数学建模培训(1)

1、数学模型数学模型Mathematical Modeling主讲教师：主讲教师： 姜忠义姜忠义 E-mail: Telamp; 参考书目参考书目 (Reference)数学建模案例精选数学建模案例精选 朱道元朱道元 （科学出版社）（科学出版社）数学模型数学模型 姜启源等姜启源等 （高教出版社）（高教出版社）数学模型习题参考解答数学模型习题参考解答 姜启源等姜启源等 （高教出版社）（高教出版社）Matlab 数学实验数学实验 胡良剑等胡良剑等 编著编著 (高等教育出版社高等教育出版社)大学数学实验大学数学实验 姜启源等姜启源等 （清华大学出版社）（清华大学出版社）工程数学

2、学报工程数学学报 20012007（第一期）（第一期）CONTENTSCONTENTS1 Mathematical Model Mathematical Modeling2 China Undergraduates Mathematical Contest in Modeling3 初等模型初等模型4 线性规划线性规划5 微分方程微分方程6 层次分析层次分析玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物

3、的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征一、数学建模一、数学建模常见的模型常见的模型1.1 1.1 数学模型数学模型你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/ /小时小时. .甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时

4、，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少?x =20y =5求解求解航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米

5、/小时）。小时）。I数学模型 (Mathematical Model) 和数学建模（Mathematical Modeling)数学模型数学模型: :对于一个现实对象对象，为了一个特定目的目的， 根据其内在规律规律，作出必要的简化假设假设， 运用适当的数学工具数学工具，得到的一个数学结构数学结构。数学建模数学建模：建立数学模型的全过程全过程（包括准备、建立、求解、检验、分析等）。Motivation,Formulation,Solution,Verification - 林家翘 （C. C. Lin）模型模型: :对现实对象抽象抽象、简化简化、突出本质的突出本质的描述。1.21.2数学建模的一

6、般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的问题问题模模型型假假设设针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥想像力发挥想像力使用类比法使用类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数

7、学建模的一般步骤数学建模的一般步骤根据建模目的，建立数学模型根据建模目的，建立数学模型模型模型求解求解各种数学方法、各种数学方法、如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检验模型的合理性、适用性模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤1.4 数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证( (归纳归纳) )

8、( (演绎演绎) )表述表述求解求解解释解释验证验证 根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学问题题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答实践实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论理论实践实践二、全国大学生数学建模竞赛（二、全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）China Undergraduates Mathematical Contest in Modeling 1992 1992年年

9、, ,中国工业与应用数学学会中国工业与应用数学学会(CSIAM)(CSIAM)组织第一次竞赛组织第一次竞赛 1994 1994年年, ,由教育部高教司和由教育部高教司和CSIAMCSIAM共同举办，每年一次共同举办，每年一次(9 (9月月) ) 全国高校中规模最大的课外科技活动全国高校中规模最大的课外科技活动 每年赛题和优秀答卷刊登于次年每年赛题和优秀答卷刊登于次年“数学的实践与认识数学的实践与认识”第第1 1期；期；20012001年起刊登于次年年起刊登于次年“工程数学学报工程数学学报”第第1 1期期 全国竞赛组委会设在清华大学数学科学系（全国竞赛组委会设在清华大学数学科学系（1000841

10、00084） 网址：网址：http:/ 或或 http:/ 2.1数学建模竞赛数学建模竞赛 (Mathematical Contest in Modeling)内容 赛题：工程技术、管理科学中经过简化的问题赛题：工程技术、管理科学中经过简化的问题 答卷：一篇包含模型假设、建立、求解、方法设计和答卷：一篇包含模型假设、建立、求解、方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文形式 3 3名大学生组队，在名大学生组队，在3 3天内完成的通讯比赛天内完成的通讯比赛 可使用任何可使用任何“死死”材料（图书、计算机、软件、互材料（图书、计算机、

11、软件、互联网等），但不得与队外任何人讨论联网等），但不得与队外任何人讨论宗旨创新意识创新意识 团队精神团队精神 重在参与重在参与 公平竞争公平竞争标准假设的合理性，建模的创造性，结果的正假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰程度确性，表述的清晰程度l运用学过的数学知识和计算机（包括选择合运用学过的数学知识和计算机（包括选择合适的数学软件）分析和解决实际问题的能力适的数学软件）分析和解决实际问题的能力l面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和面对复杂事物的想象力、洞察力、创造力和独立进行研究的能力独立进行研究的能力l关心国家经济建设的意识和理论联系实际的学风关心国家经济建设的意识和理

12、论联系实际的学风l团结合作精神和进行协调的组织能力团结合作精神和进行协调的组织能力l勇于参与的竞争意识和奋力攻关的顽强意志勇于参与的竞争意识和奋力攻关的顽强意志l查阅文献、收集资料及撰写科技论文的表达能力查阅文献、收集资料及撰写科技论文的表达能力2.2数学建模竞赛培养创新精神，提高综合素质数学建模竞赛培养创新精神，提高综合素质2.3 CUMCM命题思路命题思路 实际背景实际背景/ /时代特征时代特征 ：激发大学生们去思考一些问题：激发大学生们去思考一些问题 综合性：开拓知识结构综合性：开拓知识结构不是一个纯粹的单一问题不是一个纯粹的单一问题（如需要（如需要应用统计、优化知识应用统计、优化知识

13、和和 实际调研、实际调研、文献检索、计算机应用、论文写作文献检索、计算机应用、论文写作等能力）等能力） 开放性：较大的灵活性，供参赛者发挥其创造能力开放性：较大的灵活性，供参赛者发挥其创造能力A A题题 连续模型，连续模型，B B题题 离散模型，但不局限于此离散模型，但不局限于此2.4 CUMCM评阅标准评阅标准表述清晰：摘要提纲挈领表述清晰：摘要提纲挈领 表达严谨、简捷，思路清新表达严谨、简捷，思路清新 不欣赏罗列一系列模型，又不作评价不欣赏罗列一系列模型，又不作评价 格式符合规范，反对暴露身份格式符合规范，反对暴露身份创造性：不强调与参考答案的一致性和结果的精度创造性：不强调与参考答案的一

14、致性和结果的精度 假设的合理性，建模的创造性，假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰程度结果的正确性，表述的清晰程度正确性：方法好的，结果一般比较好正确性：方法好的，结果一般比较好, , 但不一定是最好的但不一定是最好的2.5 CUMCM评阅标准评阅标准: 一些问题一些问题l有的论文过于简单，该交代的内容省略了，难以看懂有的论文过于简单，该交代的内容省略了，难以看懂l有的队罗列一系列模型或假设，又不作比较、评价，有的队罗列一系列模型或假设，又不作比较、评价，希望碰上参考答案，弄巧成拙希望碰上参考答案，弄巧成拙数学模型最好数学模型最好明确、合理、简洁；明确、合理、简洁；l有些论文不

15、给出明确的模型，只是根据赛题的情况，有些论文不给出明确的模型，只是根据赛题的情况，实际上是用实际上是用“凑凑”的方法给出结果，虽然结果大致是的方法给出结果，虽然结果大致是对的，没有一般性，不是数学建模的正确思路。对的，没有一般性，不是数学建模的正确思路。l有的论文参考文献不全，或引用他人结果不作交代有的论文参考文献不全，或引用他人结果不作交代2.6 数学建模竞赛期间的注意事项数学建模竞赛期间的注意事项 吃透题意，确定题目；吃透题意，确定题目； 查阅资料、实际调查要适度；查阅资料、实际调查要适度； 把握好用现成的模型和方法，与自己创新的模型和把握好用现成的模型和方法，与自己创新的模型和方法之间的

16、关系；方法之间的关系； 保证基本模型和求解的完成，在此之上完善改进；保证基本模型和求解的完成，在此之上完善改进； 根据建模的要求，可以增加、删除甚至修改题目的根据建模的要求，可以增加、删除甚至修改题目的条件；条件； 论文主体由一人完成，并早些开始写作。论文主体由一人完成，并早些开始写作。 抓住核心，重点突破；抓住核心，重点突破； 完整摘要摘要；问题提出问题提出（用自己的语言）；问题问题分析分析；模型假设模型假设；模型建立模型建立；模型求解模型求解（算法设计和计算机实现）；结果结果（数据、图形）；结果分析结果分析和检验和检验（如误差分析、统计检验、灵敏性检验）；优缺点优缺点，改进方向改进方向等；

17、参考文献参考文献；附录附录（程序、更多的计算结果、复杂的推导、证明等）；2.7 2.7 写好论文（答卷）的注意事项写好论文（答卷）的注意事项 摘要主要模型（名称）、方法和结果，解决了什么问题，有何特色等； 表述清晰、简明，给出数学符号的确切含义、模型假设的理由等。3.1 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题问题( (智力游戏智力游戏) ) 3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约, , 在河的任一在河的任一岸岸, , 一旦随从的人数比商一旦随从的人数比商人多人多, , 就杀人越货就杀人越货. .但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定. .商人们怎样才能安全过河商

18、人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人员船上的人员要求要求在安全的前提下在安全的前提下( (两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有经有限步使全体人员过河限步使全体人员过河. .河河小船小船(至多至多2人人)三、初等模型三、初等模型S=(x , y) 模型构成模型构成xk第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)过程的状态过程的状态S 允许状态集合

19、允许状态集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk , vk)决策决策D=(u , v) u+v=1, 2 允许允许决策决策集合集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S, 并并按按转移律转移律由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).多步决策多步决策问题问题x = 1,2x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3;y=模型求解模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态

20、状态s=(x,y) 16个格点个格点 10个个 点点允许决策允许决策 移动移动1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.s1sn+1D1,d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思考评注和思考规格化方法规格化方法, ,用计算机求解用计算机求解, ,易于推广易于推广 设置状态和决策设置状态和决策, ,确定状态转确定状态转移律移律, ,建立多步决策模型建立多步决策模型, ,是有效是有效地解决很广泛一类问题的方法地解决很广泛一类问题的方法考虑考虑4名商人各带一名商人各带一随从的情况随从的情况d1d11允许状态允许状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3,

21、 y=0,1,2,3; x=y=1,22d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数建建模模热传导定律热传导定律dTkQQ1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差, d材料厚度材料厚度, k热传导系数热传导系数3.2 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功

22、效dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气空气的热传导系数的热传导系数dTTklTTkdTTkQbbaa212111dlhkkhssdTTkQ,)2(212111建模建模记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q2dTTkQ221122d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比dlhkkhssQQ,22212121QQ k1=4 10-3 8 10-3, k2=2

23、.5 10-4, k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的减少量的减少量作最保守的估计，作最保守的估计，取取k1/k2 =16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模建模hQ1/Q24200.060.030.026模型应用模型应用取取 h=l/d=4, 则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，材料的单层玻璃窗相比，可减少可减少97%的热量损失。的热量损失。结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数导系数 k2 2, , 而这要求空气非常干燥、不流通。而这要求空气非常干燥、

24、不流通。房间通过天花板、墙壁房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。损失的热量更多。dlhhQQ,18121双层窗的功效不会如此之大双层窗的功效不会如此之大 现实世界中普遍存在着优化问题现实世界中普遍存在着优化问题 静态优化问题指最优解是数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数据建模目的确定恰当的目标函数 求解静态优化模型一般用微分法求解静态优化模型一般用微分法四、静态优化模型四、静态优化模型4.1 存贮模型存贮模型问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配线生产若干种产品

25、，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000元，贮存费元，贮存费每日每件每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要要 求求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准

26、备费、贮存费之间的关系。需求量、准备费、贮存费之间的关系。问题分析与思考问题分析与思考 每天生产一次每天生产一次，每次，每次100件，无贮存费，准备费件，无贮存费，准备费5000元。元。日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1元。元。 10天生产一次天生产一次，每次，每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计9500元。元。 50天生产一次天生产一次，每次，每次5000件，贮存费件，贮存费4900+4800+100 =122500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计12750

27、0元。元。平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元1010天生产一次平均每天费用最小吗天生产一次平均每天费用最小吗? ?每天费用每天费用5000元元 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思考问题分析与思考贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在最佳的

28、周期和产量，使总费用（二者之和）最小模模 型型 假假 设设1. 产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r；2. 每次生产准备费为每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2；3. T天生产一次（周期）天生产一次（周期）, 每次生产每次生产Q件，当贮存量件，当贮存量 为零时，为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；建建 模模 目目 的的设设 r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。使每天总费用的平均值最小。4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模模

29、 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用TQccC221每天总费用平均每天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）2)(21rTcTcTCTC离散问题连续化离散问题连续化AcdttqcT202)(一周期贮存费为一周期贮存费为A=QT/22221rTcc rTQ 模型求解模型求解Min2)(21rTcTcTC求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型分析模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型应用模型应用c1=500

30、0, c2=1，r=100T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答问题回答问题 经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式）212rccT 212crcrTQ每天需求量每天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1,每天每件贮存费每天每件贮存费 c2 ，用于订货、供应、存贮情形用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次天订货一次(周期周期), 每次订货每次订货Q件，当贮存量降到件，当贮存量降到零时，零时，Q件立即到货。件立即到货。

31、允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时原模型假设：贮存量降到零时Q件件立即生产出来立即生产出来(或立即到货或立即到货)现假设：允许缺货现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足缺货需补足T1rTQ AcdttqcT2021)(一周期一周期贮存费贮存费BcdttqcTT331)(一周期一周期缺货费缺货费周期周期T, t=T1贮存量降到零贮存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用rTQrTcrTQcT

32、cTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天总费用每天总费用平均值平均值（目标函数）（目标函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用Min),(QTC求求 T ,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ为与为与不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型相比，相比，T记作记作T , Q记作记作Q212rccT 212crcrTQ不允不允许缺许缺货模货模型型QQTT,332ccc 记记1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货3c332212cccrccT32

33、3212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型0qQ rT1tT注意：缺货需补足注意：缺货需补足Q 每周期初的存贮量每周期初的存贮量R每周期的生产量每周期的生产量R （或订货量）（或订货量）332212ccccrcTrRQ不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量(或订货量或订货量) QQR4.2 生猪的出售时机生猪的出售时机饲养场每天投入饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设元资金，用于饲料、人力、设备，备，估计估计可使可使80千克重的生猪体重增加千克重的生猪体重增加2公斤。公斤。问问题题市场价格目前为每千克市场价格目前为每千克8元，但是元，但是预测预测每天会降每天会降低低 0.1元，问生猪应

34、何时出售。元，问生猪应何时出售。如果如果估计估计和和预测预测有误差，对结果有何影响。有误差，对结果有何影响。分分析析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大trtgttQ4)80)(8()(求求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出售，可多得利润天后出售，可多得利润20元元建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80+rt出售价格出售价格 p=8-gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 Q=R-C=pw -C估计估计r=2，若当前出

35、售，利润为若当前出售，利润为808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640g=0.1敏感性分析敏感性分析研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 估计估计r=2， g=0.1rggrt2404 设设g=0.1不变不变 5 . 1,6040rrrtt 对对r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r 增加增加1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%。 1.522.5305101520rt敏感性分析敏感性分析估计估计r=2， g=0.1rggrt2404研究研

36、究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 设设r=2不变不变 15. 00,203gggtt 对对g的（相对）敏感度的（相对）敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生猪价格每天的降低量生猪价格每天的降低量g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。 0.060.040.160102030gt强健性分析强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由由 S(t,r)=3建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 , 再作计算。再作计算。wwpp,研究研究 r, g不是常数

37、时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响 (更现实更现实)w=80+rt w = w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gt p =p(t) 若若 (10%), 则则 （30%） 2 . 28 . 1 w137 t0)( tQ每天利润的增值每天利润的增值 每天投入的资金每天投入的资金 ttwtptQ4)()()(评注评注: 这个问题本身及建模过程都很简单这个问题本身及建模过程都很简单,着重掌握它的着重掌握它的敏感性分析和强健性分析敏感性分析和强健性分析.这种分析对于一个模型这种分析对于一个模型,是否真的能用是否真的能用,或或者用的效果如何者用的效果如何,是很重要的是很重要的.五

38、、数学规划模型五、数学规划模型 实际问题中实际问题中的优化模型的优化模型mixgtsxxxxfzMaxMiniTn, 2 , 1, 0)(. .),(),()(1或x决策变量决策变量f(x)目标函数目标函数gi(x) 0约束条件约束条件多元函数多元函数条件极值条件极值 决策变量个数决策变量个数n和和约束条件个数约束条件个数m较大较大 最优解在可行域最优解在可行域的边界上取得的边界上取得 数数学学规规划划线性规划线性规划非线性规划非线性规划整数规划整数规划重点在模型的建立和结果的分析重点在模型的建立和结果的分析企业生产计划企业生产计划5.1 奶制品的生产与销售奶制品的生产与销售 空间层次空间层次

39、工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。时间层次时间层次若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订制订单阶段生产计划单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。，否则应制订多阶段生产计划。本节课题本节课题例例1 加工奶制品的生产计划加工奶制品的

40、生产计划1桶桶牛奶牛奶 3公斤公斤A1 12小时小时 8小时小时 4公斤公斤A2 或或获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公斤公斤 50桶牛奶桶牛奶 时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A1 制订生产计划，使每天获利最大制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到的获利增加到 30元元/公斤，应否改变生产计划？公斤，应否改变生产计划？ 每天：每天：1桶桶牛奶牛奶 3公斤公斤A1 12小

41、时小时 8小时小时 4公斤公斤A2 或或获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公斤公斤 x1桶牛奶生产桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产桶牛奶生产A2 获利获利 243x1 获利获利 164 x2 原料供应原料供应 5021 xx劳动时间劳动时间 48081221 xx加工能力加工能力 10031x决策变量决策变量 目标函数目标函数 216472xxzMax每天获利每天获利约束条件约束条件非负约束非负约束 0,21xx线性线性规划规划模型模型(LP)时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A1 50桶牛奶桶牛奶 每天每天模型分析与假设模型分析与假设 比比例例性性 可可加加性性

42、 连续性连续性 xi对目标函数的对目标函数的“贡献贡献”与与xi取值取值成正比成正比 xi对约束条件的对约束条件的“贡献贡献”与与xi取值取值成正比成正比 xi对目标函数的对目标函数的“贡献贡献”与与xj取值取值无关无关 xi对约束条件的对约束条件的“贡献贡献”与与xj取值取值无关无关 xi取值连续取值连续 A1,A2每公斤的获利是与各每公斤的获利是与各自产量无关的常数自产量无关的常数每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的数量和的数量和时间是与各自产量无关的常数时间是与各自产量无关的常数A1,A2每公斤的获利是与相每公斤的获利是与相互产量无关的常数互产量无关的常数每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出

43、A1,A2的数量和的数量和时间是与相互产量无关的常数时间是与相互产量无关的常数加工加工A1,A2的牛奶桶数是实数的牛奶桶数是实数 线性规划模型线性规划模型?模型求解模型求解 (2(2维维) )图解法图解法 x1x20ABCDl1l2l3l4l55021 xx48081221 xx10031x0,21xx约约束束条条件件50:211 xxl480812:212 xxl1003:13xl0:, 0:2514xlxl216472xxzMax目标目标函数函数 Z=0Z=2400Z=3600z=c (常数常数) 等值线等值线c在在B(20,30)点得到最优解点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数目标函

44、数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。形的某个顶点取得。 模型求解模型求解 软件实现软件实现-Matlab %ch41.mC= - 72,64;A=1,1;12,8;3,0;B=50,480,100;x,fval=linprog(C,A,B,zeros(2,1)121212112726450128480. .3100,0Max zxxxxxxstxx x命令：命令：1 x=linprog (C,A,b,Aeq,beq,LB,UB) 2 x=linpro

45、g (C,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0)min. .zCXAXbstAeq XbeqLBXUBOptimization terminated.x = 20.0000 30.0000fval = -3.3600e+003(Lingo求解视频，点击播放求解视频，点击播放/暂停暂停)模型求解模型求解 软件实现软件实现-LINGO 9.0Model:max= 72*x1+64*x2;x1+x250;12*x1+8*x2480;3*x1100;end Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver i

46、terations: 2Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3360.000 1.0000002 0.000000 48.000003 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No20桶牛奶生产桶牛奶生产A1, 30桶生产桶生产A2，利润，利润3360元。元。 结果解释结果解释 原料无剩余原料无剩余时间无剩余时间无剩余加工能力剩余加

47、工能力剩余40三三种种资资源源“资源资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）剩余为零的约束为紧约束（有效约束） Model:max= 72*x1+64*x2;x1+x250;12*x1+8*x2480;3*x1100;end Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1

48、3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000结果解释结果解释 Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000

49、 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000最优解下最优解下“资源资源”增加增加1单位时单位时“效益效益”的增的增量量 原料增加原料增加1单位单位, 利润增长利润增长48 时间增加时间增加1单位单位, 利润增长利润增长2 加工能力增长不影响利润加工能力增长不影响利润影子价格影子价格 35元可买到元可买到1桶牛奶，要买吗？桶牛奶，要买吗？35 48, 应该买！应该买！ 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！元！RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ

50、COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFI

51、NITY 40.000000最优解不变时目标函最优解不变时目标函数系数允许变化范围数系数允许变化范围 x1系数范围系数范围(64,96) x2系数范围系数范围(48,72) A1获利增加到获利增加到 30元元/千克，应否改变生产计划千克，应否改变生产计划 x1系数由系数由24 3=72增加增加为为30 3=90，在在允许范围内允许范围内 不变！不变！(约束条件不变约束条件不变)LINGO结果解释结果解释 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWA

52、BLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000影子价格有意义时约束右端的允许变化范围影子价格有意义时约束右端的允许变化范围

53、 原料最多增加原料最多增加10 时间最多增加时间最多增加53 35元可买到元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？桶牛奶，每天最多买多少？最多买最多买10桶桶!(目标函数不变目标函数不变)例例2 奶制品的生产销售计划奶制品的生产销售计划 在例在例1基础上深加工基础上深加工1桶桶牛奶牛奶 3千克千克A1 12小时小时 8小时小时 4公斤公斤A2 或或获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公斤公斤 0.8千克千克B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克 0.75千克千克B22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克千克 制订生产计划，使每天净利润最大制订生产计划，使每天

54、净利润最大 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小时时间，应否投小时时间，应否投资？现投资资？现投资150元，可赚回多少？元，可赚回多少？50桶牛奶桶牛奶, 480小时小时 至多至多100公斤公斤A1 B1，B2的获利经常有的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？的波动，对计划有无影响？1桶桶牛奶牛奶 3千克千克 A1 12小时小时 8小时小时 4千克千克 A2 或或获利获利24元元/千克千克 获利获利16元元/kg 0.8千克千克 B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克 0.75千克千克 B22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克千克

55、出售出售x1 千克千克 A1, x2 千克千克 A2， X3千克千克 B1, x4千克千克 B2原料原料供应供应 劳动劳动时间时间 加工能力加工能力 决策决策变量变量 目标目标函数函数 利润利润约束约束条件条件非负约束非负约束 0,61xx x5千克千克 A1加工加工B1， x6千克千克 A2加工加工B26543213332441624xxxxxxzMax50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx10051 xx附加约束附加约束 5380 x.x64750 x.x 123456152615265615354616min(2416443233)()/3()/ 4504

56、()2()22480100. .0.80.75,0zxxxxxxxxxxxxxxxxxxs txxxxxx C=-24,16,44,32,-3,-3; %ch412.mA=1/2,1/4,0,0,1/3,1/4; 4,2,0,0,6,4; 1,0,0,0,1,0;B=50,480,100;Aeq=0,0,1,0,-0.8,0; 0,0,0,1,0,-0.75;Beq=0,0;x,fval=linprog(C,A,B,Aeq,Beq,zeros(6,1)x = 0.0000 168.0000 19.2000 0.0000 24.0000 0.0000fval = -3.4608e+003模型求解

57、模型求解 软件实现软件实现 LINGO 9.0 Global optimal solution found. Objective value: 3460.800 Total solver iterations: 2Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 1.680000 X2 168.0000 0.000000X3 19.20000 0.000000X4 0.000000 0.000000X5 24.00000 0.000000 X6 0.000000 1.520000Row Slack or Surplus Dual Price1 3460.800 1

58、.00000020.000000 3.160000 30.000000 3.260000476.00000 0.00000050.000000 44.00000 60.000000 32.00000DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? NoModel:max=24*x1+16*x2+44*x3+ 32*x4-3*x5-3*x6;4*x1+3*x2+4*x5+3*x6600;4*x1+2*x2+6*x5+4*x6480;x1+x510ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0P2: s01/ i(t)单调降至单调降至01/阈阈值值P3

59、P4P2S0ssss00lnln模型模型4SIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率) 卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率) 医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/ 的估计的估计0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高阈值提高阈值 1/ 降低降低 (= / ) , 群体免疫群体免疫模型模型4SIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例记被传染人数比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10s

60、si0 0, s0 1 小小, s0 1提高阈值提高阈值1/ 降低降低被传染人数比例被传染人数比例 xs0 - 1/ = 又称兰彻斯特战斗理论兰彻斯特战斗理论或战斗动态理论战斗动态理论，是应用数学方法研究敌对双方在战斗中的武器、兵力消灭过程的运筹学分支。 1915年，英国工程师F.W.兰彻斯特在战斗中的飞机一文中，首先提出用常微分方程组描述敌对双方兵力消灭过程，定性地说明了集中兵力的原理。 开始是用于分析交战过程中的双方伤亡比率，后用途逐渐推广。 兰切斯特方程证明，相同战斗力和战斗条件下，1000对2000人作战。几轮战斗下来。多方只要伤亡268人就能全歼1000人的队伍，兰切斯特方程特别适用于现代战