公务员数量关系秒杀技巧升级

1、（一）奇偶性例题：有8个盒子分别装有17个，24个，29个，33个，35个,36个，38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余各盒被小钱，小孙，小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小钱取走的各个盒子中的乒乓球最可能是A. 17 个，44个B. 24个，38个C. 24个，29个，36个D. 24个，29个，35个墨子解析：小钱是小李的两倍，小钱肯定是偶数，排除AC, B选项的一半是12+19=31,上面没有31这个数字，排除B,得到答案为Do（二）大小性 例题：现有一种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。若从甲中取 2100克，乙中取700克混合

2、而成的消毒浓度为3%若从甲中取900克，乙中取2700克，则混合而成的溶液的浓度为 5%o 则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为：A、3% 6%B 3% 4% C、2% 6%D、4% 6%墨子解析：A,B,D不管怎么配都不可能达到3%,得到答案为Co （三）因 数特性（重点是因数3和9）例题：A、B两数恰含有质因数3和5,它们的 最大公约数是75,已知A数有12个约数，B数有10个约数，那么AB两数和 等于（）A 2500 B 3115 C 2225 D 2550墨子解析：AB的和肯定能被3整除，ABC显然都不能被3整除，得到答案 为D o例题：某单位招录了 10名新员工，按其应聘成绩排名1到10

3、，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号，凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少（）A . 12 B. 9 C. 15 D . 18墨子解析：第10名能被10整除，尾数肯定是0。1到9应该是XXX1 ,XXX2,XXX3 .XXX9 , XXX9能被9整除，所以XXX能被9整除，答案减去3肯定能被9整除，只有12-3=9，得到答案为A。（四）尾数法 例题： 一只木箱内有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个。小明一次取出5个黄球、3个白球，这样操作N次后，白球拿完了，黄球还剩 8个；如果换一种取法：每次取 出7个黄球、3个白球，这样操作 M次后，黄球拿

4、完了，白球还剩 24个。问 原 木箱内共有乒乓球多少个？A . 246个 B . 258个 C . 264个 D. 272个墨子解析：答案肯定是10*X+24，尾数肯定是C,得到答案为Co几个数 相加或者相乘一定要想到尾数法。（五）幂次特性 例题：某突击队150名工 人准备选一名代表上台领奖。选举的方法是：让150名工人排成一排，由第一名幵始报数，报奇数的人落选退出队列， 报偶数的人站在原位置不动， 然后再从头报数，如此继续下去，最后剩下的一名当选。小李非常想去， 他在第一次排队时应该站在队列的什么位置上才能被选中？（）A.64 B.128 C.148 D.150墨子解析：每次拿掉奇数位，最后

5、留下的是 2的N次方最大的那个，得到 答案为B。如果每次拿掉偶数位，最后留下的是 1.（六）余数特性重点是：几个数的和能被3整除，那么他们各自除以3的余数的和也能被三整除。举例：9+8+7=24，能够被三整除。9,8,7除以3的余数是0,2,1.0+2+1=3例题：某店一共进货6桶油，分别为15、16、18、19、20、31千克，上午卖出2桶，下午卖出3桶，下午卖的重量正好是上午的 2倍。那么，剩下的 一桶油重多少千克？（）A.15 B.16 C.18 D.20墨子解析：设上午卖的数量为a,下午卖的数量为2a,和为3a,，用余数特性 很容易得到剩下的一桶是20.（七）赋值法 例题：受原材料涨价

6、影响，某产品的总成本比之前上涨了1/15，而原材料成本在总成本中的比重提高了2.5个百分点，问原材料的价格上涨了多少？（）A. 1/9 B.1/10C.1/11 D.1/12墨子解析：设原来的总成本为 15,现在的总成本为15+15*1/15=16.设原来的原材料为X，现在的原材料为X+1（增长的只是原材料）（X+1）/16-X/15=2.5% ，解的 X=9.所以上涨了 1/9（八）画图法例题：甲乙两人相约见面，并约定第一人到达后，等15分钟不见第二人来就可以离去。假如他们都在10至10点半的任意时间来到见面地点，则两人 能见面的概率有多大？A.37.5% B.50% C.62.5% D.7

7、5%墨子解析：画个坐标图，|X-Y |15.画完图后很直观的看到答案为Do解决容斥问题也可 以画图，这里就不举例子了。（九）整除思想（非常重要） 例题：某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少 6%女员工 人数比去年增加5%员工总数比去年增加3人，问今年男员工有多少人？A.329 B.350 C.371 D.504墨子解析：设去年男员工数量为a,则今年的男员工数量为0.94a,0.943=答案ABCD里面的一个，a二答案ABCD/0.94，因为人是整数，不能 有小数点，经验证，答案为 A。例题：旅游团安排住宿，若有4个房间每 间住4人，其余房间每间住5人，还剩2人，若有4个房间每间住

8、5人，其余 房间每间住4人，正好住下，该旅游团有多少人？（ ）A.43B.38C.33D.28墨子解析：很明显，答案减去 20应该是4的倍数，秒杀得到Do （十二）十 字交叉法例题：要将浓度分别为20呀口 5%勺A、B两种食盐水混合配成浓度为15%勺食盐水900克，问5%勺食盐水需要多少克？（）A. 250 B. 285C. 300 D. 325墨子解析：20% 10%15%5% 5%20%： 5%=2:1，得到答案为 Co（十三）直接代入法例题：一个产品生产线分为 abc三段，每个人每小时分别完成10、5、6件,现在总人数为71人，要使得完成的件数最多，71人的安排分别是（）oA. 14 :

9、 28 : 29 B. 15 : 31 : 25 C. 16 : 32 : 23 D. 17 : 33 : 21墨子解析；直接代入，很容易得到答案为Bo （十四）插板法插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元 素分成（ b+1 ）组的方法。应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（ 2） 所分成的每一组至少分得一个元素（3） 分成的组别彼此相异把10个相同的小球放入 3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？ 问题的题干满足 条件（ 1）（2），适用插板法， c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用a 凑元素插板法 （有些题目

10、满足条件（ 1 ），不满足条件（ 2），此时可适用此方法） 例1 ：把10个相同的小球放入 3个不同的箱子，问有几种情况？3个箱子都可能取到空球，条件（ 2）不满足，此时如果在 3个箱子种各预先放入1 个小球，则问题就等价于把 1 3个相同小球放入 3个不同箱子，每个箱子至少一个， 有几种情况？ 显然就是 c12 2=66例2： 把1 0个相同小球放入 3个不同箱子，第一个箱子至少 1个，第二个箱子至少 3 个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？我们可以在第二个箱子先放入 10个小球中的 2个，小球剩 8个放3个箱子，然后在第 三个箱子放入 8个小球之外的 1 个小球，则问题转化为 把9个相同

11、小球放 3不同箱子， 每箱至少 1 个，几种方法？ c8 2=28 b 添板插板法例3：把10个相同小球放入 3个不同的箱子，问有几种情况？-o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o 表示 10 个小球， -表示空位11个空位中取 2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空此时 若在 第11个空位后加入第 12块板，设取到该板时，第二组取球为空 则每一组都可能取球为空 c12 2=66例 4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和， 直至不能再写为止，如 257， 1 459等等，这类数共有几个？因为

12、前 2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为 ab显然 a+b<=9 , 且 a 不为 01 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 1 代表9个1， -代表10个空位我们可以在这 9个空位中插入 2个板，分成 3组，第一组取到 a 个 1，第二组取到 b 个 1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有 c10 2=45例 5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和， 直至不能再写为止，如 2349， 1 427等等，这类数共有几个？ 类似的，某数的前三位

13、为 abc， a+b+c<=9,a 不为 01 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -在9个空位种插如3板,分成4组，第一组取a个1,第二组取b个1,第三组取c个1 , 由于第二，第三组都不能取到空，所以添加 2块板设取到第10个板时，第二组取空，即b=0 ;取到第11个板时，第三组取空，即c=0。 所以一共有 c11 3=165 c 选板法例6： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒 （多不限 ），吃完为止， 求有多少种不同吃法？ o - o - o - o - o - o - o - o - o - o o 代表10个糖， -代表9块板10块糖， 9个空，插入 9块板，

14、每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一 天吃掉这样一共就是2A9= 512啦 d 分类插板例7： 小梅有 1 5块糖，如果每天至少吃 3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃 法？ 此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数 进行分类讨论最多吃 5 天，最少吃 1 天1 ： 吃1 天或是 5天，各一种吃法 一共2种情况2：吃2天，每天预先吃 2块，即问11块糖， 每天至少吃 1块，吃2天，几种情况？ c101=103：吃3天，每天预先吃 2块，即问9块糖，每天至少 1块，吃3天? c8 2=284 :吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？

15、 c6 3=20 所以一共是 2+10+28+20=60 种e 二次插板法例8 :在一张节目单中原有 6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加 3个节 目，共有几种情况？-o - o - o - o - o - o - 三个节目 abc可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插 8个空位，用最后个节目去插 9 个空位所以一共是 c7 1犹8 1犹9 1=504种（二）例题：10个相同的苹果放进3个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方 法？墨子解析：运用插板法，很容易得到答案为C 9 2=36.（即从9个空中任意取2个）o（十五）解不定方程组例题：小张、小李、小王三人到商场购买办公用品，

16、小张购买1个计算器，3个订书机，7包打印纸共需要316元，小李购买1个计算器，4个订书机， 10包打印纸共需要362元。小王购买了 1个计算器，1个订书机，1包打印纸 共需要（）A.224 元 B.242 元 C.124 元 D.142 元墨子解析：常规解法：（一）设购买1个计算器x元，1个订书机y元，1包 打印纸z元，依据题意得：x+3y+7z=316 （1）x+4y+10z=362 （2）（须求 x+y+z= ?）（1） X3 - （ 2）X 2,得： x+y+z=224(二)如果遇到不好凑系数，可以令系数最大的z=o,方程变为x+3y=316( 1)x+4y=362 (2)解的 X=17

17、8, Y=46, X+Y+Z=178+46+0=224.(十六)递推法 例题：四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。问共有几种不同的尝法？()A.6 种 B.9 种 C.12 种 D.15 种墨子解析：An=(An 2 + A n 1) X (n 1)(其中，n3,且 A 1 = 0, A 2=1)此递推公式可以产生一个全错位排列的结果数列：A1= 0;A2= 1;A3= (A1 + A2) X (3 1) = 2;A4= (A2 + A3)X (4 1) = 9;A5= (A3 + A4)X (5 1) = 44;A6= (A4 + A5)X (

18、6 1) = 265墨子认为全错排列一般考试我感觉不会超过6,考太大的也没有意思，记住公式就0K了，一定要记住4的全错排列是9,5的全错排列是44.，秒杀得 到B。例题：用七条直线最多可画出几个不重叠的三角形？A. 10 个 B. 11 个C. 12 个 D. 13 个墨子解析：记住就行了，直线数 3 4 5 6 7 8三角形1 2 5 7 11 14例题：有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法？墨子解析：这就是一个典型的斐波那契数列：登上第一级台阶，有1种登法；登上两级台阶，有2种登法；登上三级台阶，有3种登法；登上四级台阶，有5种登法因此，我

19、们可以得到这样的表格：楼梯级数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10走法情况 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89（十七）公式法1. 一根绳连续对折 N次，从中剪M刀，则被剪成（2的N次方*M+1 ）段2. 方阵问题：方阵人数二（最外层人数/4+1）的2次方N排N列最外层有 4N-4 人3. M个人过河，船能载N个人。需要A个人划船，共需过河（M-A / （N-A） 次4. 空瓶换酒的公式：A代表多少个空瓶可以换一瓶 XX，B代表有多少个 空瓶，C代表最多可以换到 XX的瓶数。公式为：B-（A 1 ）= C o 5. 星期日期问题：闰年（被 4整除）的2月有29日，平年（不能被4

20、整除） 的2月有28日，记口诀：一年就是 1,润年再加1; 一月就是2,多少再补算6.比赛问题，淘汰赛：只要冠军，N-1场比赛，决出1234名N场比赛。循环赛：单循环 C N 2，双循环A N 2 o最不利原则在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最 小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出 发分析问题，这就是最不利原则。下面通过具体例子说明最不利原则以及它的应用。例 1 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色 的小球各 20 个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少 有 4 个小球颜色相同？分析与解： 如果碰巧一次取出的 4 个小球的颜色都相同， 就回答是 “4，”那

21、么显然不对，因为摸出的 4 个小球的颜色 也可能不相同。回答是 “4是”从最 “有利”的情况考虑的，但 为了 “保证至少有 4 个小球颜色相同 ”，就要从最 “不利”的情 况考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情 况必然也能满足题目要求。“最不利 ”的情况是什么呢？那就是我们摸出 3 个红球、 3 个黄球和 3 个蓝球，此时三种颜色的球都是 3 个，却无 4 个球同色。 这样摸出的 9 个球是 “最不利 ”的情形。这时再摸 出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4 个小球颜色相同。所以回答应是最少摸出 10 个球。由例 1 看出，最不利原则就是从 “极端糟糕 ”的情况考虑 问题。如

22、果例 1 的问题是 “最少摸出几个球就可能有 4 个球 颜色相同 ”，那么我们就可以根据最有利的情况回答 “4个”。 现在的问题是 “要保证有 4 个小球的颜色相同 ”，这“保证 ”二 字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。例 2 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色 的小球共 18 个。其中红球 3 个、黄球 5 个、蓝球 10 个。 现在一次从中任意取出 n 个，为保证这 n 个小球至少有 5 个同色， n 的最小值是多少？分析与解： 与例 1 类似， 也要从 “最不利 ”的情况考虑。 最不 利的情况是取了 3 个红球、4 个黄球和 4 个蓝球，共 11 个。 此时袋中只剩下黄

23、球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄 球还是蓝球，都可以保证有 5 个球颜色相同。因此所求的 最小值是 12 。例 3 一排椅子只有 15 个座位， 部分座位已有人就座， 乐乐 来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。 问：在乐乐之前已就座的最少有几人？分析与解：将15个座位顺次编为115号。如果2号位、5 号位已有人就座，那么就座 1 号位、 3 号位、 4 号位、 6 号位的人就必然与 2 号位或 5 号位的人相邻。根据这一想 法，让 2 号位、 5 号位、 8 号位、 11 号位、 14 号位都有人 就座，也就是说，预先让这 5 个座位有人就座，那么乐乐无论坐在哪个座位，必将与

24、已就座的人相邻。因此所求的 答案为 5 人。例 4 一把钥匙只能开一把锁，现有 10 把钥匙和 10 把锁， 最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？分析与解：从最不利的情形考虑。 用10 把钥匙依次去试第 一把锁，最不利的情况是试验了 9 次，前 8 次都没打开， 第 9 次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥 匙（若没打开，则第 10 把钥匙与这把锁相匹配）。同理， 第二把锁试验8次第九把锁只需试验1次，第十把锁 不用再试（为什么？）。共要试验9 + 8 + 7 + 2 + 1 = 45 （次）。所以，最少试验 45 次就一定能使全部的钥匙和锁相匹 配。例5在一副扑克牌中，

25、最少要取出多少张，才能保证取出 的牌中四种花色都有？分析与解： 一副扑克牌有大、小王牌各 1 张， “红桃 ”、“黑 桃”、“方块”、 “梅花”四种花色各 13张，共计有 54 张牌。 最不利的情形是：取出四种花色中的三种花色的牌各 13 张，再加上 2 张王牌。 这 41 张牌中没有四种花色。 剩下的 正好是另一种花色的 13 张牌，再抽 1 张，四种花色都有了。 因此最少要拿出 42 张牌，才能保证四种花色都有。例 6 若干箱货物总重 19.5 吨，每箱重量不超过 353 千克， 今有载重量为 1.5 吨的汽车，至少需要多少辆，才能确保 这批货物一次全部运走？分析与解： 汽车的载重量是 1

26、.5 吨。如果每箱的重量是 300 千克（或 1500 的小于 353 的约数），那么每辆汽车都是 满载，即运了 1.5 吨货物。这是最有利的情况，此时需要 汽车19.5 T.5 = 13 （辆）。如果装箱的情况不能使汽车满载， 那么13辆汽车就不 能把这批货物一次运走。为了确保把这批货物一次运走， 需要从最不利的装箱情况来考虑。最不利的情况就是使每 辆车运得尽量少，即空载最多。因为 353X4V 1500，所以 每辆车至少装 4 箱。每箱 300 千克，每车能装 5 箱。如果 每箱比 300 千克略多一点，比如 301 千克，那么每车就只 能装 4 箱了。此时，每车载重301X4 = 120

27、4 （千克），空载1500-1204 = 296 （千克）。注意，这就是前面所 说的 最不利的情况”。19500-1204 = 16236，也就是 说，19.5吨货物按最不利的情况，装 16车后余236千克， 因为每辆车空载296千克，所以余下的236千克可以装在 任意一辆车中。（十八）综上所述，16辆车可确保将这批货物一次运走。（十）比例法参见：（一）整体思维参见：现在的试题有时候需要多种技巧一起结合进行秒杀，重点是整除思想和奇偶性，因数特性。多次相遇问题，注意第一次相遇俩人走的路程是1S,第二次路程是3S。第三次是5S,依次类推，接送类题目注意比例法的运用，车站题目注意体I会过程，大家好好

28、做做，加油详细解题过程的给最佳缴歹1.甲 乙两车分别从A、B两地出发，并在 A B两地间不间断往返行驶，已知甲 车的速度是15千米/小时，乙车的速度是每小时 35千米，甲乙两车第三 车相遇地点与第四次相遇地点差 100千米，求A、B两地的距离A、200千米B、250千米C、300千米D、350千米解析；画个草图ACDB C表示第三次相遇的地方，D表示第四次相遇的地方。 速度比是15 : 35=3 : 7全程 分成10份（其中甲走了 3份，乙走了 7份）第三次甲行的路程是：5*10*3/10=15份（相当于1.5S ）第四次甲行的路程是：7*10*3/10=21 两次相距5-1=4份，对应100

29、KM 所以10份对应的就是250KM2. 甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米，两人同时分别从泳池的两端出发， 触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间， 则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇了多少次？（2011年国考真题）A.2 B.3C.4 D.5解析:泳池长30米，两人速度和为90米/分,则两人相遇时所走的路程和应为 1X 30,3X 30，5X 30，7X 30，而 1 分50秒两人游了 90 X 11/6=165米，165米在 150米和 2 10米之间，所也最多可以相遇 3次。3. 甲乙两地之间有一条公路，李明从甲地出发步行往乙地，同

30、时张平从乙地出发骑摩托车往甲地。80分钟后两人在途中相遇，张平达到甲地后马上折回往乙地，在第一次相遇后又经过20分钟张平在途中追上李明，张平到达乙地后又马上折回往甲地，这样一直下去。当李明到达乙地时，张平追 上李明的次数是（）次。A. 5 B. 6 C. 4 D. 3解析:ABC .D80分钟后2人在B点相遇,20分钟后张平在C点追上李明，20分钟李明走的距离为 BC,而张平走的距离为2AB+BC=180分钟李明走的距离， 所以 V 明:V 平=20:180=1:9.也就是说，张在那里来回瞎晃9回，李才刚好到达乙地，所以直到李到达乙地，张一 共有九次会碰到李，其中有5次是迎面相遇的，4次是从后

31、面追上的！，所以张追上李 的次数是4次.4. 甲、乙两班学生到离学校 24千米的飞机场参观。但只有一辆汽车，一 次只能乘坐一个班的学生，为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某次下车后再步行去飞机 场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生，如果两班学生步行 的速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达飞机场？ A.1.5B. 2.4C.3.6 D.4.8解析：甲先坐车，乙走路，当汽车把甲班送到C点，甲班学生下车走路，汽车返回在B点处接乙班的学生，根据时间一定，路程的比就等于速度的比

32、：简单化下图A B C .D因为速度比是 7: 1很容易推导出AB:BC=1 : 3 （因为时间一定，路程比等于速度比。所以乙走的路程 AB比上车走 的路程AB+2BC （因为是到了 C点再回到B点，所以是2BC ）即AB:AB+2BC=1:7AB:2BC=1:6 AB:BC=1:3 同理 BC:CD=3 : 1 所以 AB : BC : CD=1:3:1 题目问的是那么汽车在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达飞机场”很明显是求CD段的长度，全程是 5份，CD占1份所以CD=24/5*1=4.8 5.某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100千米，团体中一部分人乘车先行，余

33、下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行 的那部分人，已经步行速度为8千米/小时，汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间？A.5.5 小时？B.5小时C. 4.5小时D.4小时解析：ABCD只需要找速度比根据速度比是 40: 8=5:1 算出 AB:BC=1:2总的就是1+1+2=4份观察车，车走了 1+2*3+1=8份=2S所以T=2S/40=200/40=5小时6.甲乙两班同学同时去离学校12.1千米的陵园，甲班先乘车后步行，乙班先步行，当送甲班同学的车回来时乙立即乘车前去。两班步行速度都是每小时5千米，车速度都是每小时40千米，已知两班同时到

34、达陵园，那么甲在离陵园多远的地方下车？A 2千米B2.2千米C2.5千米D3千米解析：设甲在C点下车，乙在B点上车ABCD时间一定，路程比等于速度比速度比是8 : 1路程比是 AB+2BC:AB=8 : 1所以2BC:AB=7:1BC:AB=7:2 三段的比是 2 : 7 : 2 12.1*2/11=2.2 7.有两个班的小学 生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送。第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生幵始步行；车到途中某处，让第一班学生下车步行， 车立刻返回接第二班学生上车并直接幵往少年宫。学生步行速度为每小时4公里，载学生时车速每小时40公里，空车每小时50公里。那么，要使两班学生

35、同时到达少年宫，第一班学生步行了全程的几分之几？（学生上 下车时间不计）（）A. 1/7 B. 1/6 C. 3/4 D. 2/5解析：ABCD因为他们最后要同时到达终点，而且人的速度又是一样的，设 AB为1，BC为X， 人走的距离始终都是一样的，所以有以下等式 1/4=x/50+（x+1）/40， x解出来等 于5,那么全程就是7,所以第一班学生走了 1/78. 某公交线路共有15站。假设一辆公交车从起点站出发，从起点站起，每 一站都会有都到前方每一站下车的乘客各一名上车，那么站第九站和第十 站之间，车上有多少人？A. 48 B. 54 C. 56 D. 60 （四川 2008）解析：方法一

36、，一般解题方法：站台：1 ，2 3，4，56，7，8，9，10上车：14，13，12，11 ，109 ，8，7，6，5下车：0 , 1 ，2，3，4 5，6，7，8，9 第9到第 10之间是：（14+13+12+ +6） - （0+1+2+3+ 8） =54方法二1到9是9站，9到15是6站，即前9站每一站上车的乘客都还剩下6个人，6X9=549. 某公共汽车从起点幵往终点站，途中共有13个停车站。如果这辆公共汽 车从起点站幵出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客 从这一站到以后的每一站。为了使每位乘客都有座位，那么，这辆公共汽 车至少应有多少个座位？【山东 2005】A.48

37、B.52 C. 56 D.54解析：方法一，求最少应该有多少个座位，意思就是求车上人数最多为多少，车在第八站到第九站的时候车上人数最多，前 8站上车的人都还剩下7人，总人数为7*8=56方法二，15=7+8，最大人数为总站个数分解成的最大的俩数的乘积，即为 7*8=56 路程问题是必考题目，大家一定要高度重视， 常用解题方法：比例法。下面我出的题目很多都能用比例法解决，大家一起做做1.甲乙两人同时从山脚幵始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人下山的速度都是各自上山速度的 2倍。甲到山顶时乙距山顶还有500米，甲回到山脚时乙刚好回到半山腰。求从从山脚到山顶的距离。解析：当甲到达山顶的时候甲走的距

38、离为 S，此时乙走的距离为S-500，甲从山顶到 下山这段时间，乙走了 500+S/2，由于下山的速度为上山的 2倍,可以把上山的500米转化为下山的 1000 米，这样乙走了 1000+S/2. （S-500）/S=（1000+S/2）/S，解的 S=3000.墨子提示:这个题很典型，做题的时候一定要注意转化一步，转化完此题就非常简单了 .2.甲从A地步行到B地，出发1小时40分钟后，乙骑自行车也从同地 出发，骑了 10公里时追上甲。于是，甲改骑乙的自行车前进，共经5小时到达B地，这恰是甲步行全程所需时间的一半。问骑自行车的速度是多 少公里/小时？解析：要注意到不管是甲还是乙骑车，两个人的速

39、度都是一样的，而后面那个5小时是指甲整个过程的，那么因为甲早出发了1小时40分，所以骑车完成全程的时间 我们要减去这个1小时40 分,也就是5-（5/3） =10/3小时，而甲走全程需要的时间是 5*2=10小时，也就是说车和人的速度是 3： 1车走10公里人就要走10/3公里，这个时候他们相遇了，说明这个时候 人已经走了 10-10/3=20/3 公里人是速度（20/3）/（ 5/3）=4公里/小时所 以单车的速度是12公里/小时.3. 辆车从甲地幵往乙地，如果提速20%， 可以比原定时间提前一小时到达。如果以原速走 120千米后，再将速度提高25%，贝V可提前40分钟到。那么甲、乙两地相距

40、多少千米?解析：解法一如果把车速提高 20%,则可比原定时间提前1小时到达B速 度之比5： 6 ,时间之比是6： 5 ,差1个小时说明原始速度行驶全程需 要6小时120千米后，速度之比4 : 5 ,时间之比5 : 4，差1个比例点 对应2/3个小时则原速度行驶这段路程所需时间是10/3小时。说明前面120千米是6- 10/3=8/3小时120 : 8/3二a : 6解得a = 270千米解法二方 程法 S/V-S/1.2V=1 S/V=120/V+（S-120）/1.25V+2/3解的S=270千米墨子提示：最好要掌握比例法，如果实在不会那就用方程法吧，不 过方程法费时间，不推荐使用4A、B两

41、站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分 别停在A站和B站，甲火车4分钟走的路程等于乙火车 5分钟走的路程.乙 火车上午8时整从B站幵往A站，幵出一段时问后，甲火车从A站出发幵往B站，上午9时整两列火车相遇.相遇地点离A、B两站的距离比是15:16. 那么甲火车在（）从 A站出发幵往B站.（07全国）A.8时12分B.8时 15分C.8时24分D.8时30分解析：:A C .B根据题意，甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程，所以V甲:V乙=5:4那么我们设甲每分钟走的路程为 5,乙每分钟走的路程为4,设甲在乙幵车X 分钟后才发车（60-X）*5/60*4=15/16,解的X=15分钟,所以甲

42、在8点15分才 从A站出发幵往B站.5. 猎犬发现前方9米远的地方有一只奔跑着的兔子，立刻追赶，猎犬的 步子大，它跑5步的距离兔子要跑9步，但是兔子速度快，猎犬跑 2步的 时间兔子跑3步，问猎犬跑多少米才能追上兔子？A54 B67 C49 D34解析：猎狗一步的距离：兔子一步的距离=9:5，猎狗频率：兔子的频率=2:3 , 所以猎狗的速度：兔子的速度 =18:15=6:5 X/(X-9)=6/5,解的X=54. 6. 一列队 伍沿直线匀速前进，某时刻一传令兵从队尾出发，匀速向队首前进传送命 令，他到达队首后马上以原速返回，当他返回队尾时，队伍行进的距离正 好与整列队伍的长度相等。问传令兵从出发

43、到最后到达队尾所行走的整个 路程是队伍长度的多少倍？(2010年425联考)解析：ABC-B '(D)在C点的时候传令兵追上排头，这段时间传令兵走的距离为AB+BC,当传令兵到达B的时候,排头走到B '点,这段时间传令兵走的距离为BC,队伍走的距离为 CD,BC+CD=AB (AB+BC)/BC=BC/CD,解的 BC=V2/2AB,传令兵 走的总距离为 AB+2BC(1 + V2)AB7.小王从家幵车上班，汽车行驶10分钟后发生了故障，小王从后备箱中取出自行车继续赶路。由于自行车的速度 只有汽车的3/5，小王比预计时间晚了 20分钟到达单位。如果之前汽车再 多行驶6公里，他就

44、能少迟到10分钟。问小王从家到单位的距离是多少 公里？ (2010年918联考真题)A 12 B 14 C 15 D 16解析:ACB在C点汽车坏了，由于自行车的速度为汽车的3/5,小王比预计时间晚了 205.5厘米分钟,根据比例法,汽车行驶BC段用的时间为30分钟,也就是汽车幵完全程 用40分钟，汽车多行6公里，就少迟到10分钟,也就是说汽车多行驶12公里他就不 用迟到了，即为全程为12公里+10分钟的车程,30分钟行驶了 12公里，所以10分钟 行驶4公里，故全程为16公里.8. 一个圆的周长是5.4米，两只蚂蚁从一条直 径的两端同时出发沿圆周相向爬行，这两只蚂蚁每秒钟分别爬行 和3.5厘

45、米。它们每次爬行1秒、3秒、5秒（连续奇数）就调头爬行。两只蚂蚁第一次相遇时，已爬行了多长时间？（）A. 6分钟B. 12 分钟C. 15 分钟D. 20 分钟解析：1秒 1秒:AB3 秒3秒半圆的周长为540CM/2=270cm,以1秒和3秒为一个周期，根据上图可以发现，3秒的时候其实是向下走了 2秒的估计，2个蚂蚁的走的距离和为（5.5+3.5）*2=18CM，270/18=15,即经过15个周期两只蚂蚁相遇，时间为 1+3+5+7+59=900秒=15分钟。9. 一条环形赛道前半段为上坡，后 段为下坡，上坡和下坡的长度相等，两辆车同时从赛道起点出发同向行驶 ， 其中A车上下坡时速相等，而

46、B车上坡时速比A车慢慢20%下坡时速比A 车快20%,问A车跑到 第几圈时，两车再次齐头并进?（2011年424联考真 题）A.23 B.22C. 24 D.25解析：此题还是比较简单的，设 A车速度是Va,那么Ta=2S/Va，Tb二S/0.8V a + S/1.2Va=50S/24Va, A车行25圈的时间是50S/Va, B车行24圈的时间是50S/Va,所以A车跑到第25圈两车再次齐头并进。 也就是A车多跑了一圈。10. 小王步行的速度比跑步慢50%跑步的速度比骑车慢 50%如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需要2小时。问小王跑步从 A城到B城需要多少分钟？ （2011年国考真题

47、）A.45 B.48C.56 D.60解析：V步行：V跑步：V车=1:2:4T步行：T跑步：T车=4:2:1骑车从A城去B城，再步行返回A城共需要2小时，因为T步行：T车=4:1.所以骑 车从A到B用的时间为2/5小时=24分钟，跑步的时间为骑车的2倍，所以 时间为48分钟.一、因子特性法”的含义因子特性法”即利用式子中是否包含某些特定因子来进行答案的排除及选择的一种方法，其应用的核心在于 见到乘法想因子”包含两种情况：若等式一边包含某个因子，则等式另一边必然包括该因子。”若等式一边不包含某个因子，则等式另一边也必然不包括该因子。同时，所选 因子”需同时具备如下性质：易区分性：即因子在选项中具

48、有区分性。如利用某因子可以排除掉更多选项， 则该因子就更具有区分性。”易判断性：即易于判别是否包含该因子。比如判断是否包含3因子就比判断是 否包含7因子简单，因此一般情况下 3因子比7因子具有更易判断性。二、典型例题【例1】五个一位正整数之和为 30,其中两个数为1和8,而这五个数的乘积 为2520,则其余三个数为（）A. 6，6，9B. 4，6，9C. 5，7，9D. 5，8，8【答案】C。五个数的乘积为2520, 2520包含最明显的5因子，5因子在该题 中既利于判断，又具有明显区分性，排除 A和B;同时，2520包含有3因子，因此 排除D，答案选C。【例 2】某剧院有 25 排座位，后一

49、排比前一排多 2 个座位，最后一排有 70 个 座位。这个剧院共有多少个座位 ?( )A. 1104B. 1150C. 1170D. 1280【答案】B。该题是明显的等差数列求和。利用求和公式：总数二项数X中位数=25灿位数；虽然中位数不知道，但出现乘积形式，见到乘积想因子，因此总数应该 有 25 因子，即可以被 25整除，选项中只有 B 可以被 25整除，因此选 B【例 3】有一队士兵排成若干层的中空方针，外层共有68 人，中间一层共有 44人，该方阵的总人数是 ( )A. 296B. 308C. 324D. 348【答案】B。方阵外层人数和相邻层人数差 8，是公差为8的等差数列。利用求 和

50、公式：总数二层数X中位数=层数44;虽然层数未知，但出现乘积形式，见到乘积想 因子，因此总数应该有 4 因子和 11因子。但利用 4 因子不能进行有效的排除选项， 缺乏区分性。因此利用 11 因子进行判别。选项中只有 B 可以被 11 整除，因此选 B例 1-例 3 中，利用常规方法也可容易求出答案，很多同学也倾向于直接解。但 速度明显不如利用 “因子特性”快速便捷。 同学们处理这类问题时应刻意锻炼 “因子特 性”思维。【例 4】小明骑车去外婆家，原计划用 5小时 30分钟，由于途中有 3又3/5千米道 路不平，走这段路时，速度相当于原计划速度的3/4,因此，晚到了 12分钟，请问小明家和外婆

51、家相距多少千米 ?A. 33B. 32C. 31D. 34【答案】A。该题属于行程问题，距离二速度 时间二速度X11/2二(速度X11)/2，因 此该题转化为求速度。速度在该题中很难求出，同时，发现该题又出现了乘法，见 到乘法想因子，发现 11因子具备高区分性，选项中只有 A 包含11因子，因此选 A【例 5】甲、乙、丙三人合修一条公路，甲、乙合修 6 天修好公路的 1/3，乙、 丙合修 2 天修好余下的 1/4，剩余的三人又修了 5天才完成。共得收入 1800元，如 果按工作量计酬，则乙可获得收入为 ?( )A. 330 元B. 910 元C. 560 元D. 980 元【答案】B。该题属于

52、工程问题，工程问题的核心在于设“ 1,即设出工程总量。但该题总量很难设出，因此，该题属于工程问题中的难题。我们看求什么，乙总收 入二乙工作天数X每天的报酬=(6+2+5) 每天的报酬=13X每天的报酬;虽然每天报酬我 们未知，但又出现乘法， “见到乘法想因子 ”，利用 13因子进行判别。选项中只有 B 可以被 13整除，因此选 B例 4-例 5 中，利用常规方法很难求出答案。对于这种难题就是暗示同学们有简 单方法，一般是可以利用排除法进行选择的。而 “因子特征 ”排除是最常见的带入排 除方式。【例 6】某商场促销，晚上八点以后全场商品在原来折扣基础上再打 9.5 折，付 款时满 400元再减

53、100元。已知某鞋柜全场 8.5折，某人晚上九点多去该鞋柜买了 一双鞋，花了 384.5元，问这双鞋的原价为多少钱 ?( )A. 550 元B. 600 元C. 650 元D. 700 元【答案】B。该题属于经济利润问题，根据题意可知：原价=(384.5+100)/(0.85 0冷5) =(484.5)/(0.85 0.93),对于该式子明显很难算出，因此想到利用因子特性。484.5里面有3因子， 而0.85和0.95里面都没有 3因子， 因此 3因子没有被约掉， 因此答案 中必然包含 3因子。选项中只有 B 包含 3因子，因此选 B例 6 中，式子已经列出但直接运算难求出答案。这种题型通常情

54、况应用因子特 性进行排除。【例 7】某剧场共有 100 个座位，如果当票价为 10 元时，票能售完，当票价超 过 10元时，每升高 2元，就会少卖出 5张票。那么当总的售票收入为 1360元时， 票价为多少 ?( )A. 12 元B. 14 元C. 16 元D. 18 元【答案】C。总收入= 1360=票价標数，因此若票价包含某因子则等式另一边 1360 也包含该，同时，若 1360不包含某因子，则票价也必然不能包含该因子 ;1360不包 含 3因子，而 A 和 D 包含 3因子，因此 A、D 错误;同理， 1360不包含 7因子，因 此B错误，答案选C【例 8】赵先生 34 岁，钱女士 30

55、 岁，一天，他们碰上了赵先生的三个邻居， 钱女士问起了他们的年龄，赵先生说：他们三人的年龄各不相同，三人的年龄之积 是 2450，三人的年龄之和是我俩年龄之和。问三个邻居中年龄最大的是多少岁?A. 42B. 45C. 49D. 50【答案】C。三人的年龄之积是2450，2450不包含3因子，因此选项中也不能 包含3因子;排除A、B;假设另外两个人年龄为x，y;假设C正确，则有：，解得x=10 , y=5，符合题意，因此选 C例1-例6中，属于情况一，即等式一边包含某因子，则另一边必然包含该因子例2-例8中，属于情况二，即等式一边不包含某因子，则另一边必然不包含该 因子三、总结因子特性”不仅是秒

56、杀的利器，而且不受题型的约束。只要在等式中出现乘法，便可考虑应用因子特性”进行排除。因此，考生在备考过程中一定要熟练掌握因子特性法”，牢记 见到乘法想因子，见到乘法想因子”，培养成 因子特性”排除思维， 搭上数学运算的速度直通车。因子特性法”秒杀数量关系4.甲、乙、丙、丁四个队共同植树造林，甲队造林的亩数是另外三个队造林总 亩数的1/4，乙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的1/3，丙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的一半，己知丁队共造林3900亩，问甲队共造林多少亩?()B. 3600A. 9000C. 6000D. 45005.100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数 都不一样，那么，参加人数第四多的活动最多有几个人参加?()B. 21D. 23A. 22C. 246个水库在年降水量不变的情况下，能够维持全市12万人20年的用水量。