssessyyn62教学运用2121()1()niiniiyyrssessrtsstssyy63教学运用64教学运用2()11iiyyesssnknk10% 15%sy65教学运用( ,1)(