高等数学第八章多元函数微分学

1、第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 知识总结知识总结1 1多元函数的基本概念多元函数的基本概念2 2多元函数的偏导数、微分与方向导数多元函数的偏导数、微分与方向导数3 3多元函数微分法多元函数微分法4 4多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用5 5多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值二二.多元函数的偏导数、微分与方向导数多元函数的偏导数、微分与方向导数1.多元函数的偏导函数多元函数的偏导函数0(, )( , ) ( , )limxxf xx yf x yfx yx 求 f x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元函数求导公式求即可. 求 f y (x, y)时,

2、 只须将 x 看作常数,用一元函数求导公式求即可.一一. . 多元函数的基本概念多元函数的基本概念2. 2. 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法 先代后求先代后求: 先求后代先求后代: 利用定义利用定义:xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(00000000000(,)(,) ( , )|xxxyfxyfx y0),(dd0 xxyxfx00(,)xfxy例如：分段函数分段点例如：分段函数分段点例如：初等函数定义区域的内点例如：初等函数定义区域的内点例如：上述两种例子情况均可、函数式复杂例如：上述两种例子情况均可、函数式复杂(0,0,0)d(0,0,0)d(0,0,0)d(0

3、,0,0)dxyzffxfyfz例例. 设,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0,0,0)03cosxxfxx41利用轮换对称性 , 可得1(0,0,0)(0,0,0)4yzff)dd(d41zyx3.3. 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法 逐次求导法逐次求导法注注: 混合偏导数在连续的条件下相等混合偏导数在连续的条件下相等.) (y1: nnzxy例11nnxz4. 微分00( , )(,)zf x yxy在点是否可微的步骤：z( , )( , )xyfx yxfx yy zdyy

4、xfxyxfyxd),(d),(22)()(yx)( o判断二元函数判断二元函数00000(,)(,)(3) 0 xyzfxyxfxyy 看是否成立0000(2) (,) (,)xyfxyfxy求、注：若有一个不存在则一定不可微(1) 检验函数是否连续,若不连续一定不可微例：如果例：如果( , )f x y在（在（0,0）处连续，那么下列命题）处连续，那么下列命题( , )(0,0)22( , )(0,0)( , )(0,0)2( , )(0,0)( , )( )lim( , )(0,0)|( , )( )lim( , )(0,0)( , )( )( , )(0,0)lim|( , )()(

5、, )(0,0)limx yx yx yx yf x yAf x yxyf x yBf x yxyf x yCf x yxyf x yDf x yx若极限存在，则在处可微若极限存在，则在处可微若在处可微，则极限存在若在处可微，则极限2y存在正确的是（正确的是（ ）答案：答案：B（2012考研题）考研题）0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用 ,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故f 在 (0,0) 连续;, 0), 0()0 ,(yfxf又因(0,0)(0,0)0 xyff所以知在点(0,0) 处连续且

6、偏导数存在 , 但不可微 . 例例. 证明证明:而)0 , 0(f,00时，当yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以 f 在点(0,0)不可微 !232222)()( )()(yxyx5. 5. 方向导数与梯度方向导数与梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP方向导数为:coscoscosffffxyzl 二元函数 ),(yxf在点),(yxPcoscosfffxylzfyfxff,grad梯度为:方向导数为:梯度为:grad,fffxy 关系关系:0gradff ll6. 重要关系:偏导存在偏导存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函

7、数连续方向导数存在偏导数存在 可微三三. 多元函数微分法多元函数微分法1.1.多元复合函数一阶偏导数多元复合函数一阶偏导数2.2.多元复合函数高阶偏导数多元复合函数高阶偏导数3.3.隐函数微分法隐函数微分法自变量个数自变量个数 = 变量总个数变量总个数 方程总个数方程总个数自变量与因变量由所求对象判定自变量与因变量由所求对象判定注注: 一定要分清楚谁是自变量一定要分清楚谁是自变量 1.1.多元复合函数一阶偏导数多元复合函数一阶偏导数(1). 根据函数结构的示意图分析复合结构根据函数结构的示意图分析复合结构,确定自确定自变量、中间变量及其关系变量、中间变量及其关系(2). 正确使用链式法则正确使

8、用链式法则,写出求导公式写出求导公式“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”(3).注意正确使用求导符号注意正确使用求导符号 例例. ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点)1 , 1(处可微 , 且设函数,3) 1 , 1 (yf解解: 由题设23)32( (2001考研考研),1),(

9、2xyyxf,2),(21xyxfxy例. 已知求.),(22xyyxf解解: 由1),(2xxf两边对 x 求导, 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf则称它为 k 次齐次函数. 证明 k 次齐次函数满足),(),(),(),(321zyxkfzyxf zzyxf yzyxf x证:两边对 t 求偏导.( ,)( , , )kf tx ty tzt f x y z例. 若f (x, y, z) 恒满足关系式1123( , ,)( , ,)( , ,)( , , )kxf u v wyfu v wzf u v wktf x y z同乘以 t, 得123

10、( , ,)( , ,)( , ,)( , , )kuf u v wvfu v wwf u v wk t f x y z得及由条件,),(),(tzwtyvtxuzyxfttztytxfk123( , ,)( , ,)( , ,)( , ,)uf u v wvfu v wwf u v wkf u v w( ,)( , , )kf tx ty tzt f x y z ,utx vty wtz记2.2.多元复合函数高阶偏导数多元复合函数高阶偏导数注：注： 考察重点是内层具体、外层抽象的函数考察重点是内层具体、外层抽象的函数 一阶偏导数仍然是复合函数一阶偏导数仍然是复合函数 混合偏导数在连续的条件下

11、可以合并混合偏导数在连续的条件下可以合并 为书写简便可以采取记号简记为书写简便可以采取记号简记(,( )zf xy yg x例例. 设 偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求其中函数 f 具有二阶连续21,1xyzx y 解解:由由g(x)可导且在可导且在x=1处取极值所以处取极值所以 (1)0g,( )uxy vyg x设( )uvzyfyg x fx2( )uvzzyfyg x fx yy 21,1(1,1)(1,1)(1,1)xyuuuuvzfffx y (2011考研考研)( )( )( )vvuvvg x fyg x xfg x f( )uuuuvfy xfg

12、 x f隐函数求导方法：隐函数求导方法：方法方法1. 利用复合函数求导法则方程两边直接关于利用复合函数求导法则方程两边直接关于自变量求导自变量求导 ,要把因变量看成自变量的函数要把因变量看成自变量的函数方法方法2. 利用隐函数定理的求导公式利用隐函数定理的求导公式3.3.隐函数微分法隐函数微分法注：两种求导方法中方程所确立的隐函数中因注：两种求导方法中方程所确立的隐函数中因变量的地位是不一样的变量的地位是不一样的例. 设方程F(x2+y2+z2, sinxy)=0, FC1, 求. ,yzxz解：方法1.(公式法): 方程左边是x, y, z的复合函数，用链式法则求Fx , Fy , Fz .

13、Fx = F 12x+F 2 cosxy y = 2xF 1+ ycosxy F 2从而,2cos2121zFxyFyxFxzFy = F 12y+F 2 cosxy x = 2yF 1+ xcosxy F 2Fz = F 12z1212cos2zFxyFxyFyz方法2.方程 F(x2+y2+z2, sinxy)=0两边对 x 求偏导. 其中 z 是 x 的函数, y看作常量.F 1 (2x+2z zx ) + F2 cosxy y = 0,2cos2121zFxyFyxFzx解得:,2cos2121zFxyFxyFzy,)(xuuf例例:设设, )(ufz 方程方程)(uuxytdtp )

14、(确定确定 u 是是 x , y 的函数的函数 ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp连续连续, 且且, 1)( u求求.)()(yzxpxzyp解解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(0)()(xzzxyy及,2 yxeyx例：例：.ddxu求分别由下列两式确定 :又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 , 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxz

15、x )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx(2001考研考研)解得因此1. 求曲线在切线及法平面求曲线在切线及法平面(关键关键: 抓住切向量抓住切向量) 2. 求曲面的切平面及法线求曲面的切平面及法线四四. .多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用(关键关键: 抓住法向量抓住法向量)1. 1. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 1) 参数式方程.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量:空间光滑曲线( ):( , )yf xzg x y2) 与柱面交线.空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF3) 面交式曲线.000

16、( ),( ),( )Sttt切向量:12Snn空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点2) 隐式情况 .的法向量法向量),(000zyxM2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线000000000(,),(,),(,)xyznF xyzF xyzF xyz空间光滑曲面),(:yxfz 1) 显式情况.法向量法向量(, 1)xynff上求一点 , 使该点处的法线垂直于例例. 在曲面yxz ,093zyx并写出该法线方程 .解解: 设所求点为, ),(000zyx则法线方程为000zzyyxx利用113100 xy得3,1,3000zyx平面0y0 x1000yxz 法线垂直于平面点在曲面上1

17、. 1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件判别驻点是否为极值点 ., ),(yxfz ( , )0( , )0 xyfx yfx y例如对二元函数五五. .多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值例例. 求 222,xyf x yxe的极值。解：先求函数的驻点.2222222,(1)0,0 xyxyxyfx yx efx yxye 解得函数为驻点为 1,01,0或222222322222(3 ),(1),(1)xyxxxyxyxyyyAfxx eBfy xeCfx ye20,0BACA121,0fe在1,0 点：取极大值20,0B

18、ACA12( 1,0)fe 在1,0点：取极小值（2012考研题）考研题）例例. 求 的极值。（2013考研题）考研题）3,()3x yxf x yye答案答案:134 (1,).3fe 有极小值2.2. 最值应用问题最值应用问题 最值可疑点: 驻点和 边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, )(Pf为极小 值)(Pf为最小 值( (大大) )( (大大) )第二步 根据问题的实际意义确定最值:唯一的驻点一定是最值点第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 实际问题的最值实际问题的最值:3. 3. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1)

19、简单问题用代入法转化为无条件极值问题条件极值问题.(2) 一般问题用拉格朗日乘数法求一元函数的无条件极值问题)(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz求法求法：( , )0,x y例如在条件下的极值求函数),(yxfz 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法:则问题等价于可确定隐函数的极值问题,故极值点必满足设 记0),(yx, )(xy)(,(xxfzdd0,ddxyzyffxxd,dxyyx 因0 xxyyffyyf 故一元函数则极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx引入辅助函数辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数.( , )( , )( , )0 xxxL x yfx

20、yx y( , )( , )( , )0yyyLx yfx yx y( , )0 x y利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.( , )( , )( , )L x yf x yx y推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx( , , )( , , )( , , )( , , )L x y zf x y zx y zx y z( , , )( , , )( , , )( , , )0 xxxxL x y zfx y zx y zx y z( ,

21、 , )( , , )( , , )( , , )0yyyyLx y zfx y zx y zx y z( , , )( , , )( , , )( , , )0zzzzL x y zfx y zx y zx y z( , , )0 x y z( , , )0 x y z例例.要设计一个容量为0V则问题为求x , y , z 令解方程组解解: 设 x , y , z 表示长、宽、高,下使最小.在条件xL 02zyyzyL 02zxxzzL 0)(2yxyx00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱, 试问 0VzyxyxzyzxS)(20( , , )2()()L x y zxzyzxyxyzV得唯一驻点,2230Vzyx3024V例例. .在第一卦限作椭球面1222222czbyax的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点. 解解: 设, 1),(222222czbyaxzyxF切点为),(000zyxM则