非线性代数方程组的数值解法

1、20122012级硕士生课程级硕士生课程inaa max 2/1T)(nnnaaa 10 nnaa10 )( Ran对于单变量问题的非线性方程，直接迭代法的计算过对于单变量问题的非线性方程，直接迭代法的计算过程如下图所示。程如下图所示。图上给出的是图上给出的是P(a)=K(a)aP(a)=K(a)a和和a a之间的之间的关系，而不是关系，而不是K(a)K(a)和和a a之间的关系之间的关系，满足收敛性满足收敛性10T)(aKan )( na )( na( )(.)aaa100019002aann1108使用修正的牛顿法求解使用修正的牛顿法求解非线性方程组，虽然非线性方程组，虽然每一步迭代所花费

2、的计每一步迭代所花费的计算时间减少了，但迭代算时间减少了，但迭代过程的收敛速度也降低过程的收敛速度也降低了。了。在算出 an后，新的近似解由下式给出aaaininni1 （i= 1,2,N）n其中 是大于1的正数，它称为过量修正因子。确定确定n的一维搜索办法将 看做N 维空间中的搜索方向，我们希望在该方向上找到一个 更好的近似值，即找到一个符合下式最好的 值。 anaaaininni1nn ( )aaaaiinnink()0虽然沿这一方向，不能期望求得精确解，但我们可以虽然沿这一方向，不能期望求得精确解，但我们可以迭择因子迭择因子 (在搜索问题中称为在搜索问题中称为步长因子步长因子)，使在搜索

3、，使在搜索方向上方向上 的分量为零，即的分量为零，即n 上式是一个关于上式是一个关于 的单变量非线性方程。通常可用的单变量非线性方程。通常可用一些比较简单的方法来估算出一些比较简单的方法来估算出 的大小。的大小。nn在算出 an后，新的近似解由下式给出1a其中 是大于是大于1的正数，的正数，它称为加速因子它称为加速因子。)()(,(1nkjijnnjiiaaak 使用某种算法的计算效率，除了与收敛速度有使用某种算法的计算效率，除了与收敛速度有关外，还与每一步迭代所花费的计算量有关。关于关外，还与每一步迭代所花费的计算量有关。关于每步的计算量，牛顿法最大，而修正牛顿法最小。每步的计算量，牛顿法最

4、大，而修正牛顿法最小。因此在实际问题的计算中判断使用哪种方法效率较因此在实际问题的计算中判断使用哪种方法效率较高，往往需要进行数值实验。总的看来，不同的算高，往往需要进行数值实验。总的看来，不同的算法可能适用于不同的问题。选用哪种算法，与所研法可能适用于不同的问题。选用哪种算法，与所研究问题的性质究问题的性质 ( (例如，对线性的偏离程度例如，对线性的偏离程度) )、规模、规模 ( (离散的自由度总数离散的自由度总数) ) 以及容许误差等因素有关。以及容许误差等因素有关。0 ,),( aaa0 ,),( aaa ),(TRaKa110210 M自修正自修正自修正算法自修正算法：)(),(1Tm

5、mmmaPRKammmaaa1),(mmmaP0 ,),( aaa ) ,(1TRaKam使用这种改进的算法，对于每一增量步都相当于使用这种改进的算法，对于每一增量步都相当于做一次修正。做一次修正。)()(1TnmmnmnmPRKanmnmnmaaa11),(mnmnmaP )()(1TnmnmnmnmPRKanmnmnmnmuaaaa1),(nmnmnmaP Rimaimijiur uuuRimaimijiur111 Rimaimiiijiarrr111 mimimaau 1 mimimaau 21 11 imimimauu uuuRimaimiiijiarrr111 21lrrimim 2

6、22)()(lurrrimimiii 21)()(lrrrrriiiii 0)2( iiirrr aimimRimaimiuajia)2()(1110)2(1 Rimimj 0)2( iiirrr 0)2()2(1111imimimimimimuaa)()(1TnmnmnmnmPRKaRKimi1T1)( imimiPK1T2)( 121111 iimiima02)(121 cbaimim 02)(121 cbaimim )()(111T11 iia )()(1211imiiimubT2)()(1212imiiucTim 0)2()2(1111imimimimimimuaa12111iimii

7、m a102)(2)()(111121112111211imimimimimiimiiimiiimiu 111022111111imimimimimimimimuaaa0)(2222)(2111211121211212111imimimimiimimiiiimiiimiiuu 11110)(2222)(2111211121211212111imimimimiimimiiiimiiimiiuu 11110)2()(2)(1 (1212111212111imiiimimimiiiimiiuu 1111)()(111T11 iia )()(1211imiiimubT2)()(1212imiiucT02)(121 cbaim