第1章_1位置矢量 位移

1、1.1.1 参考系和坐标系参考系和坐标系1.1 位置矢量和位移位置矢量和位移1.1.2 位置位置矢量矢量1.1.3 位移位移1.1.1 参照系和坐标系参照系和坐标系 宇宙中的所有物体都处于永不停止的运宇宙中的所有物体都处于永不停止的运动中，这就是动中，这就是运动的绝对性运动的绝对性. . 为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系.1 1 参考系参考系 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是运动描述的同，这就是运动描述的相对性相对性.2. 坐标系坐标系 在确定了参照系之后，为了确切地、在确定了参照系之后，

2、为了确切地、定定量量地说明一个地说明一个质点相对于所选参照系的位置质点相对于所选参照系的位置，就得在此参照系上就得在此参照系上固结固结一个坐标系一个坐标系. . 最常见的是笛卡儿直角坐标系：最常见的是笛卡儿直角坐标系： xyzo),(zyxP1.1.2 位置矢量位置矢量1 位置位置矢量矢量r*Pxyzxzyokzj yi xr222rxyrz位矢位矢 的的值值为为r 确定质点确定质点P某一时刻某一时刻在在坐标系坐标系里的里的位置位置的物理量称的物理量称位置矢量位置矢量, 简称位矢简称位矢 .r式中式中 、 、 分别为分别为x、y、z 方向的方向的单位矢量单位矢量.ijkikjrxcosrzco

3、srycos位矢位矢 的的方向余弦方向余弦rPPrxzyoxzyo2 运动方程运动方程ktzjtyitxtr)()()()()(txx )(tyy )(tzz 分量式分量式从中消去从中消去参数参数 得得轨迹方程轨迹方程 0),(zyxft)(tr)(tx)(ty)(tz1.1.3 位移位移xyoBBrArArArBBrArxyoBxAxABxx ByAyAByy 经过时间经过时间间隔间隔 后后, 质点质点位置矢量发生变化位置矢量发生变化,把把 由始点由始点 A 指向终点指向终点 B 的的有向线段有向线段 称为点称为点 A 到到 B 的的位移矢量位移矢量 , 简称简称位移位移. ABrrrtr

4、222zyxr位移的位移的大小大小为为ArBBrArxyoBxAxABxx ByAyAByy jyixrAAAjyixrBBBjyyixxABAB)()( ABrrr位移位移若质点在若质点在三维三维空间中运动空间中运动kzzjyyixxrABABAB)()()(4 路程（路程（ ）: 质点质点实际运动轨迹的长度实际运动轨迹的长度.s222zyxrrr212121zyx222222zyxr位移位移的物理的物理意义意义确切反映物体在空间位置的确切反映物体在空间位置的变化变化, 与路径无关与路径无关，只决定于，只决定于质点的质点的始末位置始末位置.s),(1111zyxP),(2222zyxP)(1

5、tr1P)(2tr2Pr注意注意xyOzrkzj yi xr位矢长度的变化位矢长度的变化位置矢量与位移及路程的异同位置矢量与位移及路程的异同位置矢量位置矢量状态量状态量r位位 移移过程量过程量 位位 移移矢矢 量量路路 程程标标 量量 位置矢量与位移都是矢量位置矢量与位移都是矢量. .位移与路程都是过程量位移与路程都是过程量; ;位移与过程无关，位移与过程无关，路程与过程有关路程与过程有关1.2.1 速度速度1.2 速度和加速度速度和加速度1.2.2 加速度加速度1.2.3 例题分析例题分析1.2.1 速度速度1 平均速度平均速度)()(trttrr 在在 时间内时间内, 质点从点质点从点A

6、运动到点运动到点 B, 其位移为其位移为tt时间内时间内, 质点的质点的平均速度平均速度平均速度平均速度 与与 同方向同方向.rvjtyitxtrv平均速度大小平均速度大小22)()(tytxvjiyxvvv或或r)(ttrB)(trAxyos2 瞬时速度瞬时速度 当当 时平均速度的时平均速度的极限值极限值叫做瞬时速度，叫做瞬时速度，简称速度简称速度0tjtyitxtt00limlimvtrtrtddlim0vxyov222ddd()()()dddxyztttvv瞬时瞬时速率速率：速度：速度 的大小称为速率的大小称为速率vyvxvjiyxvvvjtyitxddddv 若质点在若质点在三维三维空

7、间中运动空间中运动,其其速度速度为为ktzjtyitxddddddv讨论讨论 一运动质点在某一运动质点在某瞬时瞬时位于矢径位于矢径 的端点的端点处，其速度大小为处，其速度大小为),(yxrtrddtrdd（A）（B）（B）（B）trdd22)dd()dd(tytx（C）（D）1） 平均加速度平均加速度BvBAvBvv与与 同方向同方向 .va（反映速度变化快慢的物理量）（反映速度变化快慢的物理量）xyOatv 单位时间内的速度增单位时间内的速度增量即平均加速度量即平均加速度2）（瞬时）加速度）（瞬时）加速度0dlimdtatt vv1.2.2 加速度加速度AvAxyzaa ia ja k222

8、222ddddddddddddxxyyxattyattattzzvvvz加速度大小加速度大小222xyzaaaa22ddddrattv加速度加速度jtityxddddvv加速度大小加速度大小220limyxtaatav质点作三维运动时加速度为质点作三维运动时加速度为)(ta)(tr求导求导求导求导积分积分积分积分( ) tv质点运动学两类基本问题质点运动学两类基本问题 一一 由质点的由质点的运动方程运动方程可以求得质点在可以求得质点在任一任一时刻的位矢、速度和加速度时刻的位矢、速度和加速度； 二二 已知质点的加速度以及已知质点的加速度以及初始速度和初始初始速度和初始位置位置, 可求质点速度及其

9、运动方程可求质点速度及其运动方程 .运动学的问题一般可以分为如下两类。（1 1）已知）已知运动方程求速度、加速度运动方程求速度、加速度的问题（在曲线的问题（在曲线运动中还可以求运动轨迹）。这类问题的求解是运动中还可以求运动轨迹）。这类问题的求解是非常非常简单简单的，根据在前面学习的公式，大家可以看到对运的，根据在前面学习的公式，大家可以看到对运动方程动方程求求时间的一阶时间的一阶导数导数就得到速度，再求一次导数就得到速度，再求一次导数就得到加速度。再将就得到加速度。再将具体的时间代入具体的时间代入到速度和加速到速度和加速度公式中就可以求得任意时刻的速度和加速度。度公式中就可以求得任意时刻的速度

10、和加速度。（2 2）已知）已知加速度和初始条件求速度、运动方程加速度和初始条件求速度、运动方程的的问题（在曲线运动中还可以求运动轨迹）。这类问题问题（在曲线运动中还可以求运动轨迹）。这类问题在数学上看是典型的在数学上看是典型的积分问题积分问题。积分常数的确定常常。积分常数的确定常常需要一些已知条件，即需要一些已知条件，即初始条件初始条件。初始条件是指问题。初始条件是指问题给定时刻（通常是给定时刻（通常是t t为零的时刻，但也有为零的时刻，但也有t t不为零的情不为零的情况）质点运动的速度和位置（常用况）质点运动的速度和位置（常用 和和 来表示）。来表示）。0v0 x1.2.3 例题分析例题分析

11、（5）质点的加速度质点的加速度. . 2218,2tytx 1. 已知一质点的运动方程为已知一质点的运动方程为其中其中x、y以以m计，计，t 以以s计计. . 求：求：（1）质点的质点的轨道方程轨道方程并画出其轨道曲线；并画出其轨道曲线；（2）质点的质点的位置矢量位置矢量；（3）质点的速度；质点的速度；（4）前前2s内的平均速度；内的平均速度；（2）质点的位置矢量为质点的位置矢量为xyo（1）将质点的运动方程消去时间参数将质点的运动方程消去时间参数t，得，得质点轨道方程为质点轨道方程为2182xy 质点的轨道曲线如图所示质点的轨道曲线如图所示)18, 0()0 , 6(jti tr)218(2

12、2 （3）质点的速度为质点的速度为j tirv42 02)0()2( rrv jji18)2218(22212 )sm(421 ji（5）质点的加速度为质点的加速度为)sm(42 jra （4）前前2s内的平均速度为内的平均速度为2.已知质点在已知质点在 时刻位于时刻位于 点点处，且以初速处，且以初速 加速度加速度 运动运动. . 试求：试求：（1）质点在任意时刻的速度；质点在任意时刻的速度；（2）质点的运动方程质点的运动方程. . 0 t)m(320jir , 00 v)sm(432 jia解解 （1）由题意可知由题意可知 jidtvd43 dtjivd43 即即对其两边取积分有对其两边取积

13、分有 0034vvtdvij dt所以质点在任意时刻的速度为所以质点在任意时刻的速度为j ti tv43 j ti tv43 （2）因为质点的速度为因为质点的速度为j ti tdtrd43 即即 dtj ti trd43 亦亦即即对其两边取积分有对其两边取积分有 trrdtj ti trd0430202322rt ijrt所以jir320 代代入入故质点的运动方程为故质点的运动方程为2232232rtitj1.3.1 直线运动的定义直线运动的定义1.3 直线运动直线运动1.3.2 直线运动的运动学公式直线运动的运动学公式1.3.3 例题分析例题分析xo1.3.1 直线运动的定义直线运动的定义)

14、(xP 质点在一条确定的直线上的运动称之为质点在一条确定的直线上的运动称之为直线运动直线运动. . 质点质点P 的位置矢量为的位置矢量为 i xr 质点质点P 的位移为的位移为 i xr 质点质点P 的速度为的速度为 idtdxv 质点质点P 的加速度为的加速度为 idtxda22 矢量矢量标量？标量？1.3.2 直线运动的运动学公式直线运动的运动学公式 假定质点沿假定质点沿x 轴作轴作匀加速匀加速直线运动，加直线运动，加速度速度a 不随时间变化，初位置为不随时间变化，初位置为 ，初速度，初速度为为 ，则，则 0 x0vdtdva adtdv tvvadtdv00atvv 0atvdtdx 0

15、又又 dtatvdx 0 txxdtatvdx00020021attvxx )(20202xxavv 由直线运动速度公式和位移公式由直线运动速度公式和位移公式消去时消去时间参数间参数可得可得例例5、设某质点、设某质点沿沿x轴运动轴运动，在，在t=0时的速度为时的速度为v0，其加速度与速，其加速度与速度的大小成正比而度的大小成正比而方向相反方向相反，比例系数为，比例系数为k(k0)，试求速度随，试求速度随时间变化的关系式。时间变化的关系式。 解：由题意及加速度的定义式，可知解：由题意及加速度的定义式，可知 dtdvkva 因而因而 kdtvdv 积分积分 tvvkdtvdv00得得 ktvv 0ln所以所以 ktevv 0速度的方向保持不变，速度的方向保持不变，但大小随时间增大而减但大小随时间增大而减小，直到速度小，直到速度等于零等于零为止（反向？）为止（反向？）。 例题分析例题分