电磁场理论复习课

1、第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波1第一章内容第一章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 常用正交曲线坐标系常用正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波2（1 1） 矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）zzyyxxBABABAABBAcos1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 与与 的夹角的夹角ABA B A B 0BA/ A BAB1.1 矢量代数矢量代数第第2 2章章 电磁场与电磁

2、波电磁场与电磁波3（2）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAsinABBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积AB用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为ABBABAABBA若若 ，则，则BA/0BA若若 ，则，则方向：右手螺旋法则方向：右手螺旋法则数值大小：数值大小：第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波41、圆柱面坐标系、圆柱面坐标系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐标变量坐标变量zee

3、e,坐标单位矢量坐标单位矢量zeerz位置矢量位置矢量zVdddd体积元体积元面元矢量面元矢量1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波5ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSrdddddrrelleSr2、球面坐标系、球面坐标系球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元, r坐标变量坐标变量eeer,坐标单位矢量坐标单位矢量rerr位置矢量位置矢量dddsind2rrV 体积元体积元面元矢量面元矢量第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波63、坐标单位矢量之间的关系、坐标单

4、位矢量之间的关系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系zereeecossincossinsincos0直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系xeyesinsinsincoscossinoz单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 oxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 xeyeeezeeree第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波7梯度的表达式梯度的表达式：zueueueuz1圆柱面坐标系圆柱面坐标系 ureur

5、erueursin11球面坐标系球面坐标系zueyuexueuzyx直角面坐标系直角面坐标系 1、标量场的梯度标量场的梯度（ 或或 ）graduu意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向|maxlueunnuel1.3 标量场的梯度标量场的梯度第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波81、矢量场的通量、矢量场的通量 dddnSSFSF eS通量的概念通量的概念：ddnSe S其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；dSddnF e

6、 S穿过面积元穿过面积元 的通量；的通量； 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：外，矢量场对闭合曲面的通量是：ddnSSFSF eS),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波90通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出0有净的矢有净的矢量线进入量线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的

7、通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波102、矢量场的散度、矢量场的散度0( , , ) d( , , )limSVF x y zSF x y zV 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：用极限方法得到这一关系

8、：称为矢量场的称为矢量场的散度散度。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。体积之比的极限。F第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波11柱面坐标系柱面坐标系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球面坐标系球面坐标系zFyFxFFzyx直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波123、散度定理（高斯定理）、散度定理（高斯定理）VSVFSFdd体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间

9、任意闭合曲面的从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广关系，在电磁理论中有着广泛的应用。泛的应用。证明证明第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波131.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发

10、的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。零。第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波14q 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无无旋场旋场，又称为，又称为保守场保守场。q 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡

11、源。电流是。电流是磁场的旋涡源。磁场的旋涡源。ClzyxFd),(环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波15 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法线，曲面的法线方向方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0时，极限时，极限01rotlimdCnSFFlS称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向n的的环流面密度环流面密度。 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路

12、所围曲面内旋涡源的矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。量场的旋度。 SCMFn特点特点：其值与点：其值与点M 处的方向处的方向n有关。有关。2、矢量场的旋度、矢量场的旋度（ ） F （1）环流面密度）环流面密度第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波16概念概念：矢量场在矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面点的环流面 密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积

13、元的法 线方向，即线方向，即nMaxrotnFeF物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。（2）矢量场的旋度）矢量场的旋度第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波17zyxzyxxyzzxyyzxFFFzyxeeeyFxFexFzFezFyFeF旋度的计算公式旋度的计算公式: :zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12直角坐标系直角坐标系圆柱面坐标系圆柱面坐标系球面坐标系球面坐标系第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波18SCSFlFdd3、Stokes定理定理 Stokes定理是闭合曲线积定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换分与曲面

14、积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即证明证明第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波194、散度和旋度的区别、散度和旋度的区别 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波201、矢量场的源、矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢

15、量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度； 旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋

16、度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波212、矢量场按源的分类、矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场0dClF性质性质：，线积分与路径无关，是保守场。线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，0F无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场0EEuF()0Fu 第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波22（2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：0dSSF0 F无散场可以表示

17、为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场AB0BAF()0FA 第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波23（3 3）无旋、无散场）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）0F ()0u Fu 02 u0F 第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波241.7 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算2u概念概念：2()uu 2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐标系直角坐标系计算公式计算公式：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrr

18、rrr 圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波25 2.1 真空中静电场和恒定磁场的基本规律真空中静电场和恒定磁场的基本规律2.2 媒质的电磁特性媒质的电磁特性2.3 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流2.4 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组2.5 电磁场的边界条件电磁场的边界条件第二章内容第二章内容第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波262.1 真空中静电场和恒定磁场的基本规律真空中静电场和恒定磁场的基本规律 0( )( )rE rVSVrSrE)d(1d)(0高斯定理表明高斯定理表明：静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止静电场是有

19、源场，电场线起始于正电荷，终止 于负电荷。于负电荷。静电场的散度静电场的散度（微分形式）（微分形式）1. 静电场散度与高斯定理静电场散度与高斯定理 对上式两边取体积分，并利用散度定理可以得到静电场的高对上式两边取体积分，并利用散度定理可以得到静电场的高斯定理斯定理（积分形式）（积分形式）表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关；表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关；静电荷是静电场的通量源。电荷密度为正，称为发散源；为负，静电荷是静电场的通量源。电荷密度为正，称为发散源；为负，称为汇聚源。称为汇聚源。 若电荷分布具有一定对称性，可利用高斯定理方便的计算若电荷分布具有一定对

20、称性，可利用高斯定理方便的计算电场强度。电场强度。第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波27( )0E r ( ) d0CE rl环路定理表明环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径无关。路径无关。静电场的旋度静电场的旋度（微分形式）（微分形式）2. 静电场旋度与环路定理静电场旋度与环路定理 对任意曲面求积分，并利用斯托克斯定理，可以得到静对任意曲面求积分，并利用斯托克斯定理，可以得到静电场的环路定理电场的环路定理（积分形式）（积分形式）第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波28 当电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定

21、理计当电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。算电场强度。 3. 利用高斯定理计算电场强度利用高斯定理计算电场强度具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解： 球对称分布球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。均匀带电球体均匀带电球体带电球壳带电球壳多层同心球壳多层同心球壳第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波29 无限大平面电荷无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。：如无限大的均匀带电平面、平板等。 轴对称分布轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等

22、。：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。( (a a) )( (b b) )第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波30 例例2.2.3 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为为a ，电，电 荷密度为荷密度为 0 。 解解：（1）球外某点的场强球外某点的场强0300341daqSES（2）求球体内一点的场强）求球体内一点的场强VSEVoSd1d0ar0rrEa20303raE332343414raqEroorE30（r a时时 rIBIrB2200写成矢量形式为写成矢量形式为 arrIearaIreB,2,2020第第2 2章章 电

23、磁场与电磁波电磁场与电磁波342.2 媒质的电磁特性媒质的电磁特性 1. 电介质的极化现象电介质的极化现象 电介质的分子分为无极分子和有电介质的分子分为无极分子和有极分子。在电场作用下，介质中无极极分子。在电场作用下，介质中无极分子的束缚电荷发生位移，有极分子分子的束缚电荷发生位移，有极分子的固有电偶极矩的取向趋于电场方向，的固有电偶极矩的取向趋于电场方向，这种现象称为电介质的极化。通常，这种现象称为电介质的极化。通常，无极分子的极化称为位移极化，有极无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。分子的极化称为取向极化。无极分子无极分子有极分子有极分子有外加电场有外加电场E2.4.1

24、 电介质的极化电介质的极化 极化强度极化强度第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波352. 极化强度矢量极化强度矢量)mC(2P0limiVpPnpV 极化强度矢量极化强度矢量 是描述介质极化程是描述介质极化程 度的物理量，定义为度的物理量，定义为PP 的物理意义：单位体积内分子电偶的物理意义：单位体积内分子电偶 极矩的矢量和。极矩的矢量和。 在线性、各向同性的电介质中，在线性、各向同性的电介质中， 与电场强度成正比，即与电场强度成正比，即P0ePE (0)e 电介质的电极化率电介质的电极化率 EpnPipp 分子的平均电偶极矩分子的平均电偶极矩 iiidqp第第2 2章章 电磁场与电磁

25、波电磁场与电磁波36 由于极化，正负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净极由于极化，正负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷。化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷。3. 极化电荷极化电荷( 1 ) 极化电荷体密度极化电荷体密度 在电介质内任意作一闭合面在电介质内任意作一闭合面S，只只有电偶极矩穿过有电偶极矩穿过S 的分子对的分子对 S 内的极化内的极化电荷有贡献。由于负电荷位于斜柱体内电荷有贡献。由于负电荷位于斜柱体内的电偶极矩才穿过小面元的电偶极矩才穿过小面元 dS ，则穿出，则穿出面积元面积元dS的正电荷为：的正电荷为：与之

26、相对应，留在闭合面与之相对应，留在闭合面S内的极化电荷内的极化电荷 量量 为为PqVSPVPSPqddPPE SPSdVdSePSdPSddNqn第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波37( 2 ) 极化电荷面密度极化电荷面密度SPnP e 紧贴电介质表面取如图所示的闭曲面，则穿过面积元紧贴电介质表面取如图所示的闭曲面，则穿过面积元 的的极化电荷为极化电荷为dS故得到电介质表面的极化电荷面密度为故得到电介质表面的极化电荷面密度为nedSSPdSePSdPSddNqn第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波384. 电位移矢量电位移矢量 介质中的高斯定理介质中的高斯定理VpSVSE)d

27、(1d0pE0自由电荷和极化电荷共同激发的结果自由电荷和极化电荷共同激发的结果 介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，应用高斯定理得到：加，应用高斯定理得到：第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波39PED0任意闭合曲面电位移矢任意闭合曲面电位移矢量量 D 的通量等于该曲面的通量等于该曲面包含自由电荷的代数和包含自由电荷的代数和 小结小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为 0EP引入电位移矢量（单位为引入电位移矢量（单位为C/m2 ) )pP 将极化电荷体密度表达式将极化电

28、荷体密度表达式 代入代入 ，有，有0PED则有则有 VSVSDdd其积分形式为其积分形式为 dd( ) d0SVCDSVE rl（积分形式）（积分形式） 0DE （微分形式），（微分形式）， 第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波40EPe0EEEDre00)1 (在这种情况下在这种情况下00)1 (reer1其中其中 称为介质的介电常数，称为介质的介电常数， 称为介称为介质的相对介电常数（无量纲）。质的相对介电常数（无量纲）。5. 电介质的本构关系电介质的本构关系E 极化强度极化强度 与电场强度与电场强度 之间的关系由介质的性质决定。之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质，对

29、于线性各向同性介质， 和和 有简单的线性关系有简单的线性关系PEP第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波41例题：半径为例题：半径为a的球形区域充满分布不均匀的体密度电荷，的球形区域充满分布不均匀的体密度电荷，设其密度为设其密度为(r),(r),若已知电场分布，试求电荷的体密度。若已知电场分布，试求电荷的体密度。arrAaaearArreErr,)(),(24523)(1)()(2200rErdrdrrErar )5()(1)(2023220ArrArrrdrdrrar 0)(1)(245220rAaardrdrr解：由高斯定理的微分形式解：由高斯定理的微分形式 ，可得：，可得： 已知：

30、已知：所以：所以：可见，体密度电荷只分布在球形区域内，球外无电荷分布可见，体密度电荷只分布在球形区域内，球外无电荷分布 第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波42例题：半径为例题：半径为a，介电常数为，介电常数为的球形电介质内极化强度已知。的球形电介质内极化强度已知。（1）计算极化电荷的体密度和面密度（）计算极化电荷的体密度和面密度（2）计算电介质球内）计算电介质球内的自由电荷体密度。的自由电荷体密度。rkePr22222)(1)(1rkrkrdrdrPrdrdrPrPakerkeeParrrnSP|解：解：（1）已知）已知 电介质球内的极化电荷体密度为电介质球内的极化电荷体密度为在在r

31、a处极化电荷面密度为处极化电荷面密度为第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波43PED0PDPEPED000)(PD)1 (0 D20011rkPD（2）因）因因因 故电介质球内的自由电荷体密度为故电介质球内的自由电荷体密度为第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波442.4.2 磁介质的磁化磁介质的磁化 磁场强度磁场强度1. 磁介质的磁化磁介质的磁化 介质中分子或原子内的电子运动形介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，形成分子磁矩成分子电流，形成分子磁矩无外加磁场无外加磁场外加磁场外加磁场B 在外磁场作用下，分子磁矩定向在外磁场作用下，分子磁矩定向排列，宏观上显示出磁性，这种现

32、象排列，宏观上显示出磁性，这种现象称为磁介质的称为磁介质的磁化磁化。mpi S 无外磁场作用时，分子磁矩不规无外磁场作用时，分子磁矩不规则排列，宏观上不显磁性。则排列，宏观上不显磁性。mpi S 第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波450limmmVpMnpVB2. 磁化强度矢量磁化强度矢量M 磁化强度磁化强度 是描述磁介质磁化是描述磁介质磁化程度的物理量，定义为单位体积中程度的物理量，定义为单位体积中的分子磁矩的矢量和，即的分子磁矩的矢量和，即 MmMnp单位为单位为A/m。第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波463. 磁化电流磁化电流 磁介质被磁化后，在其内部磁介质被磁化后

33、，在其内部与表面上可能出现宏观的电流分与表面上可能出现宏观的电流分布，称为磁化电流。布，称为磁化电流。dddMMCCSIIMlMS 考察穿过任意围线考察穿过任意围线C所围曲面所围曲面S的电流。只有那些环绕周界曲的电流。只有那些环绕周界曲线线C的分子电流才对磁化电流有贡献。与线元的分子电流才对磁化电流有贡献。与线元dl相交链的分子电相交链的分子电流，中心位于如图所示的斜圆柱内，所交链的电流流，中心位于如图所示的斜圆柱内，所交链的电流ddddMmIni SlnplMlBCdldlmpS穿过曲面穿过曲面S的磁化电流为的磁化电流为（1 1） 磁化电流体密度磁化电流体密度MJ第第2 2章章 电磁场与电磁

34、波电磁场与电磁波47MJMdMMSIJS由由 ，即得到磁化电流体密度，即得到磁化电流体密度ddddMttIMlM elMl 在紧贴磁介质表面取一长度元在紧贴磁介质表面取一长度元d dl，与此交链的磁化电流为，与此交链的磁化电流为（2 2） 磁化电流面密度磁化电流面密度SMJSMtJM则则即即SMnJMe的切向分量的切向分量MSMJneMld磁介质表面的切向单位矢量磁介质表面的切向单位矢量第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波484. 磁场强度磁场强度 介质中安培环路定理介质中安培环路定理 )(0MJJBSMCSJJlBd)(d0MJJ、分别是传导电流密度和磁化电流密度。分别是传导电流密度

35、和磁化电流密度。 将磁化电流体密度表达式将磁化电流体密度表达式 代入代入 ， 有有MJM)(0MJJBJMB)(0)(0MHB, 即即 外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应强度强度B 应是传导电流和磁化电流共同激励的结果：应是传导电流和磁化电流共同激励的结果： MBH0定义磁场强度定义磁场强度 为：为：H第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波49)()(rJrHSCSrJlrHd)(d)(0)(rB0d)(SS

36、rB则得到介质中的安培环路定理为：则得到介质中的安培环路定理为：磁通连续性定理为磁通连续性定理为小结小结：磁介质中的基本方程为：磁介质中的基本方程为 （积分形式）（积分形式） （微分形式）（微分形式）0)()()(rBrJrH0d)(d)(d)(SSCSrBSrJlrH第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波50HMmHHBm)1 (0m其中，其中， 称为介质的磁化率（也称为磁化系数）。称为介质的磁化率（也称为磁化系数）。这种情况下这种情况下00)1 (rmmr1其中其中 称为介质的磁导率，称为介质的磁导率， 称为介质称为介质的相对磁导率（无量纲）。的相对磁导率（无量纲）。5. 磁介质的本

37、构关系磁介质的本构关系 磁化强度磁化强度 和磁场强度和磁场强度 之间的关系由磁介质的物理性质决之间的关系由磁介质的物理性质决定，对于线性各向同性介质，定，对于线性各向同性介质， 与与 之间存在简单的线性关系：之间存在简单的线性关系：MHHM第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波512.4.3 媒质的传导特性媒质的传导特性 对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢量量 J 和电场强度和电场强度 E 成正比，表示为成正比，表示为EJ这就是欧姆定律的微分形式。式中的比例系数这就是欧姆定律的微分形式。式中的比例系数 称为媒质的电称为

38、媒质的电导率，单位是导率，单位是S/m（西门子（西门子/米）。米）。晶格晶格带电粒子带电粒子 存在可以自由移动带电粒子的介质称为存在可以自由移动带电粒子的介质称为导电媒质导电媒质。在外场作。在外场作用下，导电媒质中将形成定向移动电流。用下，导电媒质中将形成定向移动电流。 第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波522.3 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流2.5.1 电磁感应定律电磁感应定律 电磁感应定律电磁感应定律 揭示时变磁场产生电场揭示时变磁场产生电场 位移电流位移电流 揭示时变电场产生磁场揭示时变电场产生磁场 重要结论重要结论： 在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一

39、在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一 的电磁场。的电磁场。1. 法拉弟电磁感应定律的表述法拉弟电磁感应定律的表述 ddddCSE lBSt 第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波53 感应电场是由变化的磁场所激发的电场；感应电场是由变化的磁场所激发的电场； 感应电场是有旋场；感应电场是有旋场； 对感应电场的讨论对感应电场的讨论：相应的微分形式为相应的微分形式为 若回路不变，磁场随时间变化若回路不变，磁场随时间变化ddddSSBBSStt磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有BEt ddCSBE lSt 第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与

40、电磁波542.5.2 位移电流位移电流1.1.全电流定律：全电流定律：tDJH 微分形式微分形式StDJlHCsd)(d 积分形式积分形式 全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。关系。第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波55tDJd2. 位移电流密度位移电流密度q 电位移矢量随时间的变化率，能像电电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称流一样产生磁场，故称“位移电流位移电流”。注注：在绝缘介质中，无传

41、导电流，但有位移电流；在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流； 在理想导体中，无位移电流，但有传导电流；在理想导体中，无位移电流，但有传导电流； 在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。q 位移电流只表示电场的变化率，与传位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。导电流不同，它不产生热效应。q 位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。dJ第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波5

42、62.4 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组d() dddd0ddCSCSSSVDHlJStBElStBSDSV 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场 的基本方程的基本方程 2.6.1 2.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组的积分形式第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波57DBtBEtDJH02.6.2 2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦第一方程，表明传导电流麦克斯韦第一方程，表明传导电流和位移电流都能产生时变磁场。该和位移电流都能产生时变磁场。该式揭示时变电场产生时变磁场。式

43、揭示时变电场产生时变磁场。麦克斯韦第二方程，表麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场明变化的磁场产生电场麦克斯韦第三方程表明磁场是麦克斯韦第三方程表明磁场是无源场，磁力线总是闭合曲线无源场，磁力线总是闭合曲线麦克斯韦第四方程，麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场表明电荷产生电场第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波582.6.3 媒质的本构关系媒质的本构关系 EDHBEJ)(0)()()(EHHtEEtEH代入麦克斯韦方程组中，有：代入麦克斯韦方程组中，有：0/EHEtHEtHE 限定形式的麦克斯韦方程限定形式的麦克斯韦方程（均匀媒质）（均匀媒质）各向同性线性媒质的本构关系为各向同性线性

44、媒质的本构关系为第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波59q 时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发互为激发源，相互激发。q 时变电磁场的电场和磁场不再时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构相互独立，而是相互关联，构成一个整体成一个整体 电磁场。电电磁场。电场和磁场分别是电磁场的两个场和磁场分别是电磁场的两个分量。分量。q 在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度在

45、离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。磁振荡并传播，这就是电磁波。第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波60 练习题：磁感应强度B=ex3x + ey (3y2z)ez (y + mz)，式中的m值应为( ) 第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波61SVSCSCSdVSDSBStBlEStDJlHd0dddd)(d2.7.1 边界条件一般表达式边界条件一般表达式SnnnSnDDeBBeEEeJHHe)(0)(0)()(2121212

46、1ne媒质媒质1 1媒质媒质2 2 分界面上的分界面上的自由自由电荷面密度电荷面密度 分界面上的分界面上的传传导导电流面密度电流面密度 e en n方向：方向：2 1 2 1 2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件ne媒质媒质1 1媒质媒质2 2第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波62 两种理想介质分界面上的边界条件两种理想介质分界面上的边界条件0)(0)(0)(0)(21212121HHeEEeBBeDDennnn2.7.2 两种常见的情况两种常见的情况 在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，即在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，即JS0、S0，故，故 的法向

47、分量连续的法向分量连续D 的法向分量连续的法向分量连续B 的切向分量连续的切向分量连续E 的切向分量连续的切向分量连续H第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波632. 理想导体表面上的边界条件理想导体表面上的边界条件SnnnSnJHeEeBeDe00 理想导体表面上的边界条件理想导体表面上的边界条件 设媒质设媒质2为理想导体，则为理想导体，则E2、D2、H2、B2均为零，故均为零，故 理想导体理想导体：电导率为无限大的导电媒质：电导率为无限大的导电媒质 特征特征：电磁场不可能进入理想导体内：电磁场不可能进入理想导体内理想导体理想导体DSJH理想导体表面上的电荷密度等于理想导体表面上的电荷

48、密度等于 的法向分量的法向分量D理想导体表面上理想导体表面上 的法向分量为的法向分量为0 0B理想导体表面上理想导体表面上 的切向分量为的切向分量为0 0E理想导体表面上的电流密度等于理想导体表面上的电流密度等于 的切向分量的切向分量H第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波64第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波65 本章内容本章内容 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 镜像法镜像法 3.3 分离变量法分离变量法 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统

49、一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波663.1 静电场分析静电场分析 学习内容学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容导体系统的电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波672. 边界条件边界条件0ED微分形式：微分形式：ED本构关系：本构关系：1. 基本方程基本方程0)()(2121EEeDDe

50、nSn0ddlEqSDCS积分形式：积分形式：0)(0)(2121EEeDDenn02121ttSnnEEDD或或若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即S S0 0，则，则ttnnEEDD2121或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波68介质介质2 2介质介质1 121212E1Ene 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 0EeDenSn0tSnED或或 导体表面的边界条件导体表面的边界条件第第2 2章章 电磁场与电磁波

51、电磁场与电磁波690E由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。1. 电位函数的定义电位函数的定义E3.1.2 电位函数电位函数第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波703. 电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有ldE将将ddddEllll 上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得)()(ddQPlEQPQPP、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功( )ddQPPPEl 若选无穷远处为参考点，则若选无

52、穷远处为参考点，则第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波71在均匀介质中，有在均匀介质中，有5. 电位的微分方程电位的微分方程2在无源区域，在无源区域，0EED02标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波726. 静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为别为 1和和 2。当两点间距离当两点间距离l0时时 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即 导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：0dlim21021PP

53、llESnDDe)(21D由由 和和12媒质媒质2媒质媒质121l2P1P0S2121nn常数，常数，Sn 12Snn1122第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波73 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷储存电荷能力的物理量。能力的物理量。 孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即qC 3.1.3 导体的导体的电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的导的导 体组成的电容器，其电容为体组成的电容器，其电容为12qqCU 电容

54、的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波74 (1) 假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和 -q ； (2) 计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E； 计算电容的步骤：计算电容的步骤：UqC (4) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。21dlEU (3) 由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差；第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波75 解解

55、：设内导体的电荷为设内导体的电荷为q q，则由高斯定理可求得内外导体间，则由高斯定理可求得内外导体间的电场的电场44rr22qqDe,EerrababqbaqrEUba004)11(4d同心导体间的电压同心导体间的电压ababUqC04球形电容器的电容球形电容器的电容aC04当当 时，时，babo 例例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为其间填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波763.1.

56、4 静电场的能量静电场的能量12eWq静电场的能量密度静电场的能量密度VWVed21SWSSed21故体分布电荷的电场能量为故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，对于面分布电荷，电场能量为电场能量为第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波772. 电场能量密度电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。EDwe21电场能量密度：电场能量密度：1d2eVWD E V电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间2111ddd222eVVVWD E VE E VEV 对于线性、

57、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有2111222ewD EE EE 第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波78 例例 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，的电荷，试求静电场能量。试求静电场能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解解： 方法一方法一，利用利用 计算计算 VeVEDWd21 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVed21d21d2121220210第第2 2章章 电磁场与电磁

58、波电磁场与电磁波79)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 计算计算 VeVWd21 先求出电位分布先求出电位分布 故故5202022021154d4)3(221d21arrraVWaVe第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波80练习练习2：同心导体球形电容器的内球半径为：同心导体球形电容器的内球半径为a，外球半径为，外球半径为b；内、；内、外球之间的下半球填充介电常数为外球之间的下半球填充介电常数为的电介质，上半部分为空气；的电介质，上半部分为空气；内球壳上带电荷内球壳上带电荷q，如图所示。求：，如图所示。求：(1)空

59、间的电场分布；空间的电场分布；(2)空空间的电位分布；间的电位分布；(3)电容器的电容；电容器的电容；(4)整个系统的静电能量。整个系统的静电能量。1题图题图练习练习1：如图所示，一个半径为：如图所示，一个半径为 a，带电荷量为，带电荷量为q的导体球，的导体球，其球心位于两种介质分界面上，此两种介质的介电常数分其球心位于两种介质分界面上，此两种介质的介电常数分别为别为1和和2，分界面为无限大平面。求：，分界面为无限大平面。求：(1)导体球的电容；导体球的电容；(2) 总的静电能量。总的静电能量。2题图题图第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波811.解：(1)由于电场沿径向分布，根据边界

60、条件，在两种介质的分界面上E1t= E2t，故有E1= E2。由高斯定理得到221222rErEq2122qEr 21212122aaqqaEdrdrra 即导体球的电位为第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波82 122qCaa 212124eqWqaa故导体球的电容为（2）总的静电能量为222212001222222200122121sin221sin224eaaqWrdrd drqrdrd drqa 或者第第2 2章章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波832.解：(1)由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上E1t= E2t，故有E1= E2。由高斯定理得到221222r