2018-2019学年新课标A版_数学_必修④课件：1.1任意角和弧度制1.1.2

1、1.1.2弧度制【课标要求】1 了解角的另外一种度量方法弧度制.2 能进行弧度与角度的互化.3 掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.自主学习基础认识I新知预习I1度量角的两种制度角 度 制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的3：o为1度的角，记作1°弧 度 制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度 的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角弧度记作1鈕2 弧度数的计算(1) 正角：正角的弧度数是一个正数.(2) 负角：负角的弧度数是一个负数.(3) 零角：零角的弧度数是Q.(4) 如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为I ?那么，角a的弧度数的绝对值是a=.3角度

2、制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360Q=27i rad2 兀 rad=3602180°7i rad7i rad =180°兀1°=180 md=0017 45 rad(180)1 rad=11° 57.30°IT度数X180=弧度数弧度数xj° =度数4 扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为人5弧长为I，a(0va<2兀)为其圆心角9则(1) 弧长公式：l=a-R.(2) 扇形面积公式：S=lR=a-R2.I自我尝试I1下列各种说法中，错误的是（）A “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B 1。的角是周角的缶，1 r

3、ad的角是周角的命C 根据弧度的定义，180。的角一定等于兀rad的角D-利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半 径大小无关，故选D.答案：D35弧度的角的终边所在的象限为（）A第一象限B.第二象限C 第三象限D.第四象限3解析：因为|k<5<2ti,因此5弧度的角的终边在第四象限.答案：D4扇形圆心角为216°，弧长为30兀，则扇形半径为解析：216° = 216X/=a-r=r=3O7i,:厂=25.答案：25课堂探究互动讲练类型一角度与弧度的换算例1把下列角度化成弧度或弧度化成角度:2兀(1) 72&

4、#176;； (2)-300°； (3)2； (4)-y【解析】(1)72。=72乂奇=¥；兀 5兀(2) 300。=300 X 而 2 = 2X(4)-y=(180、O360兀)O2兀、，180971 )方法归佝角度与弧度互化技巧由它可以得到：度数X备=弧度数，弧度数X在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式兀rad =180°是关键, 弓牛=度数.跟踪训练1将下列角度与弧度进行互化:5 7 兀(1) 于心(2)-jrad； (3)10°； (4)-855°.解析：（1）¥兀=¥X180°=15 330°；

5、一召 rad=-X180° = -105°；兀兀(3) 10°= 10X jrad=jrad；兀 19(4) 一855。= 一855 X才兀.类型二用弧度制表示角的集合例2已知角«=2 005°.将«改写成0+2加伙wZ，OW0<2ti）的形式，并指出a是第几 象限的角；在5兀 0）内找出与a终边相同的角.【解析】rad =5X2?i+甥41兀3兀rad, 乂兀吊y亍兀401兀(1)2 005° = 2 005 X 而 rad =41兀角a与爭终边相同，是第三象限的角.41兀与a终边相同的角为2比兀+乜了伙WZ),一3

6、.103兀175ti41兀由一5兀W2Aji+vO, kWTL 知 £= 1, 2,31兀在5兀，0)内与a终边相同的角是一奇,方注归酣用弧度制表示终边相同的角2加+讹立）时，其中2刼是兀的 偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.旳跟踪训练2 将一1 125。表示成2加+a，0Wa<2ji、的 形式为(2) 用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合.解析：(1)因为一 1 125° = -4X360° + 315°,315° = 315X乎,所以一1 125。=8兀+孚 （2）如图，330。角的终边与一30。角

7、的终边相同，将一30。化为弧度，即而75。= 75乂侖=誇，终边落在阴影部分内（不包括边界）fir5兀0 2加一&<0<2£兀+迈，7兀答案：（1） 8兀+才类型三扇形的弧长及面积公式例3 (1)已知扇形的圆心角为120°，半径为书cm，则此扇 形的面积为cm2；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2 5求扇形圆心角的 弧度数.【解】(1)设扇形弧长为人|t _ r7C2 兀因为 120°=120X而 rad = y(rad),所以 I=aR=弩 X 百=(cm).所以S=glR=*><2弋兀x百=兀(cm2).故填71

8、.(2)设扇形圆心角的弧度数为0(0<0<2兀)，弧长为人半径为凡依题意有7+2/?= 10.< 1 尹=4.代入得，一57?+4=0,解之得凡=1,伦=4当 /?= 1 时，Z=8(cm)，此时,0=8 rad>2兀 rad 舍去.2 1当人=4 时，Z=2(cm),此时，6>=2(rad)- 综上可知，扇形圆心角的弧度数为*nid 扇形的弧长和面积的求解策略记公式：弧度制下扇形的面积公式是S=IR=其中I 是扇形的弧长，a是扇形圆心角的弧度数，0va<2兀）.找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的 计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪

9、些量，然后灵活运 用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程（组）求解.跟踪训练3已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60。，求扇形 的弧长和面积.7T解析：已知扇形的圆心角么=60。=亍半径厂=10 cm,则弧长 Z=a厂=X 10=目(cm),于是面积10=晋(cm?).I素养提升I1释疑弧长公式及扇形的面积公式(1) 公式中共四个量分别为a、I r S 由其中的两个量可以求 出另外的两个量，即知二求二.(2) 运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制 下的公式简单得多，但要注意它的前提是Q为弧度制.(3) 在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：II12S®l

10、=a-r 5 a=，r=j； S=lal,，|甸=孑.2角度制与弧度制的比较角度制用度作为 单位来度 量角的单 位制角的大小 与半径无关单位“。” 不能省略角的正负 与方向有关六十进制弧度制用弧度作 为单位来 度量角的 单位制角的大小 与半径无关单位"rad ” 可 以省略角的正负 与方向有关十进制I巩固提升I1 下列转化结果错误的是（7TA60。化成弧度是3 B ¥兀化成度是一600。7c一150。化成弧度是一尹D.令化成度是15°10兀丁_ 3X180071 1 n=njr jr解析：对于A，60o = 60X而=2；对于B,兀 5= -600°；对于 C, 150。= 150><而=祁；对于 D,X180°=15°. 答案：C2 .rt七 71>IS0+2