微积分课件：D4_7曲率

1、第七节曲线的弯曲线的弯曲程度曲程度与切线的转角有关与切线的转角有关与曲线的弧长有关与曲线的弧长有关机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容主要内容:一、一、 弧微分弧微分 二、二、 曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 MMM 平面曲线的曲率 第四四章 一、一、 弧微分弧微分)(xfy 设设在在(a , b)内有连续导数内有连续导数, 其图形为其图形为 AB,弧长弧长)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxAB)(xfy abxoyxMxxMy1lim0MMMMx机动 目录 上页

2、 下页 返回 结束 则弧长微分公式为则弧长微分公式为tyxsdd22)(xs2)(1yxysd)(1d2或或22)(d)(ddyxsxxdxdxoyxMydT几何意义几何意义:sdTM;cosddsxsinddsy若曲线由参数方程表示若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点在光滑弧上自点 M 开始取弧段开始取弧段, 其长为其长为,s对应切线对应切线,定义定义弧段弧段 上的平均曲率上的平均曲率ssKMMs点点 M 处的曲率处的曲率sKs0limsdd注意注意: 直线上任意点处的曲率为直线上任意点处的曲率为

3、 0 ! ( )机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为转角为度反映曲线的平均弯曲程角度的大小单位弧段上切线转过的0例例1. 求半径为求半径为R 的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示如图所示 ,RssKs0limR1可见可见: R 愈小愈小, 则则K 愈大愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大愈大, 则则K 愈小愈小 , 圆弧弯曲得愈小圆弧弯曲得愈小 .sRMM机动 目录 上页 下页 返回 结束 同一圆上各点处的弯曲程度一样同一圆上各点处的弯曲程度一样 .有曲率近似计算公式有曲率近似计算公式,1时当 yytan)22(设y arctan得xyd)arc

4、tan(d xyyd12 xysd1d2故曲率计算公式为故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyK yK 又又曲率曲率K 的计算公式的计算公式)(xfy 二阶可导二阶可导,设曲线弧设曲线弧则由则由机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: (1) 若曲线由参数方程若曲线由参数方程)()(tyytxx给出给出, 则则23)1(2yyK (2) 若曲线方程为若曲线方程为, )(yx则则23)1(2xxK 23)(22yxyxyxKtttt 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 我国铁路常用立方抛物线我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线作缓和曲线,处的曲率处的曲率.)6,(,

5、 )0,0(2RllBO点击图片任意处播放暂停说明说明:铁路转弯时为保证行车铁路转弯时为保证行车平稳安全平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 且且 l R. 其中其中R是圆弧弯道的半径是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度是缓和曲线的长度, 离心力必须离心力必须连续变化连续变化 , 因此铁道的因此铁道的曲率应连续变化曲率应连续变化 . 例例2. 我国铁路常用立方抛物线我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线作缓和曲线,且且 l R. 处的曲率处的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO其中其中R是圆弧弯道的半径是圆弧弯道的半径,

6、 l 是缓和曲线的长度是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:,0时当lxRl20 xlRy1 yK xlR1显然显然;00 xKRKlx1221xlRy RByox361xlRy l例例3. 求椭圆求椭圆tbytaxsincos)20(t在何处曲率最大在何处曲率最大?解解:故曲率为故曲率为 ba23)cossin(2222tbta;sintaxt;costbyttaxtcos tbytsin 23)(22ttttttyxyxyxK K 最大最大tbtatf2222cossin)(最小最小机动 目录 上页 下页 返回 结束

7、ttbttatfsincos2cossin2)(22tba2sin)(22求驻点求驻点: ,0)( tf令,0t得,2,232,设设tbatf2sin)()(22t)(tf022322b2b2a2b2a从而从而 K 取最大值取最大值 .这说明椭圆在点这说明椭圆在点,0ab 时则2,0t)0,(a处曲率处曲率机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算驻点处的函数值计算驻点处的函数值:yxbaba,)( 取最小值tf最大最大.例例4. 求阿基米德螺线求阿基米德螺线,0(rr是极坐标是极坐标)的曲率的曲率.解解:曲线可表为参数方程曲线可表为参数方程,cosx)0(sinysincos x;cossin

8、2 x,cossin ysincos2 y2/322)(yxyxyxK 2/322)1 (2三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径Tyxo),(DR),(yxMC设设 M 为曲线为曲线 C 上任一点上任一点 , 在点在点在曲线在曲线KRDM1把以把以 D 为中心为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点为半径的圆叫做曲线在点 M 处的处的曲率圆曲率圆 ( 密切圆密切圆 ) , R 叫做叫做曲率半径曲率半径, D 叫做叫做曲率中心曲率中心.在点在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线有公切线;(2) 凹向一致凹向一致;(3) 曲率相同曲率相同 .M 处作曲

9、线的切线和法线处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点的凹向一侧法线上取点 D 使使机动 目录 上页 下页 返回 结束 设曲线方程为设曲线方程为, )(xfy 且且,0 y求曲线上点求曲线上点M 处的处的曲率半径及曲率中心曲率半径及曲率中心),(D设点设点M 处的曲率圆方程为处的曲率圆方程为222)()(R故曲率半径公式为故曲率半径公式为KR1 23)1 (2yy 满足方程组满足方程组,222)()(Ryx),(在曲率圆上yxM)(MTDM yyx的坐标公式的坐标公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 TCyxo),(DR),(yxM由此可得曲率中心公式由此可得曲率中心公式yyyx )1

10、 (2yyy 21(注意注意y与与y 异号异号 )当点当点 M (x , y) 沿曲线沿曲线 )(xfy 移动时移动时,的轨迹的轨迹 G 称为曲线称为曲线 C 的的渐屈线渐屈线 ,相应的曲率中心相应的曲率中心Cyxo),(yxM),(DRT曲率中心公式可看成渐曲率中心公式可看成渐曲线曲线 C 称为曲线称为曲线 G 的的渐伸线渐伸线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 屈线的参数方程屈线的参数方程(参数为参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停例例5. 求曲线求曲线 xy = 1 在点在点 (1,1) 处的曲率圆。处的曲率圆。解解: 曲线方程为曲线方程为 y = 1/x ,于是于是.2,32

11、xyxy当当 x = y =1 时，时，.2) 1 (, 1) 1 ( yy所以所以2)1 (2 yyyx212 yyy故曲线在点故曲线在点(1,1) 的曲率中心为点的曲率中心为点(2,2)。因曲率圆必。因曲率圆必通过点通过点(1,1),故曲率半径故曲率半径.2R因此，曲率圆的方程为因此，曲率圆的方程为 ( x-2 )2 + ( y-2 )2=2 .11yox例例6. 设一工件内表面的截痕为一椭圆设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮现要用砂轮削其内表面削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为设椭圆方程为tbytaxsincos),20(abx

12、由例由例3可知可知, 椭圆在椭圆在)0,( aoyx处曲率最大处曲率最大 ,即曲率半径最小即曲率半径最小, 且为且为 R23)cossin(2222tbtaba0tab2显然显然, 砂轮半径不超过砂轮半径不超过ab2时时, 才不会产生过量磨损才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题或有的地方磨不到的问题.ab例3 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 弧长微分弧长微分xysd1d2或或22)(d)(ddyxs2. 曲率公式曲率公式sKdd23)1 (2yy 3. 曲率圆曲率圆曲率半径曲率半径KR1yy 23)1 (2曲率中心曲率中心yyyx )1 (2yyy 21机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系曲线在一点