圆专题复习（一）（3个专题） (2)

1、第24章圆专题专练 山东 于秀坤 专题一 圆的有关概念和性质要点提示1要掌握的基本概念：（1）圆心角；（2）圆周角；2要掌握的基本性质定理和推论：（1）圆的对称性；（2）垂径定理及推论；（2）弧、弦、圆心角之间的关系定理及推论；（3）圆周角定理及推论.基本技能 （1）熟练掌握有关的概念和性质；（2）利用垂径定理解决有关计算问题，注意构造直角三角形，借助勾股定理.注意方程思想的应用；（3）在解决有关角度问题时，注意圆心角与同弧所对的圆周角之间关系的应用.（4）涉及到直径问题时，注意直径所对的圆周角等于90性质的应用. 典型例析1垂径定理的应用例1（2007年广东中山） 如图1，已知O的直径AB垂

2、直弦CD于点E，连结CO并延长交AD于点F，若CFAD，AB=2，求CD的长.分析：因为O的直径AB垂直弦CD，根据垂径定理可得AB平分CD，即CE=DE，要求弦CD的长，只要求到CE或DE的长即可解决问题，要求DE的长，只要连接OD，解直角三角形OED即可.解：在AOF和COE中，AFO=CEO=90°.AOF=COE，所以A=C，连接OD，则A=ODA，C=ODC，所以A=ODA=0DC因为A+ODA+ODC=90°，所以ODC=30°， 图1所以DE=OD×cos30°=，所以CD=2DE=. 说明：垂径定理是一个重要的定理，在涉及到直径

3、与弦垂直的问题中往往用到垂径定理.利用垂径定理求弦或半径的长，一般需要连接圆的半径构造直角三角形.2圆心角、圆周角定理及推论的应用例2（2007年山东临沂）如图2，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD/BC，AC平分BCD，ADC=120°，四边形ABCD的周长为10求此圆的半径.分析：由AD/BC，根据两平行弦所夹的弧相等，可知=，根据等弧所对的弦相等，可得AB=CD，再根据ADC=120°，AC平分BCD，可求得AD=CD，进而得到BC为圆的直径，根据直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半可知BC等于AB的2倍.解：因为AD/BC，所以 ADC=120°

4、;，所以BCD=60°，又AC平分BCD，所以DAC=ACB=DCA=30°， 图2所以=，所以B=60°，所以BAC=90°，所以BC是圆的直径，所以BC=2AB因为四边形ABCD的周长为10，所以AB=AD=CD=2，所以BC=4所以此圆的半径为2说明：在不知道圆的半径的情况下求圆的半径的长，一般需要根据已知条件并结合图形探究出圆的半径，然后再根据图形中的数量关系求到半径的长.练习一：1（2007年潜江市）.如图3，已知：AB是O的直径，C、D是上的三等分点，AOE=60°，则COE是（ ）（A） 40° （B）60°

5、（C）80° （D） 120° 图3 图42（2007年泉州）如图4，A、B、C三点都在O上，若BOC=80°，则A的度数等于（ ）（A）20° （B）40° （C）60° （D）80°3（2007年山东聊城）如图5，ABC内接于O，C=30°，AB=2，则O的半径为（）（A）（B）2 （C）（D） 图5 图6 4(2007年云南）已知：如图6，AB是O的直径，AB垂直弦CD于点E，则在不添加辅助线的情况下，图中与CDB相等的角是 （写出一个即可）5.(2006年沈阳) 如图7，已知A、B、C、D是O上的四个点，A

6、B=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD（1）求证：DB平分ADC；（2）若BE=3，ED=6，求AB的长 图5专题二 与圆有关的位置关系 要点提示1要掌握的概念：（1）三角形的外接圆及外心；（2）圆的切线；（3）切线长；（4）三角形的内切圆及内心；（5）圆与圆的五种位置关系2要掌握的性质定理：（1）点与圆的位置关系的判定方法；（2）直线与圆的位置关系的判定方法；（3）切线的判定定理和性质定理；（4）切线长定理；（5）圆与圆之间位置关系的判定方法.基本技能（1）根据点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系确定点与圆的三种位置关系；根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系可确定直线与圆的位置关系

7、；根据两圆的圆心距与两个圆半径之间的数量关系可判断两个圆的位置关系；（2）通过作三角形两边垂直平分线的方法可以作出三角形的外接圆；（3）证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有交点时，一般需要连接过切点的半径；当不知道圆的切点时，需要过圆心作该直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径；（4）作三角形两内角的平分线可作出三角形的内切圆.典型例析1.切线性质定理的应用例1(2007年四川自贡) 如图1，AB是O的直径，AE平分BAC交O于点E，过E作O的切线ME交AC于点D试判断AED的形状，并说明理由分析: 因为ME是O的切线,E为切点,联想到切线的性质,连接OE,则OEMD,由此可知OED=9

8、0°,由OA=OE,可得到OEA=OAE,再根据AE平分BAC,可得OEA=EAD.而OEA+AED=90°,所以EAD+AED=90°,这样可得AED为直角三角形.解: AED为直角三角形,理由：连结0E,因为ME是O的切线,E为切点,所以OEA+AED=90°,因为AE平分BAC,所以OAE=EAD,又因为OA=OE,所以OAE=OEA,所以OEA=EAD,所以AEDEAD=90°,所以AED是直角三角形. 图1 说明:已知圆的切线,往往需要连接过切点的半径,然后利用切线的性质定理解决问题.2.切线判定定理的应用例2 (2007年江苏南通)

9、 如图2，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE求证：AE是O的切线.分析:要证明AE是O的切线,因为点A在圆上,所以只要连接OA,然后证明OAAE,.根据已知条件AECD,所以只要证明OA/CD即可. 证明: 连接OA因为DA平分BDE，所以BDA=EDA因为OA=OD,所以ODA=OAD所以OAD=EDA,所以OA/CE,因为AEDE.所以AED=90°,所以OAE=DAE=90°, 图2所以AEOA所以AE是O的切线.说明: 证明一条直线是圆的切线,当已知直线与圆有公共点时,通常连接过交点的半径.3.切线长定理的应用例3(2007年

10、厦门) 已知:如图3,PA、PB是O的切线,A、B是切点,连结OA、OB、OP. （1）若AOP=60°，求OPB的度数；（2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点，若COP=DOP，求证：AC=BD； 连结CD，设PCD的周长为l，若l=2AP, 判断直线CD与O的位置关系，并说明理由.分析: (1)由PA、PB是O的切线,根据切线长定理可得PA=PB,再根据切线的性质定理可得OAP=OBP=90°,进而可得OAPOBP,根据AOP=60°,可求到OPB=30°(2)要AC=BD可证明AOCBOD或POCPOD. 图3要判断直线CD与O的位置关

11、系,可从特征情况相切考虑. 解: (1)因为PA为O的切线,所以OAP=90°,又AOP=60°,APO=30°,由切线长定理得,AP=BP,所以PBO=PAO=90°,又OP=OP,所以PAOPBO,所以PPB=OPA=30°.(2)由(1)知PAOPBO,所以POB=POA,又COP=DOP,所以COA=DOB,而CAO=DBO=90°,OA=OB,所以AOCBOD,所以AC=BD.CD与O相切.记切点为E.因为CD与O相切.记切点为E,所以CA=CE,BD=DE,所以CD=AC+BD,所以AC+CP+BD+DP=AP+BP=2A

12、P=l.说明:利用切线长定理解决问题,往往需要将其与切线的性质定理联合起来,构造全等三角形.4.圆与圆的位置关系例4 (2007年杭州)两圆有多种位置关系，图4中不存在的位置_分析 :两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.观察所给的“雪人”图案,其中头部中的两个眼睛是两个圆,这两个圆位置关系是外离,头部是一个圆,这个圆与其中一个眼睛的位置关系是内含；头部与身体部位的大圆的位置关系是外切；身体部位上的五个圆的位置关系有的是相交，有的是外离.比较圆与圆的五种位置关系可知,图中不存在的位置关系是内切.解:填“内切”.说明: 根据图形判断圆与圆位置关系的考题, 一般设计都比较新颖,解决

13、问题的关键是 图4熟练掌握圆的五种位置关系.例5 (2006年漳州)如图5，已知O1的半径为1，O2的半径为2，圆心距O1O2=4,现把O1沿直线O1O2平移，使O1与O2外切，则O1平移的距离为（ ）(A)1(B)7(C)1或7(D)3或5分析: 把O1沿直线O1O2平移，使O1与O2外切,可能存在两种情况,一是与O2在左侧外切,二是在由侧外切.根据两圆外切d=R+r可求到平移的距离. 解: 当在O2的左侧外切时,平移的距离为1,当在O2的右侧外切时,平移 图5的距离为7,所以选(C).说明:根据半径与圆心距之间的数量关系解决有关问题,应全面思考问题,避免出现漏解现象.练习二:1. （200

14、7年大连）如图7，AB、AC是O的两条切线，B、C是切点，若A=70°，则BOC的度数为（ ）（A）130°（B）120°（C）110°（D）100° 图6 图7 图82(2007年徐州) 如图6，已知O是ABC的内切圆，且ABC=50°，ACB=80°，则BOC= °3（2007年河北）如图8，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），A的半径为1，B的半径为2，要使A与静止的B内切，那么A由图示位置需向右平移 个单位长 4（2007年山西）如图9，在O中，AB是直径，BOC=120&#

15、176;，PC是O的切线，切点是C，点D在劣弧上运动当CPD满足什么条件时，直线PD与直线AB垂直？证明你的结论CPD=60°（或AOC），直线PD与直线AB垂直 图9专题三 与圆有关的计算要点提示1要掌握的概念：（1）正多边形的半径、边心距和中心角；（2）弧长与扇形；（3）圆锥的母线.2要掌握的计算：（1）弧长的计算；（2）扇形的面积计算；（3）圆锥的侧面记积和全面积的计算. 基本技能 （1）解决弧长有关的计算，要熟练掌握弧长的计算公式；（2）解决扇形有关的面积计算，要熟练掌握扇形的面积计算公式S=或S=；（3）计算圆锥的侧面积通常转化为计算其展开图的面积.典型例析1正多边形与圆例

16、1（2007年山西临汾）阅读材料并解答问题：与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，与正n边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆，设正n(n3)边形的面积为，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积（1）如图1，当n=3时，设AB切P于点C，连结OC,OA,OB，所以OCAB， 所以OA=OB，所以AOC=AOB，所以AB=2BC 在RtAOC中，因为AOC=，OC=r， 所以AC=r·tan60°,所以AB=2r·tan60°, 所以SAOB=r·2rtan60°=r2tan60&

17、#176;,所以S正三角形=2SAOB=3r2tan60° 图1（2）如图1，当n=4时，仿照（1）中的方法和过程可求得：S正四边形=4SOAB= ；（3）如图1，当n=5时，仿照（1）中的方法和过程求；（4）如图1，根据以上探索过程，请直接写出 分析:本题一道与圆的外切多边形有关的阅读理解题.通过阅读可以得到求圆的外切正三角形面积的方法，根据此方法可以求到正四边形，正五边形以及正n边形的面积.解：（1）（2）如图，当n=5时，设AB切O于点C，连结OC,OA,OB，所以OCAB，因为OA=OB,所以AOC=36°,OC=r，所以AC=r·tan36°,

18、所以AB=2r·tan36°,所以SOAB=r2tan36°.所以=5r2tan36°.（3）说明：通过解答本题可以得到求圆的正多边形的面积的方法：将求正多边形面积问题转化为求三角形面积问题，这是一种重要的思想方法.2求弧长例2（2007年河南）如图2，ABCD是边长为1的正方形，其中、的圆心依次是A、B、C求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；分析：要求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长，可分别求出、的长，然后相加.求每条弧的长应先确定相应圆的半径，然后代入弧长公式.解：（1）因为AD = 1，DAE = 90o，所以的长，同理，的长，的长，所

19、以，点D运动到点G所经过的路线长 图2 说明：当一个问题可以分成几部分，而且各部分之间还存在相互联系，则可以采用由部分到整体的解题方法.本题就体现了这种思想方法. 3求扇形面积以及围成圆锥等问题例3（ 2007年贵阳）如图3，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90°的扇形（1）求这个扇形的面积（结果保留）（2）在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由分析：（1）要求扇形的面积只要求出扇形的半径AB，再代入扇形的面积计算公式.要求AB的长，可连接BC构成直角三角形，借助勾股定理解决.（2）能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围

20、成一个圆锥，则需要计算出所围成圆锥的底面圆的直径与从第块余料中剪出一个圆的直径是否相等. 图3解：（1）连接BC，由勾股定理求得： AB=AC=，所以.（2）连接AO并延长，与弧BC和O交于E、F，则EF=AF-AE=2-，弧BC的长：.设围成圆锥的底面圆的半径为r，因为，所以圆锥的底面直径为：，因为，所以不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥说明：求扇形面积应知道扇形的半径以及扇形的圆心角；用扇形围成圆锥，扇形的面积等于圆锥的侧面积；扇形的弧长等于所围成的圆锥底面圆的周长.4求阴影部分面积 例4（2007年吉林） 已知：B、C是线段AD上的两点，且AB=CD分别以AB，BC，CD，A

21、D为直径作四个半圆，得到一个如图4所示的轴对称图形此图的对称轴分别交其中两个半圆于M、N，交AD于O若AD=16，AB=2r(0<r<4)，回答下列问题：（1）用含r的代数式表示BC=，MN=（2）设以MN为直径的圆的面积为S，阴影部分的面积为，请通过计算填写下表： rSr=149r=236r=325 （3）由此表猜想S与的大小关系，并证明你的猜想 图4分析:本题是一道与阴影面积有关的探索题.要求以MN为直径的圆的面积为S,则需要求到直径MN的长;阴影部分的等于以AD为直径的半圆的面积加上以BC为直径的半圆的面积减去与AB为直径的圆的面积.解:（1）BC=16-4r，MN=OM+O

22、N=OA+OB=16-2r（2）如下表:(3）证明：因为，所以说明:解决阴影部分面积问题,可通过转化将不规则的阴影部分面积转化为规则图形的面积的和或差解决.练习三:1. (2007年漳州)小红家墙壁上挂着一把扇子形的艺术品，如图5所示，小红测得外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB长为90cm，贴纸部分BD长为60cm，则贴纸部分的面积为（ ）（A）2400cm2（B）2700cm2（C）1500cm2（D）7200cm2 图5 图62（2007年山西临汾）如图6，在边长为20cm的等边三角形纸片中，以顶点为圆心，以此三角形的高为半径画弧分别交于点，则扇形所围的圆锥（不计接缝）的底圆半径为（ ）Acm Bcm Ccm Dcm3（2007年三明市） 如图7，圆锥的底面半径为4，母线长为6，那么这个圆锥的侧面积是 m2 图7 图84（2007年鄂尔多斯市）如图8，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于P，如果AB=4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2（结果用表示）5（2007年辽宁）如图9，已知在O中，AB=4，AC是O的直径，ACB