分类讨论思想的应用(共19页)

1、专题三 分类讨论的思想 一 、考点回顾分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识

2、面的考察；解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。2. 分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤确定讨论对象和确定研究的全域；对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；归纳总结，整合得出结论4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前项和公式等等；由数学运算要求引起的分

3、类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。5. 分类讨论思想的类型问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；问题中的条件是分类给出的；解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的。二、经

4、典例题剖析1.已知函数,则的值域是（ ）(A) (B) (C) (D) 解析： 答案：C 点评：本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了分类讨论思想和估算能力。2.已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围 解析：由函数的解析式的形式，对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数，还是二次函数，因而需就和两类情况进行讨论。 答案：函数在区间-1，1上有零点，即方程=0在-1，1上有解， a=0时，不符合题意，所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解<=>或或或或a1.所以实数a的取值范围是或a1. 点评：本题主要考察二次函数及其性质、一元二次方程

5、、函数应用、解不等式等基础知识，考察了数形结合、分类讨论的思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力。3.设函数（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于解析：函数的极值、单调性是函数的重要性质。极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性；而函数单调性的讨论则需要考察相应导数的符号问题。答案：（），依题意有，故从而的定义域为当时，；当时，；当时，从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少（）的定义域为，方程的判别式（）若，即，在的定义域内，故无极值（）若，则或若，当时，当时，所以无极值若，也无极值（）若，即或，则有两个不

6、同的实根，当时，从而在的定义域内没有零点，故无极值当时，在的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知在取得极值综上，存在极值时，的取值范围为的极值之和为： 点评：本题主要考查函数的导数、极值、单调区间的求法，考查利用导数和函数知识解综合问题的能力.求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论倒导数的符号。一般地可导函数的极值存在要求有两个条件：一是方程在的定义域内有解；二是在方程的根的两边导数的符号要相反。因此在利用导数求可导函数的极值时就要分两层讨论。4.在数列中，其中0求数列的前项和解析：数列的通项公式和前项和的求解，是高考中考查的一个重点内容

7、，对于它们的解决要掌握一些方法。答案：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为设，当时，式减去式，得，这时数列的前项和当时，这时数列的前项和 点评：本题考查数列的通项公式和前项和。对于等比数列的前项和公式，由于公比的取值不同而需要分类讨论。5.设等比数列的公比，前项和为已知，求的通项公式解析：本题是考查数列的基本题，“知三求二”。答案：由题设知，则 由得，因为，解得或当时，代入得，通项公式；当时，代入得，通项公式 点评：本题在运算过程中，由于参数值的不同导致结果的变化，因而需要分类讨论。6.直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形中，若，则的可能

8、值个数是（） 1 2 3 4解析：由（2，1），（3，k），得（1，k-1），由于为，则，都可能为直角，由向量数量积为0，分别有或或，解得或。答案： 点评：本题主要考查向量运算及向量垂直的判定，也考查了学生分类讨论思想能力，引起分类的原因是直角三角形直角的不确定，但有的学生也可能想到位置有三种情况，故主观认为有三个值，这也是值得思考的。7. 将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）解析：连续掷三次骰子出现点数的方法总数为种，其中公差为0的等差数列有6个，公差为1或-1的等差数列有个，公差为2或-2的等差数列有，所以满足条件中的概率为答案： 点评：本题主要考查概率基础知

9、识，排列组合知识和等差数列的性质，由于取出的三个数成等差数列，则三个数由于顺序且公差不确定，所以需要分类进行计数。8.已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值解析：圆锥曲线方程的确定要了解其中参数字母具有的几何意义，掌握字母间的基本关系。答案：（）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为（）设，（1）当轴时，（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭圆方程，整理得，当且仅当，即时等号成立当时，综上所述当最大时，面积取最大值 点评：本题考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线间的位置关系。对于直线方程

10、，根据斜率存在与否是本题产生讨论的原因。三 强化训练（一）选择题1.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.对,记，函数的最小值是 ( )A0 B. C. D. 33. 若，且，则实数中的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5圆的切线方程中有一个是 ( )A.xy0 B.xy0 C.x0 D.y06曲线与曲线的 （ ）A.焦距相等 B. 离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同7以平行六面体ABCDABCD的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角

11、形，则这两个三角形不共面的概率p为 （ ）A B C DOM（，）8如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”已知常数0，0，给出下列命题：若0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；若0，且0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有2个；若0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是 （ ）A.0 B.1 C. 2 D. 39设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( )A B C D10.函数的图象大致是（ ）11已知平面区域由

12、以、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则 （ ） A. B. C. D. 412关于的方程，给出下列四个命题： 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是 （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3（二）填空题13. 若，则a的取值范围为_.14 的展开式中整理后的常数项为 . 15若函数在其定义域内有极值点，则a的取值为 16已知线段AB在平面外，A、B两点到平面的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面的距离为

13、（三）解答题17.18设函数在及时取得极值（）求a、b的值；（）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围 19. 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派方案？20(2005年江西)已知函数f（x）=（a，b为常数）且方程f（x）x+12=0有两个实数根为x1=3，x2=4（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k1，解关于x的不等式f（x）21已知an是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和 （1）用Sn表示Sn+1;（2）是否存在自然数c和k，使得成立 22某分公司经销某种品牌产品，每件产品

14、的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件（）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值（四） 创新试题1. 已知奇函数的定义域为，且是以2为周期的周期函数，数列是首项为，公差为1的等差数列，那么的值为。O(A)BCDxy. 在平面直角坐标系中，已知矩形的长为，宽为，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图所示）将矩形折叠，使点落在线段上（）若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；（）求折痕的长的最大值【答案及点拨】（一）选择题1.

15、 分奇数和偶数两种情况讨论既可。2. C 当x<1时，|x1|x1，|x2|2x，因为（x1）（2x）3<0，所以2x>x1；当1£x<时，|x1|x1，|x2|2x，因为（x1）（2x）2x1<0，x1<2x；当£x<2时，x1³2x；当x³2时，|x1|x1，|x2|x2，显然x1>x2；故据此求得最小值为。3. D4. B5. C 点拨：本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径直线ax+by=0，则，由排除法，选C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象

16、法解最省事.6. A 点拨：由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A. 7. AOM（，）8. D 点拨：如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”已知常数0，0，对于下列命题：若0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个，正确；若0，且0，则p与q中有一个为0，另一个不为0， “距离坐标”为（，）的点可以在直线l1或直线l2上，例如（p，q）=(0，1)，则点M在直线l2上，且到O点距离为1，这样的点有2个，命题正确；若0，则p0，q0，“距离坐标”为（，）

17、的点在两条直线相交而成的四个区域内，这样的点有且仅有4个,正确.上述命题中，正确命题的个数是3个，选D. 9. B 点拨:若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法

18、种数有=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=1种；总计有，选B.解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素

19、，有=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法.选B.10. D 点拨：=选(D)11. C 点拨：依题意，令z0，可得直线xmy0的斜率为，结合可行域可知当直线xmy0与直线AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数zxmy取得最小值，而直线AC的斜率为1，所以m1，选C12. B点拨:据题意可令，则方程化为，作出函数的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程有2个不等的根；（2）当0<t<1时方程有4个根；（3）当t=1时，

20、方程有3个根。故当t=0时，代入方程，解得k=0此时方程有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程有两个不等正根时，即此时方程有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个；当时，方程有两个相等正根t，相应的原方程的解有4个；故选B。（二）填空题13. 14. 点拨：,其中k满足0k5.kN,的通项公式为,其中0r5-k,rN,令5-2r-k=0,邵k+2r=5,解得k=1,r=2;k=3,r=1;k=5,r=0当k=1,r=2时,得展开式中项为;当k=3,r=1时, 得展开式中项为;当k=5,r=0时得展开式中项为,综上的展开式中整理后的常数项为15.

21、或a=1 点拨 即f(x)=(a1)x2+ax=0有解 当a1=0时，满足 当a10时，只需=a2(a1)0 16. 1或2 点拨:分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决 （三）解答题 17 分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类. 解： 综上所述，得原不等式的解集

22、为；。18（），因为函数在及取得极值，则有，即解得，（）由（）可知，当时，；当时，；当时，所以，当时，取得极大值，又，则当时，的最大值为因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为19 分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：（1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能工人；（3）选出的6人中含2名全能工人；（4）选出的6人中含有3

23、名全能工人。 解： 20解 （1）将x1=3，x2=4分别代入x+12=0得=9，解方程得 a=1，=8， b=2f（x）=x（x2）（2）不等式f（x），即x，即0（x2）（x1）（xk）0当1k2时，解集为（1，k）（2，+）；当k=2时，不等式为（x2）2（x1）0解集为（1，2）（2，+）；当k2时，解集为（1，2）（k，+）【评析】 本题主要考查分式不等式，含参不等式的解法等基础知识，考查分类整合思想的运用能力。21分析：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质；并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由Sn=4(1），得，(nN*)（2）要使，只要因为所以，(kN*)故只要Sk2cSk，（kN*）因为Sk+