中考数学总复习基础讲练第12讲二次函数(含答案点拨)新人教版

1、第12讲二次函数三、二次函数图象的特征与a, b, c及b2 4ac的符号之间的关系考纲要求命题趋势二次函数是中考的重点内 容，题型主要有选择题、填空 题及解答题，而且常与方程、 不等式、几何知识等结合在一 起综合考查，且一般为压轴 题.中考命题不仅考查二次函 数的概念、图象和性质等基础 知识，而且注重多个知识点的 综合考查以及对学生应用二次 函数解决实际问题能力的考 查1. 理解二次函数的有关概念.2. 会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认 识二次函数的性质.3. 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口 方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题.4. 熟练掌握二次函数解析式的求法，并能

2、用它解 决有关的实际问题.5会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解知识梳理一、二次函数的概念一般地，形如 y=(a, b, c是常数，0)的函数，叫做二次函数.二次函数的两种形式：一般形式：; 顶点式：y= a(x h)2+ k(a0)，其中二次函数的顶点坐标是 二、二次函数的图象及性质2二次函数 y= ax + bx+ c(a, b, c 为常数，az0)图象r (a> 0)/(a<0 x二 0)开口方向开口向上开口向下对称轴直线x= 22a直线x = £2a顶点坐标b 4ac b22a4ab 4ac b22a,4a增减性b当xv 亦时，y随x 的增大而减小；当 x

3、>暑时，y随x的 增大而增大b当xv才时，y随x2a的增大而增大；当 x> 玄时，y随x的增大而减小最值当x=芬时，y有最 值4晳X4a当x =7时，y有最2a,+ 4ac b2 值.4a项目 宇母字母的符号图象的特征a>0开口向上Lla<0开LI向下bf>=0对称轴为tib>O(.b 与"同号)对祢轴在第轴删b与tt异号)对称轴在¥轴制！羟过原点ct> 0与衣轴止半轴相交t<0与y轴负半轴相交孑一4做F 4 uc= 0与芒轴有唯一交点(皿点)b' 4 t j c> D与-1轴有两令交点If 4 卫广"

4、二0与工轴没有交点|四、二次函数图象的平移抛物线 y = ax2与 y= a(x h) 2,y = ax2 + k, y= a(x h)2+ k 中 | a| 相同，则图象的和大小都相同，只是位置不同.它们之间的平移关系如下:n上加下减” y=ax2k向上(W下攸cO)平移閒个单位左 力II 右 减向上Q0)、下伙cO)平移阳个单位I-加卜减y=a(jc-h)2+k2y = ax + bx + c( a* 0)，将已知条件代则设交点式：y = a(x xi)( xX2)(0),a,最后将关系式化为一般式.y=ax五、二次函数关系式的确定21.设一般式：y= ax + bx+ c(a*0).若已

5、知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式 入，求出a, b, c的值.设交点式： y= a(xxi)( x x2)( a*0).若已知二次函数图象与 x轴的两个交点的坐标， 将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数23.设顶点式：y= a(x h) + k(a*0).则设顶点式：y= a(x h)2若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值, + k(a*0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式.六、二次函数与一元二次方程的关系 2 21. 二次函数 y = ax + bx+ c(a 0)，当 y = 0 时，就变成了 ax + bx + c= 0( a* 0).2. ax

6、+ bx+ c = 0(a*0)的解是抛物线与 x轴交点的.3 .当A = b2 - 4ac > 0时，抛物线与 x轴有两个不同的交点；当 A = b2 - 4ac= 0时，抛 物线与x轴有一个交点；当 A = b2- 4acv 0时，抛物线与x轴没有交点.4 .设抛物线 y = ax + bx+ c与x轴两交点坐标分别为A( xi,0), B(X2,0)，贝U xi + X2 =, xi X2 =.自主测试1. 下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0,1)的是()22A. y = (x 2) + 1B. y = (x+ 2) + 122C. y = (x 2) 3D

7、. y = (x+ 2) 32. 如图所示的二次函数y= ax2+ bx+ c的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1) b 4ac> 0； (2) c> 1； (3)2 a bv 0 ； (4) a+ b+ cv 0你认为其中错误的有 ()A . 2个C. 4个3. 当 m=4. 将抛物线y = x2.3个.1个时，函数 y= (m- 3) xm 7+ 4是二次函数.5. 写出一个开口向下的二次函数的表达式:的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为考点一、二次函数的图象及性质【例1 (1)二次函数y = 3x2 6x + 5的图象的顶点坐标是()A . ( 1,8

8、)B. (1,8)C. ( 1,2)D. (1 , 4)(2)已知抛物线 y = ax2 + bx+ c(a> 0)的对称轴为直线x= 1，且经过点(一1, y" , (2 ,b_y2)，试比较y和y2的大小：yy2.(填“>”“<”或"=”)解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求.6=12X 32 24ac b4X 3 x 5 6= =84a4x 3二次函数y = 3x2 6x + 5的图象的顶点坐标是(一1,8).故选A.(2)点(一1, y1), (2 , y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1, y2

9、的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可.设 抛物线经过点(0 , ys) ,抛物线对称轴为直线x= 1,点 (0 , ya)与点(2 , y2)关于直线 x = 1 对称. ya= y2. a>0，当xv 1时，y随x的增大而减小. y1> y3. y1> y答案：(1)A(2) >方法总结1 .将抛物线解析式写成y= a(x h)2 + k的形式，则顶点坐标为(h, k)，对b一 b4ac b2称轴为直线x=h,也可应用对称轴公式x=2a，顶点坐标2a，4a来求对称轴及顶 点坐标.2.比较两个二次函数值大小的方法：(1) 直接代入自变量

10、求值法；(2) 当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3) 当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断.触类旁通1已知二次函数 y = ax2 + bx+ c(a0)的图象如图，则下列结论中正确的是 ( )A. a>0B. 当x > 1时，y随x的增大而增大C. c v 0D. 3是方程ax2 + bx+ c= 0的一个根考点二、利用二次函数图象判断a, b, c的符号【例2】如图，是二次函数 y = ax2 + bx+ c(a0)的图象的一部分，给出下列命题：a+ b+ c= 0;b>2a；ax + bx+ c= 0的两根分别为一3和1

11、:a 2b+ c>0.其中正确的 命题是.(只要求填写正确命题的序号 )b解析：由图象可知过(1,0)，代入得到a+ b+ c = 0;根据一2= 1,推出b= 2a;根据 图象关于对称轴对称，得出与 x轴的父点是(一3,0) , (1,0);由a 2b + c= a 2b a b= 3bv 0，根据结论判断即可.答案：方法总结根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性.解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a, b共同决定，b2 4ac决定抛物线与x轴的交点情况.当x=1时，决定a+ b+ c的

12、符号，当x = 1时，决定a b + c的符号.在此基础上，还可推出 其他代数式的符号.运用数形结合的思想更直观、更简捷.触类旁通2 小明从如图的二次函数 y = ax2 + bx + c的图象中，观察得出了下面五个结 论：cv 0；abc> 0;a b+ c> 0;2a 3b= 0:c 4b>0,你认为其中正确的结论 有()A. 2个B . 3个C. 4个D . 5个考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y= 2x2+ 4x+ 1的图象怎样平移得到 y= 2x2的图象()A. 向左平移1个单位，再向上平移 3个单位B. 向右平移1个单位，再向上平移 3个单位C. 向左平

13、移1个单位，再向下平移 3个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移 3个单位解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y= 2x2 + 4x+ 1 = 2(x 1)2+ 3,将该函数图象向左平移 1个单位，再向下平移 3个单位就得到y = 2x2的图象.答案：C方法总结二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式 转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作.触类旁通3将二次函数y = x2的图象向右平移1个单位，再向上平移 2个单位后，所得 图象的函数解析式是()22A. y = (x 1) + 2 B . y = (x

14、+ 1) + 222C. y = (x 1) 2 D . y = (x+ 1) 2考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形 ABC是菱形，点D的坐标是(0 , 3)，以点C为顶点的抛物线y 2=ax + bx+ c恰好经过x轴上A,(1) 求A, B, C三点的坐标；(2) 求经过 代B, C三点的抛物线的解析式.解：(1)由抛物线的对称性可知AE= BE AOB BEC OA= EB= EA设菱形的边长为 2m在Rt AOD中,m+ (£)2= (2 n)2,解得 m= 1. DC= 2, OA= 1, OB= 3. A, B, C三点的坐标分别为(1,0) , (3,0)

15、 , (2 , 3).(2)解法一：设抛物线的解析式为y = a(x 2)2+ 3,代入A的坐标(1,0),得a= , 3.抛物线的解析式为y = 3(x 2)2+ 3.解法二：设这个抛物线的解析式为y= ax2+ bx+ c,由已知抛物线经过 A(1,0) , B(3,0),C(2 ,.3)三点，a + b+ c= 0,得 9a+ 3b+ c = 0,4a+ 2b + c = - 3,a = : 3,解这个方程组，得 b = 4,： 3,c = 3 3抛物线的解析式为 y = ：3X2+ 4 ：3x 3 ：3.方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已 知图

16、象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式.1触类旁通4 已知抛物线y = qx2 + (6 ni) x + n 3与x轴有A, B两个交点，且A, B两点关于y轴对称.(1) 求m的值；(2) 写出抛物线的关系式及顶点坐标.考点五、二次函数的实际应用【例5】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对该特产一 1 2的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润 P=- 硕(x 60) + 41(万元)当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目

17、每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从 100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售.在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q= 1990(100 x)2 + 学(100 x) + 160(万元).(1) 若不进行开发，求 5年所获利润的最大值是多少；(2) 若按规划实施，求 5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；(3) 根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解：(1)当x= 60时，P最大且为41万元，故五年获利最大值是41 X 5= 205(万元).(2

18、)前两年：0W x< 50,此时因为P随x的增大而增大，所以x= 50时，P值最大且为40 万元，所以这两年获利最大为40X 2= 80(万元).所以y = P+ Q=1100x 60 2+ 41 + 100X2 + 2yx + 160 = x2 + 60x+ 165 = (x 后三年：设每年获利为y万元，当地投资额为 x万元，则外地投资额为(100 x)万元，30) 2+ 1 065，表明x= 30时，y最大且为1 065，那么三年获利最大为1 065 X 3= 3 195(万元)，故五年获利最大值为80 + 3 195 50X 2= 3 175(万元).(3) 有极大的实施价值.方法

19、总结运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1 .列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.2.在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值.触类旁通5 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场.若今年这种玩具 每件的成本比去年成本增加0.7 x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0v x< 11).(1)

20、 用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为 元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为 元；(2) 求今年这种玩具的每件利润y(元)与x之间的函数关系式；(3) 设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=(每件玩具的出厂价一每件玩具的成本)X年销售量.21. （2012四川乐山）二次函数y= ax + bx+ 1（ a*0）的图象的顶点在第一象限，且过点（一1,0） 设t = a+ b+ 1，则t值的变化范围是（）A. 0 v t v 1 B . 0 v t v 2C. 1 v t v 2 D . - 1 v t v

21、 12. （2012山东荷泽）已知二次函数 y = ax根据图象，写出满足 kx + b（x 2）2+ m的x的取值范围.6. （2012湖南益阳）已知：如图，抛物线 y= a（x 1）2+ c与x轴交于点A（1 3, 0）和 点B,将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P' （1,3）处. + bx+ c的图象如图所示，那么一次函数y = bx+ c和反比例函数y = £在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）'3. （2012上海）将抛物线y = x2 + x向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是 .4. （2012山东枣庄）二次函数y= x2- 2x-3的图象如图

22、所示.当 y v 0时，自变量x的 取值范围是.J求二次函数与一次函数的解析式；1 2 A xV（第4题图）5. （2012广东珠海）如图，二次函数 y= （x 2） + m的图象与y轴交于点C,点B是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y = kx + b的图象经过该二次函数图象上点A（1,0）及点B(1) 求原抛物线的解析式；(2) 学校举行班徽设计比赛，的平行线交抛物线于C, D两点，将翻折后得到的新图象在直线 一个“ W型的班徽，“ 5”的拼音开头字母为九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴CD以上的部分去掉，设计成 W “ W图案似大鹏展翅，寓

23、意深远；而且小 明通过计算惊奇的发现这个“ W图案的高与宽(CD的比非常接近黄金分割比 冷二(约等于(参考数据：'52.236 , '60.618).请你计算这个“ W图案的高与宽的比到底是多少?2.449，结果可保留根号)评爭邓舷址I J '21 .抛物线y= x 6x+ 5的顶点坐标为(A. (3 , 4) B . (3,4)C. ( 3, 4) D . ( 3,4)2 .由二次函数 y = 2(x 3)2+ 1，可知(A. 其图象的开口向下B. 其图象的对称轴为直线x= 3C. 其最小值为1D. 当x v 3时，y随x的增大而增大3. 已知函数y = (k 3)x

24、2+ 2x+ 1的图象与A. kv 4 B . k<4C. kv4 且 k丰3 D . k<4 且 k工34. 如图，x轴有交点，则k的取值范围是()平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是()丿二_拆-旳)臥(第4题图)Xk> h B k= h DA. m= n,C. m>n,5.如图，已知二次函数 轴的另一交点为C,则AC长为.m= n,.mv n,2y= x +k v hk = hbx+ c的图象经过点 A 1,0) , B(1 , - 2)，该图象与x叨（1厂2）（第5题图）6.抛物线y= ax2 + bx+ c上部分点的横坐标 x,纵坐标

25、y的对应值如下表:x21012y04664从上表可知，下列说法中正确的是 .（填写序号） 抛物线与x轴的一个交点为（3,0）; 函数y = ax分别求yi和y2的函数解析式； 有一农户同时对I型、n型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.9 .如图，已知二次函数 L1: y= x2 4x + 3与x轴交于A, B两点（点A在点B的左边）， 与y轴交于点C + bx + c的最大值为6；1 抛物线的对称轴是直线x=2； 在对称轴左侧，y随x增大而增大.7抛物线y= x2 + bx+ c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平

26、移 3个单位，则平移后的解析式为 .& 2011年长江中下游地区发出了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买I型、n型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系型号金额1型设备11型设备投资金额占万元x5I24补贴金额“厅元2閑=u W +心疋” 2.1< oO)13. 2(1) 写出二次函数Li的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2) 研究二次函数 L2： y = kx2- 4kx+ 3k(k0). 写出二次函数 L2与二次函数Li有关图象的两条相同的性质； 若直线y= 8k与抛物线L2交于E, F两点，问线段EF的长度是

27、否发生变化？如果不会, 请求出EF的长度；如果会，请说明理由.参考答案导学必备知识自主测试1. C2. D 抛物线与x轴有两个交点， b2-4ac>0；与y轴交点在(0,0)与(0,1)之间, 0 v cv I,： (2)错；2a>- 1，知 1，: av0 , 2av b ,当 x= 1 时，y= a+ b+ cv 0,故选 D.3. 3 由题意，得 m 7 = 2且m 3工0，解得 m= 3.24. y = x +15. y = x2+ 2x+ 1(答案不唯一) 探究考点方法触类旁通1 . D触类旁通2. C 抛物线开口向上， a>0；抛物线与y轴交于负半轴， cv 0；

28、对称轴在y轴右侧，a, b异号，故bv 0,： abc> 0. 由题图知当x = 1时，y>0,1即a b+ c>0.对称轴是直线x = 3,3 2a= 1，即 2a+ 3b = 0；a b+ c>0,5由 c “ c 得 cTb> 0.2a+ 3b= 0,2又T bv 0,： c 4b>0. 正确的结论有 4个.2 2触类旁通3. A因为将二次函数 y= x向右平移1个单位，得y= (x 1)，再向上平移 2个单位后，得y = (x 1)2 + 2,故选A.触类旁通4.解：(1) 抛物线与x轴的两个交点关于 y轴对称，抛物线的对称轴即为 y轴.=0. m=

29、±6 .2X又抛物线开口向下，m 3>0，即3. mi= 6.- m= 6,1 2 一抛物线的关系式为y = 2X + 3，顶点坐标为(0,3).触类旁通 5.解：(1)(10 + 7x)(12 + 6x)(2) y = (12 + 6x) (10 + 7x) = 2 x.2(3) / w= 2(1 + x)(2 x) = 2x + 2x+ 4,2 - w= 2( x 0.5) + 4.5./ 2v 0,0 v xw 11, 当x= 0.5时，w最大=4.5(万兀).答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元.品鉴经典考题1. B 二次函数y= ax2

30、 + bx+1的顶点在第一象限，且经过点(1,0), a b+ 1= 0, av 0, b> 0.由a= b 1 v 0得到bv 1,结合上面 b>0, 0v bv 1；由b= a+ 1 >0得到a> 1，结合上面av 0,- 1 v a v 0.由得一1 v a + bv 1，且c= 1,得到 0v a+ b+ 1 v 2, 0 v t v 2.2. C 二次函数图象开口向下， av0.b.对称轴 x= v 0,. bv 0.2a二次函数图象经过坐标原点， c= 0. 一次函数y = bx+ c过第二、四象限且经过原点，反比例函数y =手位于第二、四象限, 故选C.3

31、. y = x2 + x 2因为抛物线向下平移2个单位，则y值在原来的基础上减2,所以新抛物线的表达式是y= x2+ x 2.4. 1 v xv 3因为二次函数的图象与x轴两个交点的坐标分别是 (一1,0) , (3,0)，由 图象可知，当yv 0时，自变量x的取值范围是一1vxv 3.5. 解：(1)由题意，得2 2(1 2) + m= 0，解得 m= 1,二 y = (x 2) 1.当 x= 0 时，y= (0 2) 1 = 3,. C(0,3).点B与C关于直线x = 2对称， B(4,3).0 = k + b,k = 1,于是有解得3 = 4k+ b,b= 1. y = x 1.(2)

32、 x的取值范围是 1 w x< 4.6.解：(1) T P与P' (1,3)关于x轴对称， P点坐标为(1 , 3).3),抛物线 y = a(x 1)2 + c 过点 A(1 3 , 0),顶点是 P(1 ,a(1 彳3 1) + c= 0,2a(1 1) + c = 3,则抛物线的解析式为a= 1,解得c= 3.22y = (x 1) 3,即卩 y= x 2x 2./ CD平行于x轴，P' (1,3)在CD±, C, D两点纵坐标为3,由(x 1)2 3 = 3，得 Xi= 1 ；6, X2= 1 + 6, C, D两点的坐标分别为(1 6, 3) , (1 + ：6, 3), CD= 2 '6, “W”图案的高与宽研习预测试题(CD的比=32?6屮或约等于0.612 4)1 .