D1_4无穷小无穷大D1_5极限运算法则

1、1/360lim.xxx验证不存在例例5 5201,0( )lim( )1.1,0 xxxf xf xxx设，证明：例例6 611arctan,1( )lim( ).,1xxf xf xaxaxx设，若存在，求例例7 72/3621,1( )122xf xkxxx设1+ ，2lim( )xkf x试问 取何值存在.练习：练习：21,1( )( )?21,1limxaxxf xf xaxx设且存在，则3/36定义定义2 2 设函数设函数xxf当)(大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义, , 若若,0X,)(,AxfXx有时当则称常数则称常数时的极限时的极限, ,Axfx)(lim)()(xA

2、xf当或记作记作,0 xxf当)(A为函数为函数3.( )xf x 时的极限描述性定义描述性定义: :()X定义 当当 无限增大时，如果函数图像向左、右两方无限无限增大时，如果函数图像向左、右两方无限接近于接近于同一条同一条水平直线水平直线y=A, ,则称常数则称常数A为为x趋向无穷趋向无穷大时函数大时函数f( (x) )的极限的极限. .x4/36XXAAOxy)(xfy A几何解释几何解释直线直线y=A 称为曲线称为曲线)(xfy 的水平渐近线的水平渐近线. .,( ),2.xXxXyf xyA 当或时的图形完全落在以直线为中心线 宽为的带形区域5/36xxgxxf11)(,1)(直线直线

3、y =A仍是曲线仍是曲线y = f(x)的渐近线的渐近线. .lim( )xf xA,0,0X当Xx 时时, ,有有 Axf)(,0,0X当Xx时时, ,有有 Axf)(几何意义几何意义例如例如,都有水平渐近线都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线都有水平渐近线. 1y又如又如,lim( )xf xA两种特殊情况两种特殊情况6/36lim ( )lim( )lim( )xxxf xAf xf xA类似地类似地例如例如:( )arctan xf xx时,的极限（）., ., ., .222ABCD不存在D xyo2 xxfarctan)( 7/36例例8 8 证明证明3

4、lim0.xx例例9 9 证明证明sinlim0.xxx8/3600lim( ),( ).xxf xAf xx若则在点 的某空心邻域内有界2.2.局部有界性局部有界性0 xx以为例1.1.唯一性唯一性: :.,)(lim0则极限唯一则极限唯一存在存在若若xfxx3.3.保序性保序性0000lim( ),lim( ),0 |,( )( ),.xxxxf xAg xBxxxf xg xAB若且存在 的某空心邻域使得当时 有则9/3600lim( ),( )0( )0),0(0).xxf xAxf xf xAA若且在 的某空心邻域内或那么或推论推论00lim( ),0(0),0,0 |,( )0(

5、)0).xxf xAAAxxf xf x若且或则使得当时 有或4.4.局部保号性局部保号性注意：注意：推论条件中的推论条件中的 改成改成)，结论仍不变。，结论仍不变。( ) 10/36AxfA)(:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上 若,0)(lim0Axfxx则存在使当时, 有.2)(Axf;23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 xU, ),(0 xU),(0 xUx分析分析:5.5.局部强保号性局部强保号性11/366.6.函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 0000lim( ),( )()()lim()lim( ).nxxnnnnxxf xxf xxxx nNf

6、xf xf x若存在为函数的定义域内任一收敛于 的数列，且满足：，那么相应的函数值数列必收敛，且（证明略证明略）利用性质利用性质6 6的推论证明极限的推论证明极限 不存在不存在 xx1sinlim0例：12/36二、无穷大二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系 一、无穷小一、无穷小 第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大四、学习无穷小与无穷大的意义四、学习无穷小与无穷大的意义 13/36定义定义1 1 若若0 xx 时时, ,函数函数,0)(xf(或 )x则称函数则称函数)(xf为为0 xx (或或 )x时的无穷小时的无穷小. .当当例如例如: :,0)1(lim1x

7、x函数函数 1x当当1x时为无穷小时为无穷小; ;,01limxx函数函数 x1x时为无穷小时为无穷小. .说明说明 (1)(1)除除0 0以外任何很小的常数都不是无穷小以外任何很小的常数都不是无穷小. . (2)(2)变量是否为无穷小与变化过程有关变量是否为无穷小与变化过程有关. .一、无穷小一、无穷小14/36定理定理1 (1 (无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系) )其中其中 ( (x) )为为0 xx 时的无穷小量时的无穷小量. . 0lim( )( )( ),xxf xAf xAx定理定理2 2 有限个无穷小的代数和是无穷小有限个无穷小的代数和是无穷小. .定理定理3 3

8、有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .推论推论2 2 有限个无穷小之积为无穷小有限个无穷小之积为无穷小. .推论推论1 1 常数与无穷小之积为无穷小常数与无穷小之积为无穷小. .0 xx(以为例)15/36若在定义若在定义2 2中将中将式改为式改为Mxf)(则记作则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx, )(Mxf0lim( )xxf x (lim( ).xf x 则称函数则称函数)(xf当当0 xx 时为无穷大时为无穷大, ,)(x记作记作Mxf)(定义定义2 2 若任给若任给 M 0, ,000 xx一切满足不等式一切满足不等式的的X,

9、 ,总有总有 使对使对)(Xx ( (正数正数X), ),总存在总存在16/36注意注意1.1.无穷大不是很大的数无穷大不是很大的数, ,它是描述函数的一种过程它是描述函数的一种过程; ;2.2.函数为无穷大函数为无穷大, ,必定无界必定无界; ;但反之不真但反之不真. .例如例如: :函数函数),(,cos)(xxxxf2()0, ().fnnZ但,时所以x)(xf不是无穷大不是无穷大. .3.3.若若 则直线则直线0 xx 为曲线为曲线)(xfy 的铅直渐近线的铅直渐近线. .,)(lim0 xfxxxxycosOxy)2( nf()n 当2n17/361.1.无穷大与无穷大与有界变量有界

10、变量的代数和是无穷大的代数和是无穷大. . 2.2.无穷大与无穷大与非零常数非零常数的乘积是无穷大的乘积是无穷大. . 3.3.无穷大与无穷大的乘积是无穷大无穷大与无穷大的乘积是无穷大. . 注意注意 1.1.无穷大与无穷大之和不一定是无穷大无穷大与无穷大之和不一定是无穷大. . 但两个同号的无穷大之和是同号的无穷大但两个同号的无穷大之和是同号的无穷大. .无穷大的性质无穷大的性质2.2.无穷大与有界变量的乘积不一定是无穷大无穷大与有界变量的乘积不一定是无穷大. .18/361011.,( ).( )( ).mmnnnnnnnxP xa xa xaxaP xP x 当时 多项式函数是一个无穷大

11、量且当有意义时，也是一个无穷大量.123,.123 ,:22也是无穷大量也是无穷大量是无穷大量是无穷大量如如 xxxxxx19/36若若)(xf为无穷大为无穷大, ,)(1xf为无穷小为无穷小; ;若若)(xf为无穷小为无穷小, ,且且,0)(xf则则)(1xf为无穷大为无穷大. .则则由定理由定理4,4,关于无穷大的问题都可转化为关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论无穷小来讨论. .定理定理4 4 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中, ,说明说明20/36 对一个函数而言对一个函数而言,在自变量的某个变化过程中在自变量的某个变化过程中,其其无穷小恰为极限存在时的特殊情况无穷

12、小恰为极限存在时的特殊情况,无穷大是极限不无穷大是极限不要么有极限要么有极限,要么无极限要么无极限,二者必居其一二者必居其一,且仅居其一且仅居其一.存在时的特殊情况存在时的特殊情况.只要抓住这两种特殊情形只要抓住这两种特殊情形,就可以就可以有助于解决一般性的问题有助于解决一般性的问题.21/36_32arctanlim. 12 xxxx) (,)(lim,)(lim. 2则必有则必有若若 xgxf 1)()(lim. ,)()(lim.0)()(lim. ,)()(lim. xgxfDxgxfCxgxfBxgxfAC022/36一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则 二、复合函数的极限运

13、算法则二、复合函数的极限运算法则 三、极限的计算方法三、极限的计算方法第五节第五节 极限运算法则极限运算法则23/36定理定理1 1(1)lim()limlim;uvuvAB,lim,lim,u vA BuAvB设某一变化过程中,变量分别以为极限即则在同一变换过程中,有注意注意 使用运算法则前提使用运算法则前提, ,参与运算的极限都存在参与运算的极限都存在. .(2)lim()(lim)(lim );uvuvAB(3)lim(/ )(lim) /(lim )/(0).u vuvA B B24/36(3)lim()lim(;cucucA c为常数）lim(6)lim()(lim)().VVBuu

14、A要求结果有意义推论推论1212(1)lim()limlimlim;mmuuuuuu1212(2)lim()(lim)(lim)(lim);mmu uuuuu(4)lim()(lim )();mmmuuAmN1111(5)lim()(lim )(,);mmmmuuAmNA且有意义25/3600000000 ( )( )( ),limlim,(,lim( )lim.xxuuxxuuyfxyf uuxxuf uAU xxU xxufxf uA 。设是由与复合而成若( )= ，( )=),)有 ( )则 =( )=定理定理2 2 说明说明 若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得则类似可得

15、)(lim0 xfxxAufu)(lim26/36211lim(321).xxx例 计算22012lim.1xxx例计算1.1.直接利用极限运算法则直接利用极限运算法则27/36小结小结 代入法代入法00,( ),(),xxf xf x时 初等函数的极限 只要有意义 均可代入例如例如12arctanlim1 xx112arctan 4 28/362arctan3lim.lnxxx例计算2.2.无穷小与有界变量乘积仍为无穷小无穷小与有界变量乘积仍为无穷小3.3.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系21414lim.23xxxx例计算29/364.4.分解因式约去零因子分解因式约去零因子( (

16、零因子约分法零因子约分法) )例例5 5 计算计算2211lim.23xxxx)00(型型433131lim2xxxxxx例例6 6 计算计算)00(型型30/3633lim.12xxx 5.5.有理化约去零因子有理化约去零因子例例7 7 计算计算311lim.1xxx例例8 8 计算计算)00(型型)00(型型例例9 9 计算计算21112lim.xxxx )00(型型31/363232235lim.741xxxxx例10 计算)(型型 6.6.分子、分母同除以无穷大量法分子、分母同除以无穷大量法例例11112lim.21xxxx 计算)(型型 注意注意0,0.当一个分式的分子极限不为 分母

17、极限为 时，则极限直接等于32/36为非负常数为非负常数)nmba,0(00mn 当101101limmmmnnxna xa xab xb xb,00ba,0,mn 当mn 当一般有如下结果：一般有如下结果：33/3612lim.xxxxxx例计算)(型型 13lim.xxxxxeeee例计算)(型型 34/36)(型型 313114lim().11xxx例计算7.7.无穷大减无穷大无穷大减无穷大: :通分或者有理化通分或者有理化 2215lim(2).nnnnn例计算)(型型 35/3623216 lim( ,),3 , .xxxab a bxa b例若为非零常数求32417 lim()0,( ,), .1xxaxba ba bx例若为常数 求36/36极限计算的思路分