(完整版)高等数学测试题及解答上部分1-6章-副本

1、高等数学单元测试及详细解答第1页第一单元函数与极限2.(4 3x) lim厂xx(1 x )3 3、x 0时，tanx sinx是x的_ 阶无穷小。14 4、lim xksin0成立的k为_。x 0 x5 5、lim exarctanx _。xe 1 x 06 6、f (x)在x 0处连续，则b _。x b, x 07ln (3x 1)7 7、limx 06x8 8、 设f (x)的定义域是0,1，贝U f (l nx)的定义域是 _9 9、函数y 1 ln(x 2)的反函数为 _1010、 设a是非零常数，则lim (M_)x_。xx a11111、 已知当x 0时，(1 ax2)31与co

2、sx 1是等价无穷小，贝U常数a _。3x1212、函数f(x) arcsin的定义域是 _。1 x1313、lim、x22. x22_。n1414、设lim()x8，则a _。xx a1515、lim ( . n . n 1)( . n 2. n)= =。n二、选择题1 1、设f(x),g(x)是l,l上的偶函数，h(x)是l,l上的奇函数，贝U _中所给的函数必为奇函数。一、填空题x1 1 已知f(sin )1 COSX，贝y f (cosx) _2 2、高等数学单元测试及详细解答第2页(A)f (x) g(x)；(E)f (x) h(x)； (C C)f (x)g(x) h(x)； (D

3、 D)f (x)g(x)h(x)。高等数学单元测试及详细解答第3页2 2、(x)(x)1 Vx,则当x1时有(A)是比高阶的无穷小;(B)是比低阶的无穷小;(C(C)是同阶无穷小;(D(D)3 3、函数f(x)0(x1)在x 0 x 0处连续，则k(A)(B)(C(C) 1 1;(D(D) 0 0。4 4、数列极限lim nIn( nn1)Inn(A)1;(B)1;(C(C)( (D D)不存在但非。sin xx01xcosx(A)连续点；(B)5 5、f(x)0是f (x)的可去间断点;(C(C) 跳跃间断点;(D(D)振荡间断点。6 6、以下各项中f(x)和g(x)相同的是(2(A)f (

4、x) Ig x,g(x) 2lg x;(B)f(x)g(x) X2;(C)f (x) Vx4,g(x)xV(D(D)f (x)2 2g(x) sec x tan x。sin x7 7、limx 0|x|(A) 1 1;(B)-1-1;(C)(D(D)不存在。1x)x(A) 1 1;(B)-1-1;(C)(D)9 9、f(x)在xo的某一去心邻域内有界是limxXQf (x)存在的(A)充分必要条件；(B) 充分条件;(C(C)必要条件；(D D)既不充分也不必要条件高等数学单元测试及详细解答第4页高等数学单元测试及详细解答第5页1010、lim x( . x21 x)(x(A) 1 1;(B)

5、 2 2;(C)2;( (D D)0 0。11、设an,bn, Cn均为非负数列,且lim ann0,lim bn1,limCn，则必有()nn(A)anbn对任意n成立;(B(B)bncn对任意n成立;(C)极限lim ancn不存在；n(D(D) 极限lim bnCn不存在。n1212、当x 1时,(A)等于 2;三、计算解答1 1、计算下列极限(E)等于 0;(C)为;(D)不存在但不为。(1)limnn2 sin(2)cscx cot x;(3)limx1x(ex1);(4)limx2x 12x 13x(5(5)28cos x 2cosx 1;1limx- 2 cos3(7(7)x c

6、osx00.1 xsin xcos;xta n x3、试确定a,b之值，使limx4、利用极限存在准则求极限1(1)(1)lim -n1 123 1 131)2x1x11n 1oax(8)(2)设x1Xn.axn(n1,2,5 5、讨论函数f(x)x.n lim=nnln(132 x)lim-。x 2arctanx 4 x2)，证明lim xn存在，并求此极限值。nx丄匚的连续性，若有间断点，指出其类型。n高等数学单元测试及详细解答第6页高等数学单元测试及详细解答第7页6 6、设f(x)在a,b上连续，且a f(x) b，证明在(a,b)内至少有一点，使f()高等数学单元测试及详细解答第8页第

7、一单元函数与极限测试题详细解答一、填空题. 2x2x2x12sin x。f (si n)1(1 2 sin -)2 2sin 222f (x)222xf (cos x)22 2 cos x2sin2x。m Hx3 32 2X X9 9mmX X24243 3、高阶。limxtanx sin x tan x(1 cosx)limx 04 4、tanxxsin x是x的高阶无穷小。lim (1 cosx) 0 x 0 xx 0 x5 5、0。lim exarcta nx0(lim exxx6 6、b 2。lim f(x)lim (x b)b，x 0 x 0f(0)b,b2。7 7、1limln(3

8、x 1)lim3x1。2x 06xx 06x28 8、1x e根据题意要求0ln x 19 9、yx 1e2y 1ln(x2),(y 10,所以ln(xi2，limx 0sin丄k所以要使lim xsin1为有界函数x ey只要limx 0 xkO,arctan xf(x)2),ln(x2a1010、e原式= =lim (1xx亘）a2a2a x a2ae。1111、a由(1 ax12)3丄ax2与cosx30，即k 0。(2,2)。lim (ex 01) 2，ey2）的反函数为121x，以及高等数学单元测试及详细解答第9页高等数学单元测试及详细解答第10页11f (x)的定义域为-x -。4

9、212(1 1 )lim ln n2J 1耳n二、选择题1212、limx 0可得1(1 ax2)31TCOSX12axlim 03a 1，由反三角函数的定义域要求可得1313、limnx22 x22limn(：x22_x22)( x22x22)x22x221414、In 21515、limnX2_2_(X2_2)_x22x22x 2a、xlim ()xx a3a ln 8 alim(1x1ln8x a 3ax3a)3a x ax aln233In 2。3aelim ( i n、n 1)(、n 2nlimnn 1) 2上的奇函数，F(x)f( x)g( x)h( x)f(x)g(x)h(x)F

10、(x)。(x)1 x1 x2 2、选（C）limlim-Oflimx 1(x)x 1(1x)(13 x)x 1(1x)131(1x)解不等式组可得l,l上的偶函数，h（x）是l,l高等数学单元测试及详细解答第11页1 1、选（D） 令F(x)f (x)g(x)h(x),由f (x), g(x)是高等数学单元测试及详细解答xx)第12页lim1 x3x 112(1x) 3 (1 x)13 3、选（A A）lim f (x)1 x 1.2x3lim3limx 0 x o31x1x 012x3sin x十亠lim不存在x 0| x |nlnn6 6、选（C）在（A A）中f(x)2ln x的定义域为

11、x 0，而g（x） 2lnx的定义域为x 0,f(x)g （x）故不正确在（B B）f （x）x的值域为（），g（x）x2的值域为x 0，故错在（C C）中f（x） 1的定义域为 R Rg(x)sec2x tan x的定义域为x R, xf(x)g(x),故错7 7、选（D）limx 0sin xlim沁0 xlim0sin xlim1x0 x8 8、选（D）1lim (1 x)xx 0lim1x 01)9 9、选（C）由函数极限的局部有界性定理知,lim f (x)存在,x xo则必有X。的某一去心邻域使f（x）有界，而f （x）在X。的某一去心邻域有界不一定有lim f （x）存在，例如x

12、 X。高等数学单元测试及详细解答xx)第13页1sin 1有界，但在x 0点极限不存在(limx(、x21x说(x21x)(-x21x)x- x 1 xlimxXxx高等数学单元测试及详细解答2。1第14页（A A）、（E）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当1lim (x%百2 00 x 1当x 1时函数没有极限， 也不是 三、计算解答1 1、计算下列极限：(1(1)解:lim 2nsinnXnn 1lim 22“1nx2n112x。cosx2x(2)(2) 解:cscxlimcotxlimsin xsin x1 cosxlimx0 x21x 0 x3 0 xx 0 xsin

13、x2(3)(3) 解:1lim x(ex11) lim x -1。xxx2 cos x cosx 13_ (2cosx 1)(cos x 1)limx1xin?x*2ex1lim (xx 11)e1111、选（D D）充分大时”的情况，不可能得出“对任意n成立”的性质。（C）也明显不对，因为“无穷小无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。1212、选（D D）高等数学单元测试及详细解答2。1第15页28cos x 2cosx 1(2 cos x 1)( 4 cosx 1)4 cosx 1 limxcosx 1317m Hx11mmo3 31 1一2 21 1一2 2X X1 1 - - 2

14、 21111mmlim 1x11X 2 3)23 *lim 1 1x 211x 21)23e3(5(5)解:高等数学单元测试及详细解答第16页xsi nx1 cosxxsin x1cosx1 13lim-9lim厂lim2一 一x 02xx 02xx 02x2 44(7)解：lim111x1 223n(n 1)lim(11)(23)(-丄)x223n n1lim (11-)1oxn11数列Xj有下界,(6(6)解:xsin x cosxxta nxxm1 xsinx cosxxta nx(、1 xsinx cosx)3、解:limx4、( 1 1). .m2m2ln(132 x)arctanv

15、4 x* 2limx(1m2m2IKIK- -2 2/V/Vm2m2H HX X34。(aaxb)2a)x (a b)xb)13122彳2x 1 ax limx(a b)x bx 1(1 b)21 1n n 11设n k时，xka，贝y xkaxk.a2而limxlimx高等数学单元测试及详细解答第17页再证Xn单调减，Xn 1Xn且xn0Xnxn即xn单调减,lim xn存在，设lim xnn则有aA(舍)或A a,limnxn5、解: 先求极限得f(x)2x.n limplim f (x)x 0limx 0f(x)f (x)的连续区间为,0)(0,0为跳跃间断点. .。6、解: 令F(x)

16、 f(x)而F(a) f (a)F(b) f(b)由零点定理，(a, b)使F(即f()，亦即f(F(x)在f(0)a, b上连续高等数学单元测试及详细解答第18页第二单元导数与微分一、填空题1 1、已知f (3)2，则limf(3h)f(3)h 02h2 2、f (0)存在,有f(0)0，贝li mf(x)x0 x3 3、yxxarctan 1-,则yx 1= =4 4、f(x)二阶可导，y f(1 sin x)，则y=_；y =_5 5、曲线y ex在点_ 处切线与连接曲线上两点(0,1), (1,e)的弦平行。6 6、yInarctan(1 x)，则dy =_2 4dydy7 7、y s

17、in x，则 = =，2= =。dxdx218 8、 若f (t) lim t(1丄严，则f (t)= =_ 。xx9 9、 曲线y x21于点_处的切线斜率为 2 2。1010、设y xex，贝U y (0)_。1111、设函数y y(x)由方程ex ycos(xy) 0确定，则dx221212、设x 1 t则今 _。y costdx二、单项选择丄和y x2在它们交点处两切线的夹角为x，则tan(A)1；(B)1;(C C)2;(D)3。3 3、函数f(x)tankxe，且f () e,4则k()。(A)1；(B)1；(C C)1;(D)2。24 4、已知f (x)为可导的偶函数，且limf

18、(11 x)f(1)2,则曲线y f (x)在(x 02x处切线的方程是。(A)y 4x6; (B)y4x 2；(C)yx3; (D)yx 1。= =()。1 1、设曲线y1,2)高等数学单元测试及详细解答第19页高等数学单元测试及详细解答第20页5 5、设f (x)可导，则limx of2(x2x) f (x)_(A)o；(B)2f (x)；(C C)2f (x)；(D)2f(x) f (x)。6 6、函数f(x)有任意阶导数，且f (x) f(x)2，则f(n)(x)= =(A)nf(x)n1； (B)n!f(x)n1； (C C)(n 1)f(x)n1； (D)(n 1)! f(x)2。

19、7 7、若f(x) x2，则limf(xo2x)f(xo)= =(x o(A)2Xo;(B)Xo；(C C)4Xo;(D)4x。f (x)在点Xo处存在f (xo)和f (xo)，则f (xo)f (xo)是导数f (xo)存在)必要非充分条件;(C(C)充分必要条件；的(A)(E)充分非必要条件；(D)既非充分又非必要条件。9 9、设f (x) x(x 1)(x2)(x99)则f (0)(A)99；(B)99；(C C)99!；(D)99。1 1。、若f (u)可导，且yf( x2)，则有dy()(A)xf ( x2)dx； (B)2xf2 2(x )dx； (C C)2f ( x)dx；

20、(D)2xf (1111、设函数f(x)连续，且f(0)0,则存在0，使得( )(A A)f (x)在(o,)内单调增加；(B B)f (x)在(,0)内单调减少；(C C)对任意的x (0, )有f (x)f (0)； ( D D)对任意的x(,0)有f(x)1212、设f(x)2 . 1 xsinxx0在x 0处可导，则()ax bx 0(A A)a 1, b0；(B B)a 0, b为任意常数；(C C)a 0, b0；(C C)a 1,b为任意常数。三、计算解答x2)dx。f(O)。高等数学单元测试及详细解答第21页高等数学单元测试及详细解答第22页1 1 计算下列各题x(厂3 3、证

21、明曲线x2y2a与xy b(a,b为常数)在交点处切线相互垂直。4 4、 一气球从距离观察员 500500 米处离地匀速铅直上升，其速率为140140 米/ /分，当此气球上 升到 500500 米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。5 5、若函数f (x)对任意实数x1, x2有f (x-1x2)f (x1)f (x2)，且f (0) 1，证明f (x) f (x)。6 6、求曲线y x33x25上过点(1, 3)处的切线方程和法线方程。(1).2 1 sin -ex，求dy；(2)yX叩，求d2yt3dx(3)arcta ny y,dx2(4)y sin xcosx，求y(50)(5(

22、5)(6(6)f(x)x(x 1)(x2)(x2005)，求f (0);(7(7)f(x)(x a) (x)(x)在x a处有连续的一阶导数，求f (a)、f (a)；(8)设f (x)在x 1处有连续的一阶导数，且f (1)求limx 1f (cos . x 1)。dx2 2、试确定常数a,b之值，使函数f(x)b(1sin x)axe 10处处可导。0高等数学单元测试及详细解答2第23页第二单元导数与微分测试题详细解答一、填空题叫HhHh2h2h叫HhHh1-f (3)12limx、4 4、f (1 sin x) cos x,2f (1 sin x) cos x f (1 sin x) s

23、in x8 8、9 9、f (1 sin x) cosx,y f (1 sinx) cos x(ln(e 1),e 1)弦的斜率x y (e )xe e 1dxarcta n(1 x) 1(1 x)2dy(1d arctan( 1arcta n(1 x)dxarcta n(1x) 1 (1 x)24x3sin 2x4，2x2sin 2x45 5、kx6 6、x)7 7、ln(edydx1)，当xarctan(12sin xx)cosx4f (1ln(e1(14x3sin x) sin x1)时，y2d(1 x) x)4x3sin 2x4dydx22t2te 2te(1,2)1010、 2 2见

24、2x2si n2x42xdxf (t) lim t(11)2txXxte2tf (t)2te2t2te2x，由2x02Xo1,y。12x21在点(1,2)处的切线斜率为 2 2xxe xe,x xxe e xe0 0y (0) e e高等数学单元测试及详细解答2第24页高等数学单元测试及详细解答第25页ex yysin(xy) ex yxsin(xy)再对x求导，由复合函数求导法得二、选择题切线方程为y24(x1)即y 4x 65 5、选（D）limx 02 2(xx)f(X) f2(x)x2f(x) f (x)6 6、选（E）f (x) f(x)22f (x) f (x)2f3(x)f32(

25、x)2f (x)2 3f (x) f (x)2 3f4(x)设f(n)(x) n! fn 1(x)，则f(n1)(x) (n 1)! fn(x) f (x) (n 1)! fn 2(x)1111、e ysin(xy) ex yxsin(xy)方程两边对x求导得y(1y) sin (xy)(yxy) 01212、sint tcost4t3由参数式求导公式得dydxYLxtsin t2t，解得d2ydx2dx(yx)(yx)txt11cost sint 12t22tsint tcost3o1 1、 选（D）交点为(1,1),k11,k2(x2)23 3、tan|tan(JII1k1k2A)z/lx

26、z/lx选f (x)tankxektan2sec xe e2 2k ke e得e em.1-2 Hx11X X丄2 2112 24 4高等数学单元测试及详细解答第26页f(n)(x) n!fn1(x)7 7、选(C) limf(Xo 2 x) f(X0) Iim2f(Xo 2 x) f(xo)2f(xo)x0 xx 02 x又f (x) (x2) 2x,2f(x。)4x。8 8、 选(C)f(x)在X。处可导的充分必要条件是f (x)在X。点的左导数f(X。)和f (X) (X1)( X 2)(x 99)x(x2) (x 99) x(x 1)( x 3) (x 99)x(x 1)(x2)(x9

27、8)f (0) (01)(02)(0 99)(1)9999!99!另解：由定义，f (x)f (0)冋(Xf(0)0lim (x 1)(x 2) (x 99)x 099(1)99!99!选(E)f(x2)f ( x2)(x2)2f ( x2)dy2xf (x2)dx由导数定义知f(0) lim0-0f(x) f(0)X0,再由极限的保号性知0,当x(,)时f(x)f()0,X从而当X (,0)(x(0,)时，f(x)f(0)0(0)，因此 C C 成立，应选 C Co选(D)1010、1111、右导数f(x0)都存在且相等。9 9、高等数学单元测试及详细解答第27页lim f(x) lim x

28、2sin10, lim f (x) lim (ax b)b，所以b 0ox 0 x 0Xx 0 x 02 .1又f (0) limf (x)f(0)lim -x sinXlimf(x) f(0) aX0, f (0)x 0X 0 x 0Xx 0 x 0 x所以a 0。应选 C C o1212、由函数f(x)在x 0处可导，知函数在x 0处连续a,高等数学单元测试及详细解答第28页三、计算解答1 1、计算下列各题(1)dyxd(sin2$x1sin111Jx2sin cos (2)dxx12sin222sin exdxxx(2)dydx3t2Tt3td2ydx29t2yt9tdx21(3)两边对

29、x求导:(4(4)c 32y y2y3(y1)(丄32y y1)sin xcosx!si n2x2cos2x sin (2x)2cos(2x2sin(2x 2 -)设y(n)2n 1si n(2x2ncos(2x2ns in (2x (n1)i)(50)49y 2 sin(2x502)492 sin 2x(5(5)两边取对数:In yxlnln(1 x)两边求导:ln xln(1 x) 1y b(6(6)利用定义：x)xlnxln(1x) 1f (0) limx (i f(x)0 xf(0)00(X1)(x2)(x 3) (x 2005)2005!f (x)(x) (x a)(x)又f (a)

30、x)x)X Xf f mamaf (a)(a)高等数学单元测试及详细解答第29页高等数学单元测试及详细解答第30页X叫上罟(x)(a)(a) 2 (a) 注：因(x)在X a处是否二阶可导不知，故只能用定义求。 对x22ya两边求导：2x 2y y 0 yx y曲线2xya在(X0，y0)处切线斜率K y|x x0X0y。又由x y.bbb yyxx曲线xyb在(x, y)处切线斜率k2y |x xb22lim f (x) ba 2而x 0ab 20lim f(x)0 x 0又flim -f(x) f(0)(1sin x)a 2 b a 2,x 0limbx 0 x 0 xaxe1 b a 2

31、eax1axf(0) lim limlim ax0 xx 0 xX0 x由aba 1a b2 0b 13 3、证明：设交点坐标为(x0, y0)，则x02y0ax0y0b(8)lim f (cos、x 1)x 1dxlim f (cos . x 1)(x 1sin . x 1)1lim f (cos、x 1) limx 1x 1sin , x 12x 1f (1)2 2、易知当x 0时，f(x)均可导，要使f (x)在x0处可导则f (0)f (0)，且f (x)在x0处连续。即lim f (x)x 0lim f(x)x 0f(0)高等数学单元测试及详细解答第31页x高等数学单元测试及详细解答

32、第32页两切线相互垂直。6 6、解：由于y 3x26x，于是所求切线斜率为k13x6x |x 13,从而所求切线方程为y 33( x1),即3x y 60又法线斜率为k2丄k13所以所求法线方程为y 31(x1)，即3y x 80又kh( 2)y。xo1So4 4、设t分钟后气球上升了x米，贝U tan两边对t求导：seC2ddt1500dxdtx500140750025ddt72cos25500m m 时,5 5、证明:momoHhHh500m m 时,momoH H h h71dt 25 2750（弧度/ /分）momoH H h hh叫f(x)f(h) f(0)hX XX Xh h f

33、fX XX X高等数学单元测试及详细解答第33页3高等数学单元测试及详细解答第34页1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、9 9、填空题xmxln x函数函数曲线函数曲线1010 xe第三单元微分中值定理与导数应用2x cosx在区间4 8x33x4的极大值是6x23x在区间单调增。是凸的。cosx在x 0处的2m 1阶泰勒多项式是3x的拐点坐标是在含x0的a, ba,b上的最大值。y x32x 1在lim cot x(x 0丄)sin x x1)xta n x(其中a b)内恒有二阶负的导数，且内有个零点。1111、曲线y的上凸区间是1212、函数yexx 1的单调增区间是

34、二、单项选择1 1、函数f(x)有连续二阶导数且f(0) 0, f (0)1, f (0)2,则0f(x) xx2(A)不存在;(B) 0 0;(C) -1-1;2 2、设f (x) (x 1)(2x1), x (),则在(D) -2-2。1(,1)内曲线2f(x)(A)单调增凹的;(C)单调增凸的;(B)单调减凹的；(D)单调减凸的。3 3、f (x)在(a,b)内连续，x0(a,b), f (x0)f (x0) 0，则f (x)在xx处(A)取得极大值;(E)取得极小值;高等数学单元测试及详细解答第35页高等数学单元测试及详细解答第36页(C) 一定有拐点(X0,f(X。);(D)可能取得

35、极值，也可能有拐点。4 4、设f (x)在a,b上连续，在(a, b)内可导，则 I：在(a,b)内f (x) 0与 n：在(a,b)上f (x) f (a)之间关系是()f(x)g(x) 0，且f (x)g(x) f (x)g (x)，则当a x b时，则有()(A)f(x)g(x) f(a)g(a)；(B)f (x)g(x) f (b)g(b)；(C)f(x)f(a)(D)g(x) g(a)og(x) g(a)f(x) f(a)6 6、方程x 3x 10在区间(,)内()(A)无实根；(B)有唯一实根；(C)有两个实根；(D)有二个实根。处f (x)()(A)不可导；(B)可导，且f(0)

36、 0；(C C)取得极大值；(D)取得极小值。8、设f(x)有二阶连续导数，且f(0) 0,lim上血1，则()x 0|x|(A)f(0)是f(x)的极大值；(B)f(0)是f(x)的极小值；(C)(0, f (0)是曲线y f (x)的拐点；(D)f (0)不是f(x)的极值点。9 9、设a,b为方程f (x)0的二根,f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则f(x)在(a,b)内( )(A)只有一实根；(B)至少有一实根;(C(C 没有实根；(D D 至少有 2 2 个实根。(A)I是 n 的充分但非必要条件;(E)I是 n 的必要但非充分条件;(C)I是 n 的充分必要条件;(D

37、)I不是 n的充分条件，也不是必要条件。5 5、设f(x)、g(x)在a,b连续可导,7 7、已知f (x)在x 0的某个邻域内连续，且f (0)0,limf(x)cosx2,则在点x高等数学单元测试及详细解答第37页高等数学单元测试及详细解答第38页1010、在区间1,1上满足罗尔定理条件的函数是()(Af(x)2；( B B)f(x) |x|；x2 2(C C)f(x) 1 x；( D D)f (x) x 2x1。增加的()(A)必要但非充分条件;(C)充分必要条件；(A)xo的某个邻域单调增加;(B)xo的某个邻域单调减少;1111、函数f (x)在区间(a,b)内可导,则在(a, b)

38、内f(x)0是函数f (x)在(a,b)内单调1212、设yf (x)是满足微分方程II yy esinx 0的解，且f(x0)0,则f(x)在()(C)X。处取得极小值;(D)Xo处取得极大值。三、计算解答1 1、计算下列极限(1(1) )厂Jarccosx limx 1ln cot xlimx0ln xx sin xe e lim厂x0 x ln(1 x)lim - &ln(1x 0 x x2x)；x arctan xlim3x 0ln tan(ax)limx0ln tan(bx)2 2、证明以下不等式(1)(1)、设ba e，证明ba。(2)(2)、当0 x?时，有不等式tanx

39、2sinx3x。3 3、已知yx3sin x,利用泰勒公式求y(6)(0)。4 4、试确定常数a与n的一组数，使得当x 0时，axn与ln(1 x3)x3为等价无穷小。5 5、设f (x)在a, b上可导，试证存在(ab)，使(B)(C)充分但非必要条件;无关条件。高等数学单元测试及详细解答第39页高等数学单元测试及详细解答第40页b3b a f (a) f (b)23f()6 6、作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积 积最小值。7 7、若f(x)在0,1上有三阶导数，且f(0)f(1)0,设F(x)V最小，并求出该体x3f (x)，试证：在(0,1)内至少存在一个，使F(

40、 ) 0。高等数学单元测试及详细解答7 7、x第41页1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、填空题第三单元 微分中值定理与导数应用测试题详细解答0 lim xln x x 0f (x) 22020f (x)令f(x) 0当x 2时,lim x 01xsin x 024x212x3xi0, x22f (x)0；当极大值为f(2)20(1,1) y 4x312x 3，当x 1时，y 0当x曲线在(1,1)上是凸的1 !x2丄X42!4!(1)mlim( x) 0 x 0f(x)在()上单调增12x2(x 2)2时，f (x)212x2121,1)时，y12mX(2m)!12(x1)(x1

41、)0；当x (1,)时，y 0/2 223x3x 3x(S孑)y。3Xe e (1 3X)，y3e3x(13x)3e3xe3x(9x 6) 9e令y220X当X时，y 0；当x3，3而当X2时，y22e拐点为(一，e2)333 3f (x)05f(X。)limf (X) f (X0)当x X。时,x x0 x x03X/2(X 32时y3f (x)0, f (x)单调增加；当xlimMx冷x3 0X X0X。时，f (x)0, f(x)单调减少高等数学单元测试及详细解答7 7、x第42页高等数学单元测试及详细解答第43页8 8、1 1y 3x22 0,)上单调增加9 9、1010、1111、1

42、212、又lim yxlim yx)内有 i i 个零点。原式cosx(xlimx 0sin x)xsin2x原式= =Hmtax 0 x ta n xlimx 0lim cosxlim -sixlimx 0 x 0 x3xtan x x2sec x 1 lim2x03x1 cosx03x221 tan x lim l3x0 x:弓y 2xex2,y2 22 . 2x (亍3)时，y0，上凸，(0,)且yex二、选择题1 1、选(C)2 2、选(E)2x22x) e令y其它区间y函数y exx 1的定义区间为(1，因为在(0,)内y 0，所以函数f (x) xlim2x 0 x1IX (，1)

43、时,2lim竺LJx 02xlimx 020，上凹，故应填入()，在定义区间内连续、可导,(x)f (x)0,又f (x) 4x 1f (x)在(丄,1)上单调减且为凹的。23 3、选(D)f(x) x3，则f(0) f (0)0,x 0是f (x)则f (0) f (0)0,而x 0是f (x) x4的极值点。4 4、选(C)由f(x)在(a,b)内f (x)0的充分必要条件是在x 1在(0,)上单调增加。4(x丄)0 x4x3的拐点；设f (x)(a,b)内f (x) C(?1)(C为常数)，又因为f(x)在a,b内连续，所以C f (a)，即在(a,b)上f (x) f (a)。5 5、

44、选(C)由f(x)g(x) f(x)g (x) f (x)g(x) f (x)g (x)0器0鵲单调减少，x佝b)高等数学单元测试及详细解答第44页高等数学单元测试及详细解答第45页f (X) f(a)g(x) f(b).6 6、选(D) 令f (x) x33x 1，则f (x) 3x23 3(x 1)(x 1);当x1时，f(x) 0,f (x)单调增加，当x(1,1)时，f (X)0,f (x)单调减少当x(1,)时，f(x)0,f(x)单调增加而f(1)3,f (1)1limxf (x),limXf(x)f (x)在(，1)上有一实根，在1,1上有一实根，在(1,)上有一实根。7、选(D

45、)利用极限的保号性可以判定f (x)的正负号：limf(x)20o(在x 0的某空心邻域)；X01 COSX1 COSX由1 cosx 0,有f(x) 0 f (0)，即f (x)在x 0取极小值。8 8、 选(E)由极限的保号性：lim匚血10匚0(在x 0的某空心邻域)；由此f(x)0(在x 0|x|x|x 0的某空心邻域)，f(x)单调增，又由f(0)0,f(x)在x 0由负变正，由极值第一充分条件，x 0是f (x)的极小点。9 9、 选(B B)由罗尔定理保证至少存在一点(a,b)使f( ) 0。1010、 选(C C) , A A 选项f (x)在x 0不连续，B B 选项f (x

46、)在x 0处不可导，D D 选项f(1) f( 1)。高等数学单元测试及详细解答第46页1111、 选(B B)，如y x3在(，)单增，但f(0) 0,故非必要条件。高等数学单元测试及详细解答1第47页取得极小值。三、计算解答1 1、计算极限厂Jarccosx lim x III IVx 1III2、x 1lim上血L1212、选(c),由f(xo) 0有y”(x) esinx0y(xo)esinx00，所以f (x)在X0处(1(1)解:高等数学单元测试及详细解答1第48页1 12 arccosx 1 x2lim =17rx1. arccosx 1 xI2/、sec (ax) a2limt

47、an(bx) sec (ax) ax0tan(ax) sec2(bx) bbx sec2(ax) a ax sec2(bx) b2 2、(1)(1)证明：abbablna alnb(2)(2)解:ln cotxlimx0ln x2、(csc x)lim Qix 01x sin x恻cos?亦1。3)(4(4) )解:xim0 x(5)(5)解:x sin xsin x x sin xe ee (e 1)2lim7x2ln(1x)x 0 x37ln(1x)limxsin xx3momoH H X XCOSX 13x26ln(12xx)2xlimx 0012(1 x)arcta nx3x1 lim

48、-x 01 X23x2xm2X3X2(1x2)xlim1lim皿凶x0In tan(bx)(6)(6) 解:limx 0高等数学单元测试及详细解答第49页令f(x) xlna aln x，则f(x)在a, b上连续f (x)aln a0 x a, bxf(x)在a,b上单调增加，f(b) f (a)得blna alnb alna alna 0，即abba(2)(2)令f(x)tanx 2si nx3x在x (0,)时2f (x)2sec x 2cosx 312cos xcosx cosx 3cosx cosx3 3、解:4 4、解:f (x)f (x)在0三)上单调增5 5、即证:(%)f(x

49、)f (0)即tanx2sinx 3x泰勒公式f (x)x3而sin x x3!sin xf(0)f (0)x52!f(n)(0)n!xno(xn)x4对比x6的导数有:lim -x 0ln(1naxx3)5x5!b3f(h) a3f(a)b a1)m2m 11x(2m 1)!o(x2m)6x3!8x5!f(6)(0)6!13!nanxlim2x 03xx3f(6)(0)U12013x2xm0ann 63x(1x)323f ( ) f ()3令F(x) x f(x)，则F(x)在a,b上满足拉氏定理的条件高等数学单元测试及详细解答第50页(a b)使F(b) F(a)(a,b)，使F ()b

50、a33即b f(h)af(a)32f( )3f ()b a12dV 1 2hr2(h 2r) h2r23hr (2h 4r h) 2 2dh 3 (h 2r)(h 2r)令理0唯一驻点h 4rdh1所以，当h 4r时，体积最小，此时V -37 7、解：由题设可知F(x), F(x), F(x), F(x)在0,1上存在，又F(0)F(1)，由罗尔定理，1(0,1)使F( J 0,又F(0) 3x2f(x) x3f(x)|x。0，可知F(x)在0,1上满足罗尔定理，于是2(0,1)，使F(2)0，又F(0)6xf(x) 6x2f(x) x3f(x)|x。0，对F(x)在0,2上再次利用罗尔定理，

51、故有(0,2)(0,1)(0,1)，使得F( )0。1b3b a f(a)3af(b)6 6、解:设圆锥的高为h，底面圆半径为R，则有比例关系h r rR2hR2hr2h 2r1 2.1R h33(h 2r)2 216r r83r4r 2r3即23f( ) f ()Vh2r2h 2r高等数学单元测试及详细解答第51页第四单元不定积分、填空题cos2x , dx= =cosxsin xdxarcta nxdx= =sin 2x ,2dx1 sin xdxx22x 5二、单项选择1 1、对于不定积分f x dx，下列等式中（）是正确的(A)df x dx f x；(B(B)f x dx f x；(

52、C(C)df x f x(D(D)f xdx f x。dx2 2、函数上连续，则df xdx等于（）(A)fx；( B B)f x dx；(C(C)f x C；( D D)f x dx。1 1、x-xdx= =2、dxx2x3 3、2(x 3x 2) dx= =4 4、5 5、7 7、9 9、1010、xf (x)dx1111、-dx(x 3).x 11212、6 6、xsin xdx= =o高等数学单元测试及详细解答第52页3 3、若F x和G x都是f x的原函数，则()G x0;(A A)F x G x0；(B B)F x(C C)F x G xC( (常数) )；(D D)F x+G

53、xC( (常数) )。4 4、若f (x3)dx x3c,则f(x)()(A A)6x3c; ( B B)59x3c5；(C C)x3c；(D(D) x xc。5 5、设f (x)的一个原函数为xln x，贝Uxf (x)dx()(A A)x2(1lnx)24c; (B B)2ln x)2c；(C C)x2(1!l nx)42c； (D D)2ln x)4c。6 6、设f(x)dx x2C,则xf (1 x2)dx()(A A)2 22(1 x )2 2c; ( B B)2(1 x )c；(C(C)c； (D D)C。2(1 x2)2i(1 x2)2(A(A)(C(C)(7、In |ex11

54、cx 2In |ex1|8、若f(x)的导函数为sinx,(A(A)9、(A(A)(B)In |xe 1| c；(D)2In |ex11 x则f (x)的一个原函数是1 sinx;(B B)1 sinx;F(x)f(x), f(x)为可导函数,2x 1;(B B)x21；(C)1 cosx；f(0)1，又F(x)(D)1 COSX。xf(x)2x，则f (x)= =2(C(C)2x 1;(D D)x高等数学单元测试及详细解答第53页高等数学单元测试及详细解答值为 2 2,极大值为 6 6，求f x。第54页1010、xx3 22 3 ,/dx(2x(A)3X(C(C)3/3、xC2 ln(一)

55、C2 223x-(-)ln3 In 22(B)(D(D)1111、3 e dx= =(A)1212、(A)1丄3xexC；ln3121 .2sec dx= =x xtan1C；x(B(B)(B)3x3x3x 12x (-)x1223xln3 ln2(2In 33xex1(C)丄3xex;ln3(D(D)113xex。ln3tan1Cx(C)cot丄x(D)1cot C。x三、计算解答1 1、计算下列各题(1(1) )xdx；-a2x2x 1x24x 13dx；、xarccosx .；xxe .-dx；,ex1、xsin2xdx；In 1 exdx。2 2、 2设f sin x cos2x ta

56、n当Ox1时求f3 3、x为f X的原函数，当x 0时有fsin22x1,F x 0，4 4、 确定 A A B B 使下式成立dxdxAsin x2B1 2cosx 1 2cosx 1 2cosx5 5、设f x的导数f x的图像为过原点和点2,0的抛物线，开口向下，且f x的极小高等数学单元测试及详细解答值为 2 2,极大值为 6 6，求f x。第55页高等数学单元测试及详细解答第56页第四单元不定积分测试题详细解答填空题厂325x、xdxx2dxx2C。51 1、2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 89 9、1010、r2Cdxx2x5x2dxlx33x22x C322133

57、2(x23x 2)dx x3x2322x C。sinx cosx Ccos2xdx2 . 2cos x sin x , dxcosx sin x(cosxsin x)dx si nxcosx C。1dxdx121厂tan x C2secxdxtanx C。21 cos2x12 cos x1 222cos t Csin、t亠dt 2 sin td . t2cos、tC。tcosx sin xxcosx sinx Cxsin xdx xd cosx xcosx cosxdxxcosx sin x C。xarcta nx arcta nx Carcta nxdx x arcta nx d arcta

58、 nxxarctanx arctanx C。ln(1 sin2x) Csin 2x ,2sin xcosx1 sin2xdxxf (x) f(x) C2d sin x21 sin xln(1 sin2x) C。xf (x)dx xdf (x) xf (x)f (x)dxxf (x)df (x)xf (x) f (x) C2x2C5高等数学单元测试及详细解答第57页高等数学单元测试及详细解答第58页X 11111、. 2 arctan( -) C令、x 1 t，则x t21原式C2 arctan(C12、如如宁Cdxx22x 5dX21arctan -1C。(x 1)422、选择题1 1、选（。

59、）。由d f xdx f x dx,x dx f x C，df x f xC知(A A)、（B B）、 （C）选项是错的，故应选 D。2 2、选（E）。由微分的定义知df（x）dx f（x）dx。3 3、选（C）。函数f （x）的任意两个原函数之间相差一个常数。4 4、选（B B）两边对f （x3）dx x3C微分得2f (x3) 3x2, f (t) 3t325393f (x) f (x)dx 3x3dxx3C55 5、选(B B)原式xdF (x) xd(xlnx) x2In xxln xdx6 6、选（C C）2x2x . ln xxdx21 1 X ( ln X )C2224xf (1

60、 x2)dx2 f(12 2x )d(1 x )1(1 x ) C227、选（D D）dx1dx1高等数学单元测试及详细解答第59页高等数学单元测试及详细解答第60页ex2x xdx x (ex1)ex2(丄壬)dexe e 12x 2l n|ex2ln |ex1| C8 8、选(B B)由题意知f(x)sinx,f (x)cosx Ci,f (x)2的原函数为f (x)dxsin x C1x取C10, C21, 故选 B B。9 9、选(C C)由F(x)xf(x)x2两边求导得1010、1111、1212、F(x) f(x)所以f (x)(D)xf(x)2x，又F(x) f(x)，所以f(x)2d