第27讲 解三角形

1、正、余弦定理及应用一、要点精讲1直角三角形中各元素间的关系：如图，在ABC中，C90°，ABc，ACb，BCa。（1）三边之间的关系：a2b2c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：ABC。边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，ab < c，bc < a，ca > b；（2）正弦

2、定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。它们的变形形式有：a = 2R sinA，3三角形的面积公式：（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）absinCbcsinAacsinB；（3）；（4）2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）（5）；（6）；（7）r·s。4三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外

3、，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r为三角形内切圆半径，p为周长之半。二典例解析题型1：正、余弦定理例1（1）在中，已知，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。例2（1）在ABC中，已知，求b及A；（2）在ABC中，已知，解三角形 (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的

4、对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意【训练1】 (2011·北京)在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A_；a_. (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用【训练2】已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面积题型2：三角形面积例1在中，求的值和的面积。例2已知ABC的三个内角A、BC成等差数列，其外接圆半径为1，且有。（1）求A、BC的大小；（2

5、）求ABC的的面积。题型3：与三角形边角相关的问题例1（1）ABC中，则ABC的周长为（ ）A BC D（2）在，求（1）（2）若点例2在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，求的值。题型4：三角形中求值问题例1的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。例2已知A、B、C是三内角，向量，且，（）求角A；（）若题型5：三角形中的三角恒等变换问题例1在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。例2在ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。题型6：正、余弦定理判断三角形形状例1在ABC中，若

6、2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形例2如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）A和都是锐角三角形B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形 判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系【训练1】 在ABC中，若；则ABC是()A直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形北2010ABC题型7：正余

7、弦定理的实际应用(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图(2)(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数例1如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？例2如图，已知AB

8、C是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设ÐMGAa（）（1）试将AGM、AGN的面积（分别记为S1与S2）；（2）表示为a的函数，求y的最大值与最小值。【训练3】设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B，b2.(1)当A30°时，求a的值；(2)当ABC的面积为3时，求ac的值五思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C

9、 = ，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C。2三角形内切圆的半径：，特别地，；3三角学中的射影定理：在ABC 中，4两内角与其正弦值：在ABC 中，5解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。忽视三角形中的边角条件致错1、在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a，b，12cos(BC)0，求边BC上的高错因忽视三角形中“大边对大

10、角”的定理，产生了增根【试一试】ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2 Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.练习一、选择题1在ABC中，“”是“C=90°”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2已知ABC中，其面积为，则角A等于（ ）A30° B60°C30°或150° D60°或120°3在ABC中，C=2B，且AB，则的值为（ ）A BC1 D24在ABC中，若a,b,c为A、B、C的对边，且，则（ ）Aa,b,c成等差数列 Ba,c,b成等差数列 Ca,c,b成等比数列 Da,b,c成等比数列5在ABC中，A=60°，b=1，则等于（ ）A BC D6给出下列四个命题：若，则ABC是等腰三角形.若，则ABC是直角三角形.若，则ABC是钝角三角形.若，则ABC是等边三角形.以上命题正确的是（ ）A BC D二、填空题7在ABC中，若C=90°，则_.8在ABC中，则=_.9半径为1的圆内接三角形的面积为，则abc=_.10在ABC中，则C的大小为_.三、解答题11在ABC中，若，（1）求角C的大小；（2）又若，试判断三角形的形状.12已知圆O的半径为R，它的内接ABC中，有成立，求A