高数第二章习题课

1、1主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞 高等数学 第十三讲2习题课一、一、 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用二、二、 导数和微分的求法导数和微分的求法 导数与微分 第二章 3一、导数和微分一、导数和微分导数和微分是微分学的两个重要的概念，导数反映了当自变量变化时函数变化的快慢程度；而微分是函数增量的线性主部。这两个是不同的概念，但它们之间有着密切的联系。4( (一一) ) 导数的概念及应用导数的概念及应用1、导数的定义、导数的定义 :xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00当时,为右导数0 xx 0000lim)(xxxfxfxfxx00)()(lim0 xxxfxfxxx

2、fxffxx)0()(lim)0(000特别导函数000. 2xfxfxf存在时,为左导数0 xx 0000lim)(xxxfxfxfxx当xyxfx00lim53、 函数连续与可导性的关系函数连续与可导性的关系4、导数的几何意义、导数的几何意义 在几何上表示曲线 y = f ( x ) 在点 处00,xfx切线方程000 xxxfxfy法线方程0001xxxfxfy可导连续即:连续是可导的必要条件。0 xf 切线的斜率，即0 xfk5、高阶导数的定义、高阶导数的定义形式上和一阶导数类似，如 处的二阶导数：在0 xxfxxfxxfxfx 0000lim 000limxxxfxfxx6(二二)

3、初等函数的导数初等函数的导数1、函数的和、差、积、商求导法则、函数的和、差、积、商求导法则若 xvvxuu可导，则vuvuvuvuvu2uu vuvvv熟悉导数及微分的计算是本章的基本要求之一，除了掌握基本初等函数的求导公式、求导四则运算法则、反函数、复合函数的求导法则外，对一些特殊函数的求导方法， 如：隐函数求导法则；参数方程所确定的函数的求导方法，及对数求导法也应熟悉。 210vv xvv 7 在对应的点处处可导，在点设ufyxxu 处可导。且有在点则复合函数xxfyxdududydxdyd或 xufxy1、在具体求导时必须注意分析函数复合过程与2、复合函数求导法、复合函数求导法亦可导，中

4、间变量。计算时应由外层逐一向内层计算。注：注：2、在需要时，可能要引入中间变量，求完导数后，最后的结果不应该保留中间变量。84、基本初等函数的导数公式（如书）、基本初等函数的导数公式（如书）3、反函数求导法、反函数求导法设 yx是单调连续函数，在点 y 处可导，且 , 0 y则其反函数 f ( x ) 在对应点 x 处也可导，且有 .1yxdyd9 lnnxxnaaa 2sinsinnxxn 2coscosnxxn nnnnnvuvunnvunvuvu 21! 21 xnxee5 5、高阶导数常用公式、高阶导数常用公式 11 !ln 111nnnnxx )(1nxa1)(!) 1(nnxan)

5、(1nxa1)(!nxan10若 tytx对参变量 t 可导，则 y 对 x 的导数： tttxdydy ttxdydxdydy 22 tytx( (三三) ) 由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数11（四（四) 隐函数的导数隐函数的导数 所确定的可导函数，是由方程若0,yxFxfy 求得。可以由方程则0,xfxFxddxf（逐项求导）求隐函数的二阶导数的两种方法1、求出对 x 再求一次导数，应注意：y的表达式中 ,xyy 即 y 是 x 的函数。2、方程两边对 x 连续求两次导数， 然后解出.y ,y12 xvxuy 称为幂指函数，（不是指数函数或幂函数）其求导方法1、用对数

6、求导法，两边取对数，得：uvylnln两边对 x 求导得：uuvuvuyvln2、将其化为uveylnuvteytln利用复合函数的求导法则求出.y（五）幂指函数的导数和对数求导法（五）幂指函数的导数和对数求导法13（六）利用导数定义解决的问题（六）利用导数定义解决的问题5)微分在近似计算与误差估计中的应用4)用导数定义求极限2) 求分段函数在分界点处的导数（左、右导数存在并相等），及某些特殊 函数在特殊点处的导数;3) 由导数定义证明一些命题.1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则xxxCxcos)(sin;)(ln;0)(1其他求导公式都可由它们及求导法则推出;14二、二、 导数和微分的

7、求法导数和微分的求法1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导数注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法对数微分法(3) 参数方程求导法极坐标方程求导(4) 复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化转化(5) 高阶导数的求法逐次求导归纳 ;间接求导法;利用莱布尼兹公式.151 1、利用导数的定义求极限、利用导数的定义求极限3limx33arctanxx3limx33arctanarctanxx3arctanxx3211xx41例例1 求极限16例例2.2.设)(xf在2x处连续,且, 32)(lim2xxfx求. )2(f 解解

8、: 由题意可得)2(f)(lim2xfx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx317)(xf设0)(,xxf在讨论解解:)(lim0 xfx又xfxfx)0()(lim0例例3.所以 )(xf0 x在处连续. 即)(xf0 x在处可导 .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x处的连续性及可导性. xxxx120sinlim0)0( f18例例4 4 设 xf01sinxxx00 x在 0 x可微，求的取值范围。 解解 xxxxxfxx1sinlim1sinlim01001 00 f即导数存在即可微。19 3arctan)

9、sin1ln(xxxxf求 0 .f 解：解： xfxffx)0()(lim00arctan)sin1ln(lim30 xxxx 00 f1例例5 已知20.,114)(22nyxxy求设解xxxy)1111(234xx,) 1(!) 1()11(1)(nnnxnx,) 1(!) 1()11(1)(nnnxnx.) 1(1) 1(1 !) 1(2311)(nnnnxxny例例6 6212、复合函数求导、复合函数求导例例7 已知 xexfarctan求 .fx解：解： xeexfxx21112xxexe21222，设)0(lnxxxy的值。及时，求当)()(1yxyxx

10、 解解：（用隐函数求导） , 11yx时，易知当方程两边对y求导得, xxx1121) 1 ( x所以上式两边再对y求导得, ,1102xxxxxx 81) 1 ( x所以例例8 83、反函数求导、反函数求导234、隐函数求导、隐函数求导例例9 设函数 xxyyxxyylnsin是由方程所确定，求.0 xy解：解：方程两边同时对 x 求导得yxyyxcos将 x=0 代入原方程，得10lnyy代入 (*) 有1110 xy10 xy（*）两边对x 求导 2sinyxyyx0将110yyx代入上式得20 xyyxyxy 2cos 221xyyxyy *11xyy24设函数,sin1xxeyx求.

11、y提示： 利用对数求导法，两边同时取对数ylnx21xln41xsinln81两边同时对 求导xy1y221xx41xsin181xcos y例例1010255 5、参数方程求导、参数方程求导222sin1xtttyy 确定函数, )(xyy 求d.dyx解解: :方程组两边对 t 求导,得txddt 2txddd2d1 cosytty故xydd(1)(1 cos )tty22 ttyddcos ytydd0) 1(2ttyddtxdd例例11 11 设由方程26在求对数螺旋线er 2线方程。解解：因为sincosryrx得2dydx例例12cosesineddx对 求导，ddy)sin(co

12、se)cos(sinesincoscossin2 对应点处的切2022xye1 故所求切线方程为2.yex 27例例13 13 设1lim)() 1() 1(2xnxnnebaxexxf试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求. )(xf 解解: :)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1时x;)(axf时，1x.2)(xxf) 1 ()1 ()1 (fff) 1 () 1 (ff得处可导，在利用1)(xxf即(1 ),fab12(1)(1)fab(1 )1,f28, 1,2ba2) 1 ( f1,21,2)(xxxxf)(xf 是否为连续函数 ?判别判别:1

13、()(1)lim1xaxbabfax)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1时x,)(axf时，1xxxf2)(211(1)lim2,1xxfx121(1),abab 296、 函数的微分函数的微分（1）微分的定义设 xfy 在 x 的某领域内有定义，若xoxAy（A是与x无关的常数）则称y的线性主部xA 是 xfy 在 x 处的微分。记为：xAdy微分的两个特点：1）dy是关于自变量增量x的线性函数。2）xodyy（2） 可导与可微的关系可导可微xyx0limA xdxfyd30（3） 微分的运算法则设 xvvxuu是可微函数vdudvudvduudvvud2vvduud

14、vvudvdvvd211 0 xv（4） 一阶微分形式的不变性设 u 是自变量 udufdy设 u 是中间变量 xu ( )dyfxx d x xdxud udufdy即：无论 u是中间变量还是自变量均有 udufdy317、 微分的应用微分的应用求近似值 1） 当00 xf且00 xxx 000 xxxfxfxf2） 当 00 f且0 x xffxf0032例例1414试分析,sinxdxxd,)sin(22xdxxd,sinxxd22)sin(xdxxd各表示的意义？33例例1 5 已知xeyx2sin2求.cosxddy解解dxxedyx)2cos22(2xdxxdsincoscosdy

15、dxxex2cos222xsin34)(xfy 是由方程 确定，求yyx .dy解：解：方程两边同时取对数yyxlnln取微分xdx1ydylnydyy1xdyxydln11例例16 设函数35例例17 设函数 xyy 是由方程xyxyxsinln32所确定。求00,.xxd yy解：解：利用一阶微分形式的不变性，yxydxxd22xydx23将 x = 0 代入原方程，得 y 1 10 xy 代入上式，得0,xd yd x方程两边同时微分xdyxdyxdsin)(ln32ydx3xxdcos36例例18 已知 xfexfyln其中 f ( x ) 可微，求 d y .解：解： 直接运算： x

16、feyd xdxfxfxfxlnln1例例19 设函数 xyy 是由方程yxyx2所确定。求0 xyd利用一阶微分形式的不变性，方程两边同时微分：将 x = 0 代入原方程，得 y 1 解解ydxdydxxdyyx2ln2将 x = 0 y 1 代入上式，整理得xdydx) 12(ln037作业作业 P166 自测题二38 自测题第二章一元函数微分学 391 1、求下列函数的导数xeyxcos) 1 (2解：解：2xeyxx cos2()sin x222)2(axxy解：解：22axy2222xaxx2222)(axxax22axx2222322)()(2axaxxaxx222223)(2ax

17、axxax401、 求下列函数的导数)1arctan() 3(2xy解：解：22)1 (12xxyxxyarctan)4(解：方法一解：方法一 等式两边取对数得yy42222xxx方程两边求导得则xxylnarctanlnxxxxarctan1ln2)arctan1ln(2arctanxxxxxyx411、 求下列函数的导数xxyarctan)4(解：方法二解：方法二 等式为)arctan1ln(2xxxx方程两边求导得则)arctan1ln(2arctanxxxxxyxxxeylnarctanxxeylnarctan)ln(arctanxxxxelnarctan421、 求下列函数的导数)(

18、sinln)5(23xy 解：解：xxx2sincossin2223ln (sin)yx )ln(sin2x223ln (sin)x226ln (sin)cotxx431、 求下列函数的导数422) 1(1)6(xxxy解：解：等式两边取对数得121124122xxxxxyy方程两边求导得则)1ln(ln1ln41ln22xxxy121124122xxxxxy422) 1(1xxx442、 设函数)(xyy 解：解： 方程两边对x求导得则)1 (yeyxyyx由方程1yxexy所决定，求.00 xxyy及因 x = 0 代入原方程得 y = 0 , 故10ddxxy直接将0, 0yx代入上式得

19、 方程两边再对x求导得)1(22yyeyxyyx 10ddxxy将0, 0yx代入上式得 20dd22xxy452xtt) 1ln( ty求22.d ydx解解：xdyd) 1ln(t2()tt 1121tt1(21)(1)tt3、 设22dxyd21231tt12t2243(231) (21)tttt221231xttytt dxyd464. 求下列极限11(1)lim.1sinxxxeex解法一解法一:原式tettsinlim0te型002xt1令teettt1lim20解法二解法二: 原式tettsinlim0te2)(lim0ttteetettt0elim474. 求下列极限10(2)

20、lim()xxxex解法一解法一:原式xxxexe10)1 (lim型1xexxxee10lim2e解法二：解法二：原式xxexxe1lim02exxxxe10) 1(1lim)11(lim0 xexxe484. 求下列极限210(3)lim cosxxx)1 (解法一：解法一： 原式201coslimxxxe21 e210) 1(cos1limxxx0sinlim2xxxe20coslnlimxxxe解法二：解法二：原式xxxxecos2sinlim021e49(4)011lim()sinxxxx220sinlimxxxxx012coslim12xxxx解法解法2 2 因为33sin()6x

21、xxo x，则011lim()sinxxxx220sinlimxxxxx233201()6lim1xxxxxo xx50 xxx2tan)1 (lim1xxx2cot1lim12解法二解法二)22tan(1lim1xxxxxx2tan)1 (lim12sin2cos1lim1xxxx2xxx2cos1lim1xx2sin21lim1)2tan(cotxx（5 5）)1 (21lim1xxx51(6) 21lim( arctan)xxxx21lim( arctan)xxxx21lim(1( arctan1)xxxx21( arctan1)limxxxxe1, tx21lim( arctan1)x

22、xxx30arctanlimtttt13 2131lim( arctan)xxxex解解 令 则52（7） ln(1)xxx lnxx解解: 因为当或所以所以)sinlnarctan(limxxxx1|sin|xxlnsinxxxlnsinxxxlim arctan(lnsin )2xxxxlnsin(1)xxxx 53(8)10ln(1)lim2xxxx2ln(1)limxxxxe0111lim2xxxe011lim2(1)2xxxxee10ln(1)lim1+xxxxx54求由方程)ln()(2yxyxxy的微分解解：方程两边同时微分得)(ln(2dydxyxdxdy整理得得5、)(dyd

23、xdxyxdyyx)ln(2)ln(3所确定的函数)(xfy .dydxyxyxdy)ln(3)ln(2则55求曲线tytx33cos,sin解解：该曲线为：6、在对应4t处的切线方程和法线方程。tytx33cossin方程组两边对 t 求导,得txdd故4ddtxy4sincostttttcossin32tydd)sin(cos32tt tyddtxdd4t1所求切线方程为：)42(42xy2444xy所求法线方程为：4242xy即22 xy即xy 567 7、,312)(23xxxf求)(xf在3 , 1解解: : 求导得令91, 0 xx故0设函数上的的最大值和最小值。xxxf326)(

24、2)91(6xx; 0)0(f;7291)91(f;37) 1(f51)3(f比较可知：51)3(f为最大值；37) 1(f为最小值。)(xf在3 , 1上578、（1） ,0:时当证明x.11)11ln(xx证证: 因为11ln(1)lnln(1)ln(0)xxxxxx故原不等式成立.1ln(1)lnxx0 x 111xxx588、（2） 33sin()3!xxxo x01,x证当时明:2sin1+.2xxex证证: 因为23-31()2!3!xxxexo x 故原不等式成立.01x232sin1+1.232xxxxex 599、 确定常数ba,使函数)(xf011xxx)(bxa0 x在处

25、连续可导。解解 0lim0 xf21 0lim0 xfa 0f于是由连续的充要条件得 021fa xxxfx2111lim000 xbxab81xx 110limxxx2120211limxxxx xbxfx2121lim00 xxx221121lim0 xxxx1411lim0 xxxx1421lim081b21a6010、求函数)1ln()(2xxf的单调、凹凸区间，极值和拐点。解解 定义域).,(212)(xxxf02221)1 (2)(xxxf 01 x列表可见单调、凹凸区间 )(xf )(xf )(xf1,101 , 0, 1极小值为 00 f曲线拐点（-1,ln2）（1, ln2）

26、.0 x01x极小拐点221)1)(1 (2xxx0)0 , 1(0拐点6111、 应用拉格朗日中值定理证明,1.xeex x证证 tetf, 1 xt此函数在满足拉格朗日定理的条件，则有) 1(1xeeexx1而ee ) 1( xeeex) 1( xeeex设. 1) 1(xxeeex. 1xexex则有不等式可表示为621212、设axafxfxg)()()(证：证：2)()()()()(axafxfaxxfxg0)(xg)(xf在 a , b 上连续，在 (a , b) 内二阶可导，且, 0)( xf试证明在 (a , b) 内单调增加。( )0,( )( )fxfxfax0)(xg在 (a , b) 内单调增加。2( )()( )()()fx xafxaxa631212、设axafxfxg)()()(证：证：2)()()()()(axafxfaxxfxg)()()()(afxfaxxfxh0)(xg当