福建省福州市2011届高三数学上学期期末质量检查 理

1、福建省福州市2011届高三上学期期末质量检查数学试题（理科）（满分：100分；完卷时间：90分钟）友情提示：答案一律填写在答题卡上。一、选择题（每小题5分，满分60分）1已知集合等于（ ）A（0，1），（1，2）B（0，1），（1，2）CD2设复数等于（ ）A-3B3CD3如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中为数字09中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则一定有（ ）ABCD的大小不确定4已知实数满足的最小值为（ ）A2B3C4D55若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）AB5CD26设函数的

2、部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（ ）ABCD7已知实数成等比数列，且函数时取到极大值，则等于（ ）A-1B0C1D28如图所示，正方形的四个顶点分别为，曲线经过点B。现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）ABCD9如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是，不考虑树的粗细，现在用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD。设此矩形花圃的面积为S m2，S的最大值为，若将这棵树围在花墙内，则函数的图象大致是（ ）10在中，“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件11

3、定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”，过函数图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于的直线条数为（ ）A10B11C12D1312设函数的定义域为实数集R，对于给定的正数，定义函数，给出函数，若对于任意的，恒有，则（ ）Ak的最大值为2Bk的最小值为2Ck的最大值为1Dk的最小值为1二、填空题（每小题4分，满分16分）13在二项式的展开式中，纱数是-10，则实数的值为 。14在中，则AB的长为 。艳荡芦花湾http:/www.shenshu.cc/s2460/ 奀莒咾15为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由 密文明文（解密），已知加密规则如图所示，例如，

4、明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16，当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 。16设是定义在R上的奇函数，且时，有恒成立，则不等式的解集为 。三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（本小题满分12分）数列是首项为2，公差为1的等差数列，其前项的和为 （）求数列的通项公式及前项和； （）设，求数列的通项公式及前项和18（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为 （）求的值； （）求函数在区间上的取值范围。19（本小题满分12分）一个袋子内装有若干个黑球，3个白球，2个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中一次性任取2个球

5、，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，用随机变量表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为 （）求袋子内黑球的个数； （）求的分布列与期望。20（本小题满分12分）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时。 （）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数； （）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？21（本小题满分12分）（文题满分14分）

6、如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。 （）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若为定值。22（本小题满分14分）已知函数在（-，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数在R上有三个零点，且1是其中一个零点。 （）求的值； （）求的取值范围； （）设，且的解集为（-，1），求实数的取值范围。参考答案一、选择题（每小题5分，满分60分）1D 2A 3B 4A 5A 6D 7A 8C 9C 10C 11B 1

7、2B二、填空题（每小题4分,满分16分）131 14 156,4,1,7 16（,2）（0,2）三、解答题（本大题共6小题，共74分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）解：（）依题意： 2分=4分（）由（）知 5分 7分 9分 12分18（本小题满分12分）解：（） 2分 5分因为函数的最小正周期为，且，所以，解得7分（）由（）得因为，所以，9分所以， 因此，即的取值范围为12分19（本小题满分12分）解：（）设袋中黑球的个数为n，由条件知，当取得2个黑球时得0分，概率为： 2分化简得：，解得或（舍去），即袋子中有4个黑球 4分（）依题意：=0,1,2,3,45分 6

8、分 7分 8分的分布列为10分 12分20（本小题满分12分）解：（）由题意，每小时的燃料费用为，从甲地到乙地所用的时间为小时，2分则从甲地到乙地的运输成本， 分故所求的函数为，分（）由（），分当且仅当，即时取等号11分故当货轮航行速度为0海里/小时时，能使该货轮运输成本最少12分21（本小题满分12分）（文22题 满分14分）解：（）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴， O为原点，建立平面直角坐标系，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变且点Q在曲线C上,|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆设其长半轴为a,短半轴为b

9、,半焦距为c,则2a=2,a=,c=2,b=1曲线C的方程为+y2=1 5分（）证法1：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交， ， 7分将M点坐标代入到椭圆方程中得：，去分母整理，得10分同理，由可得： ，是方程的两个根， 12分（）证法2：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交显然直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程是 将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 并整理得8分 ，又 ，则，同理，由，10分12分22（本小题满分14分）解: （）f（x）=x3+ax2+bx+c，1分f（x）

10、在在（,0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，当x=0时，f（x）取到极小值，即b=0 3分（）由（1）知，f（x）=x3+ax2+c，1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，c=1a5分的两个根分别为，f（x）在（0,1）上是增函数，且函数f（x）在上有三个零点，即7分故f（2）的取值范围为9分（）解法1：由（）知，且1是函数的一个零点，点是函数和函数的图像的一个交点10分结合函数和函数的图像及其增减特征可知，当且仅当函数和函数的图像只有一个交点时，的解集为即方程组（）只有一个解11分由，得即即或12分由方程， （）得，当，即，解得 13分此时方程（）无实数解，方程组（）只有一个解所以

11、时，的解集为14分（）解法2：由（）知，且1是函数的一个零点又的解集为，10分 11分 12分14分专题三数列、推理与证明(时间120分钟满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1若等比数列an的前n项和为Sn，且S1018，S2024，则S40等于_2在等比数列an中，an1<an，a2·a86，a4a65，则等于_3已知等比数列中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则的值为_4数列an的通项公式an，若an的前n项和为24，则n为_5(2010·江苏)函数yx2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标

12、为ak1，其中kN*，a116，则a1a3a5的值是_6数列an中，Sn是其前n项和，若Sn2an1，则an_.7(2010·浙江)设n2，nN，(2x)n(3x)na0a1xa2x2anxn，将|ak|(0kn)的最小值记为Tn，则T20，T3，T40，T5，Tn，其中Tn_.8设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于_9若数列an满足a13a232a33n1an(nN*)，则an_.10.设数列an满足a1+2a2=3，点Pn（n,an）对任意的nN*，都有=（1，2），则数列an的前n项和Sn= .11已知数列an满足a11，且对于任意的正整数n都有an1，请写出它的一个通项

13、公式为_12已知an是递增数列，且对任意nN*都有ann2n恒成立，则实数的取值范围是_13对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式是Sn_.14(2010·天津)设an是等比数列，公比q，Sn为an的前n项和记Tn，nN*.设为数列Tn的最大项，则n0_.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15(14分)已知数列an的前n项和为Sn，且满足an2Sn·Sn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式16(14分)在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列an的通项an；(2)令bn，证

14、明：数列bn为等比数列；(3)求数列nbn的前n项和Tn.17(14分)在数列an中，an4n1n，nN*.(1)求数列an的前n项和Sn；(2)求证：不等式Sn14Sn对任意nN*皆成立18.(16分)设同时满足条件：bn1(nN*)；bnM(nN*，M是与n无关的常数)的无穷数列bn叫“特界”数列(1)若数列an为等差数列，Sn是其前n项和，a34，S318，求Sn；(2)判断(1)中的数列Sn是否为“特界”数列，并说明理由19(16分)在数列an中，a12，an1an2n1(nN*)(1)求证：数列an2n为等差数列；(2)设数列bn满足bnlog2(an1n)，若(1)(1)(1)&#

15、183;·(1)>k对一切nN*且n2恒成立，求实数k的取值范围20(16分)已知数列an的前n项和为Sn，点(n，)在直线yx上数列bn满足bn22bn1bn0(nN*)，b311，且其前9项和为153.(1)求数列an、bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项和为Tn，求使不等式Tn>对一切nN*都成立的最大正整数k的值答案1. 2. 3.32 4.624 5.21 6.2n1 7.8.19. 10.n(n) 11.an 12.(3，)132n12 14.415(1)证明an2SnSn1，SnSn12SnSn1(n2)，Sn0(n1,2,3，)，2，又2，数列是

16、以2为首项，2为公差的等差数列(2)解由(1)得22(n1)2n，Sn，n2时，an2SnSn1.又当n1时，S1a1，an16(1)解由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组，解得a112，d2.an12(n1)·22n10.(2)证明由(1)得bn22n101022n4n，4，bn是首项是4，公比为4的等比数列(3)解由nbnn×4n得：Tn1×42×42n×4n，4Tn1×42(n1)×4nn×4n1，相减可得：3Tn4424nn×4n1n×4n1，化简得Tn.所以数列nbn

17、的前n项和Tn.17(1)解因为数列an的通项公式为an4n1n，所以数列an的前n项和Sn(nN*)(2)证明对于任意nN*，Sn14Sn4(3n2n4)(3n4)(n1)因n1且nN*时，3n4>0，n10，所以(3n4)(n1)0，即Sn14Sn.即不等式Sn14Sn对任意nN*均成立18解(1)设等差数列an的公差为d，则a12d4,3a13d18，解得a18，d2，Snna1dn29n.(2)由Sn11<0，得<Sn1，故数列Sn适合条件.而Snn29n(n)2(nN*)，则当n4或5时，Sn有最大值20，即Sn20，故数列Sn适合条件.综上，数列Sn是“特界”数列19(1)证明由an1an2n1，变形得：an12n1(an2n2n1)1，即an12n1an2n(21)1，所以(an12n1)(an2n)1，故数列an2n是以a120为首项，1为公差的等差数列(2)解由(1)得an2nn1，所以bnlog2(an1n)n.设f(n)(1)(1)(1)··(1)×(n2，nN*)，则f(n1)(1)(1)(1)··(1)(1)×，两式相除得(1)&#