高考数学概念方法题型易误点技巧总结下

1、更多内容尽在高考数学概念方法题型易误点技巧总结（八）圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点f，f的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段ff，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点f，f的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|ff|，定义中的“绝对值”与|ff|不可忽视。若|ff|，则轨迹是以f，f为端点的两条射线，若|ff|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点，在满足下列条件的平面上动点p的轨迹中是椭圆的是 a b c d（答：c）；（2）方程表示的曲线是_（答

2、：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点及抛物线上一动点p（x,y）,则y+|pq|的最小值是_（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（abc0，且a，b，c同号，ab）。如（1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为_（答：）；（

3、2）若，且，则的最大值是_，的最小值是_（答：）（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（abc0，且a，b异号）。如（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_（答：）；（2）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线c过点，则c的方程为_（答：）（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_（答：）（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦

4、点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点f，f的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；准线：两条准线； 离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭

5、圆越扁。如（1）若椭圆的离心率，则的值是_（答：3或）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_（答：）（2）双曲线（以（）为例）：范围：或；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线； 离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；两条渐近线：。如（1）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于_（答：或）；（2）双曲线的离心率为，则=（答：4或）；（3）设双曲线（a>0,b>0）中，离

6、心率e,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_（答：）； （3）抛物线（以为例）：范围：；焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线； 离心率：，抛物线。如设，则抛物线的焦点坐标为_（答：）；5、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上1；（3）点在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不

7、一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_（答：(-,-1)）；（2）直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_（答：1，5）（5，+）；（3）过双曲线的右焦点直线交双曲线于a、b两点，若ab4，则这样的直线有_条（答：3）；（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两

8、种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：p点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；p点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；p在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；p为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切

9、线和一条平行于对称轴的直线。如（1）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_（答：2）；（2）过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_（答：）；（3）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于a、b两点，若4，则满足条件的直线有_条（答：3）；（4）对于抛物线c：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线c的位置关系是_（答：相离）；（5）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于p、q两点，若线段pf与fq的长分别是、，则_（答：1）；（6）设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为_(填大于、小于或等于) （

10、答：等于）；（7）求椭圆上的点到直线的最短距离（答：）；（8）直线与双曲线交于、两点。当为何值时，、分别在双曲线的两支上？当为何值时，以ab为直径的圆过坐标原点？（答：；）；7、焦半径（圆锥曲线上的点p到焦点f的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示p到与f所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆上一点p到椭圆左焦点的距离为3，则点p到右准线的距离为_（答：）；（2）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；（3）若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_（答：）；（4）点p在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右

11、焦点距离的两倍，则点p的横坐标为_（答：）；（5）抛物线上的两点a、b到焦点的距离和是5，则线段ab的中点到轴的距离为_（答：2）；（6）椭圆内有一点，f为右焦点，在椭圆上有一点m，使 之值最小，则点m的坐标为_（答：）；8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ，且当即为短轴端点时，最大为；，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：；。如（1）短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于a、b两点，则的周长为_（答：6）；（2）设p是

12、等轴双曲线右支上一点，f1、f2是左右焦点，若，|pf1|=6，则该双曲线的方程为 （答：）；（3）椭圆的焦点为f1、f2，点p为椭圆上的动点，当·<0时，点p的横坐标的取值范围是（答：）；（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e，f1、f2是它的左右焦点，若过f1的直线与双曲线的左支交于a、b两点，且是与等差中项，则_（答：）；（5）已知双曲线的离心率为2，f1、f2是左右焦点，p为双曲线上一点，且，求该双曲线的标准方程（答：）；9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设ab为焦点弦， m为准线与x轴的交点，则amfbmf；（3）

13、设ab为焦点弦，a、b在准线上的射影分别为a，b，若p为ab的中点，则papb；（4）若ao的延长线交准线于c，则bc平行于x轴，反之，若过b点平行于x轴的直线交准线于c点，则a，o，c三点共线。10、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点a、b，且分别为a、b的横坐标，则，若分别为a、b的纵坐标，则，若弦ab所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于a（x1，y1），b（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|ab|等于_（答：8）；（2）

14、过抛物线焦点的直线交抛物线于a、b两点，已知|ab|=10，o为坐标原点，则abc重心的横坐标为_（答：3）；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。如（1）如果椭圆弦被点a（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：）；（2）已知直线y=x+1与椭圆相交于a、b两点，且线段ab的中点在直线l：x2y=0上，则此椭圆的离心率为_（答：）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：）； 特别提醒：因为是

15、直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！12你了解下列结论吗？（1）双曲线的渐近线方程为；（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，0）。如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_（答：）（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线的焦点弦为ab，则；（7）若oa、ob是过抛物线顶点o的两条互相垂直的弦，则直线ab恒经过定点13动点轨迹方

16、程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；如已知动点p到定点f(1,0)和直线的距离之和等于4，求p的轨迹方程（答：或）；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段ab过x轴正半轴上一点m（m，0），端点a、b到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过a、o、b三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：）；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点p向圆作两条切线pa、pb，切点分别为a、b，apb

17、=600，则动点p的轨迹方程为（答：）；（2）点m与点f(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点m的轨迹方程是_ （答：）；(3) 一动圆与两圆m：和n：都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点p是抛物线上任一点，定点为,点m分所成的比为2，则m的轨迹方程为_（答：）；参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）ab是圆o的直径，且|ab|=2a，m为圆上一

18、动点，作mnab，垂足为n，在om上取点，使，求点的轨迹。（答：）；（2）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是_（答：）；（3）过抛物线的焦点f作直线交抛物线于a、b两点，则弦ab的中点m的轨迹方程是_（答：）；注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆的左、右焦点分别是f1（c，0）、f2（c，0），q是椭圆外的动点，满足点p是线段f1q与该椭圆的交点，点t在线段f2q上，并且满足（1）设为点p的横坐标，证明；（2）求点t的轨迹c的方程；（3）试问：在点t的轨迹c上

19、，是否存在点m，使f1mf2的面积s=若存在，求f1mf2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）；（3）当时不存在；当时存在，此时f1mf22）曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.14

20、、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知与的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数,等于已知三点共线.（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,（8）给出,等于已知是的平分线/（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（1

21、2） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16） 在中，给出,等于已知是中边的中线;高考数学概念方法题型易误点技巧总结（九）直线、平面、简单多面体1、三个公理和三条推论：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。（2）公理2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个

22、公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。公理3和三个推论是确定平面的依据。如（1）在空间四点中，三点共线是四点共面的_条件（答：充分非必要）；（2）给出命题：若al，a，bl ，b，则 l ；若a，a，b，b，则ab；若l，al，则a若a、b、c，a、b、c，且a、b、c不共线，则与重合。上述命题中，真命题是_（答：）

23、；（3）长方体中abcd-a1b1c1d1中，ab=8，bc=6，在线段bd，a1c1上各有一点p、q，在pq上有一点m，且pm=mq，则m点的轨迹图形的面积为_（答：24）2、直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：（1）使，所确定的平面表示水平平面。（2）已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半。如（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（）（答：a）（2）已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为_（答：）3、空间直线的位置关系：（1）相交直线有且只有一个公

24、共点。（2）平行直线在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线不在同一平面内，也没有公共点。如（1）空间四边形abcd中，e、f、g、h分别是四边上的中点，则直线eg和fh的位置关系_（答：相交）；（2）给出下列四个命题：异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；两异面直线，如果平行于平面，那么不平行平面；两异面直线，如果平面，那么不垂直于平面；两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。其中正确的命题是_（答：）4、异面直线的判定：反证法。 如（1）“、为异面直线”是指：，但不平行于；面，面且ab；面，面且；面，b面；不存在平面，能使面且面成立。上述结论中，正确的是_（答：）；（2）在空

25、间四边形abcd中，m、n分别是ab、cd的中点，设bc+ad=2a，则mn与a的大小关系是_（答：mn<a）；（3）若e、f、g、h顺次为空间四边形abcd四条边ab、bc、cd、da的中点，且eg=3，fh=4，则ac2+bd2= _（答：50）；（4）如果、是异面直线，p是不在、上的任意一点，下列四个结论：过点p一定可以作直线与、都相交；过点p一定可以作直线与、都垂直；过点p一定可以作平面与、都平行；过点p一定可以作直线与、都平行。其中正确的结论是_（答：）；（5）如果两条异面直线称作一对，那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为_（答：24）；（6）已知平面求证：b、c是异面直线5

26、、异面直线所成角的求法：（1）范围：；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。如（1）正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于_（答：）；（2）在正方体ac1中，m是侧棱dd1的中点，o是底面abcd的中心，p是棱a1b1上的一点，则op与am所成的角的大小为_（答：90°）；（3）已知异面直线a、b所成的角为50°，p为空间一点，则过p且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有

27、_条（答：2）；（4）若异面直线所成的角为，且直线，则异面直线所成角的范围是_（答：）；6、异面直线的距离的概念：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交。如（1）abcd是矩形，沿对角线ac把adc折起，使adbc，求证：bd是异面直线ad与bc的公垂线；（2）如图，在正方体abcda1b1c1d1中，ef是异面直线ac与a1d的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与ef平行的直线有_条（答：1）；7、两直线平行的判定：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平

28、行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。8、两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直；（2）三垂线定理及逆定理。9、直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。如（1）下列命题中，正

29、确的是 、若直线平行于平面内的一条直线b , 则 / 、若直线垂直于平面的斜线b在平面内的射影，则b、若直线垂直于平面,直线b是平面的斜线，则与b是异面直线、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥（答：d）；（2）正方体abcd-a1b1c1d1中，点p在侧面bcc1b1及其边界上运动，并且总保持apbd1，则动点p的轨迹是_（答：线段b1c）。10、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定：判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。（

30、2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。如（1）、表示平面，a、b表示直线，则a的一个充分不必要条件是a、，ab、b，且abc、ab且bd、且a（答：d）；（2）正方体abcd-abcd中，点n在bd上，点m在b1c上，且cm=dn，求证：mn面aa1b1b。11、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。（2）

31、性质：如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。如（1）如果命题“若z，则”不成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_（答：x、y是直线，z是平面）；（2）已知a，b，c是直线，、是平面，下列条件中能得出直线a平面的是 a、ab，其中，b、ab ，c、， d、，（答：d）；（3）ab为o的直径，c为o上的一点，ad面abc，aebd于e，afcd于f，求证：bd平面aef。12、三垂线定理及逆定理：（1）定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（2）逆定理

32、：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角。13、直线和平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：；（3）求法：作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。如（1）在正三棱柱abc-a1b1c1中，已知ab=1，d在棱bb1上，bd=1，则ad与平面aa1c1c所成的角为_（答：arcsin）；（2）正方体abcd-a1b1c1d1中，e、f分别是ab、c1d1的中点，则棱 a1b1 与截

33、面a1ecf所成的角的余弦值是_（答：）；（3）是从点引出的三条射线，每两条的夹角都是，则直线与平面所成角的余弦值为_（答：）；（4）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角，则sin的值为_（答：）。14、平面与平面的位置关系：（1）平行没有公共点；（2）相交有一条公共直线。15、两个平面平行的判定和性质：（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。如（1）是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面的条件是a、是内一个三角形的两条边，且b、内有不共线的三点到的距离都相等c、都垂直于

34、同一条直线d、是两条异面直线，且（答：b）；（2）给出以下六个命题：垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；与同一直线成等角的两个平面平行；一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。其中正确的序号是_（答：）；（3）正方体abcd-abcd中ab=。求证：平面ad1b1平面c1db；求证：a1c平面ad1b1 ；求平面ad1b1与平面c1db间的距离（答：）；16、二面角：（1）平面角的三要素：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边与棱

35、都垂直。（2）作平面角的主要方法：定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的范围：；（4）二面角的求法：转化为求平面角；面积射影法：利用面积射影公式，其中为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。如（1）正方形abcd-a1b1c1d1中，二面角b-a1c-a的大小为_

36、（答：）；（2）将a为60°的棱形abcd沿对角线bd折叠，使a、c的距离等于bd，则二面角a-bd-c的余弦值是_（答：）；（3）正四棱柱abcda1b1c1d1中对角线bd18，bd1与侧面b1bcc1所成的为30°，则二面角c1bd1b1的大小为_（答：）；（4）从点p出发引三条射线pa、pb、pc，每两条的夹角都是60°，则二面角b-pa-c的余弦值是_（答：）；（5）二面角-的平面角为120°，a、b，ac，bd，ac，bd，若ab=ac=bd=1，则cd的长_（答：2）；（6）abcd为菱形，dab60°，pd面abcd，且pdad

37、，则面pab与面pcd所成的锐二面角的大小为_（答：）。17、两个平面垂直的判定和性质：（1）判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。如（1）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点o，p到三个面的距离分别为3、4、5，则op的长为_（答：5）；（2）在四棱锥p-abcd中，pa底面abcd，底面各边都相等，m是pc上的一动点，当点m满足_时，平面mbd平面pcd（答：）；（3）过s引三条长度相等但不共面的线段sa、sb、sc，且

38、asb=asc=60°，bsc90°，求证：平面abc平面bsc。特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即： 如（1）已知直线平面，直线平面，给出下列四个命题：；。其中正确的命题是_（答：）；（2）设是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四个命题：若则；若，则；若，则或；若则。其中正确的命题是_（答：）18、空间距离的求法：（特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则）（1）异面直线的距离：直接找公垂线段而求之；转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。转化为求平面到平面的距离，即过

39、两直线分别作相互平行的两个平面。如已知正方体abcd- a1b1c1d1的棱长为，则异面直线bd与b1c的距离为_（答：）。（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。如（1）等边三角形的边长为，是边上的高，将沿折起，使之与所在平面成的二面角，这时点到的距离是_（答：）；（2）点p是120°的二面角-内的一点，点p到、的距离分别是3、4，则p到的距离为_（答：）；（3）在正方体abcda1b1c1d1的侧面ab1内有一动点p到棱a1b1与棱bc的距离相等，则动点p所在曲线的形状为_（答：抛物线弧）。（3）点到平面的距离：垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定

40、已知面的垂面是关键；体积法：转化为求三棱锥的高；等价转移法。如（1）长方体的棱，则点到平面的距离等于_（答：）；（2）在棱长为a的正方体abcd-a1b1c1d1中，m是aa1的中点，则a1到平面mbd的距离为_（答：a）。（4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点a、b间的距离的步骤：计算线段ab的长；计算球心角aob的弧度数；用弧长公式计算劣弧ab的长。如（1）设地球半径为，在北纬圈上有两地，它们

41、的纬度圈上的弧长等于，求两地间的球面距离（答：）；（2）球面上有3点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3点的小圆的周长为，那么这个球的半径为_（答：）；（3）三棱锥的三个侧面两两垂直，若四个点都在同一球面上，则此球面上两点a、b之间的球面距离是_（答：）。19、多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这

42、样的多面体叫做凸多面体。20、棱柱：（1）棱柱的分类：按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，；（2）棱柱的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。如（1）斜三棱柱a1b1c1abc，各棱长为，a1b=a1c=，则侧面bcc1b1是_形，棱柱的高为_（答：正方；）

43、；（2）下列关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。其中真命题的为_（答：）。21、平行六面体：（1）定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；（2）几类特殊的平行六面体：平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体；（3）性质：平行六面体的任何一个面都可以作为底面；平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。如长

44、方体三度之和为a+b+c6，全面积为11，则其对角线为_（答：5）22、棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。如若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面积的，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为_（答：18）23、正棱锥：（1）定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。如四面体中，有如下命题：若，则；若分别是的中点，则的大

45、小等于异面直线与所成角的大小；若点是四面体外接球的球心，则在面上的射影是外心；若四个面是全等的三角形，则为正四面体。其中正确的是_（答：）（2）性质：正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形。如图，正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：，其中分别表示底面边长、侧棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。如（1）在三棱锥的四个面中，最多有_个面为直角三角形（答：4）；（2）把四个半径为r的小球放在桌面上，使下层三

46、个，上层一个，两两相切，则上层小球最高处离桌面的距离为_（答：）。24、侧面积（各个侧面面积之和）：（1）棱柱：侧面积直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长×侧棱长，特别地，直棱柱的侧面积底面周长×侧棱长。如（1）长方体的高为h，底面积为q，垂直于底的对角面的面积为m，则此长方体的侧面积为_（答：）；（2）斜三棱柱abc- a1b1c1中，二面角c-a1a-b为120°，侧棱aa1于另外两条棱的距离分别为7cm、8cm，aa1=12cm，则斜三棱柱的侧面积为_（答：）；（3）若斜三棱柱的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，相邻两侧棱之间的距离都为5，则该

47、三棱柱的侧面积为_（答：120）。（2）正棱锥：正棱锥的侧面积×底面周长×斜高。如（1）已知正四棱锥pabcd的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，则该正四棱锥的侧面积是_（答：）；（2）已知正四面体abcd的表面积为s，其四个面的中心分别为e、f、g、h.设四面体efgh的表面积为t，则等于_（答：）。提醒：全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，故棱柱的全面积侧面积2×底面积；棱锥的全面积侧面积底面积。25、体积：（1）棱柱：体积底面积×高，或体积直截面面积×侧棱长，特别地，直棱柱的体积底面积×侧棱长；三棱柱的体积（其中

48、为三棱柱一个侧面的面积，为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）。如（1）设长方体的三条棱长分别为a、b、c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则等于_（答：）；（2）斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，侧棱aa1和ab、ac都成45°的角，则棱柱的侧面积为_，体积为_（答：；）。（2）棱锥：体积×底面积×高。如（1）已知棱长为1的正方体容器abcda1b1c1d1中，在a1b、a1b1、b1c1的中点e、f、g处各开有一个小孔，若此容器可以任意放置，则装水较多的容积（小孔面积对容积的影响忽略不计）是_（答：）；（2）在正三棱锥a-

49、bcd中，e、f是ab、bc的中点，efde，若bc=，则正三棱锥a-bcd的体积为_（答：）；（3）已知正三棱锥底面边长为，体积为，则底面三角形的中心到侧面的距离为_（答：）；（4）在平面几何中有：rtabc的直角边分别为a,b，斜边上的高为h，则。类比这一结论，在三棱锥pabc中，pa、pb、pc两点互相垂直，且pa=a，pb=b，pc=c，此三棱锥pabc的高为h，则结论为_（答：）特别提醒：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体。补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 （答：1：2：3）和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转

50、换)法等.如（1）用平面去截三棱锥，与三条侧棱交于三点，若，则多面体的体积为_（答：7）；（2）直三棱柱abca1b1c1的体积为，p、q分别是侧棱aa1、cc1上的点，且ap=c1q，则四棱锥bapqc的体积为 （答：）；（3）如图的多面体abc-defg中，ab、ac、ad两两垂直，平面abcdefg，平面befadgc，ab=ad=dg=2，ac=ef=1，则该多面体的体积为_（答：4）。26、正多面体：（1）定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。（2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中正

51、四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如下图： 正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体27、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d与球的半径r及截面圆半径r之间的关系是r。提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。如（1）在半径为10的球面上有三点，如果，则球心到平面的距离为_（答：）；（2）已知球面上的三点a、b、c，ab=6，bc=8，ac=10，球的半径为13，则球心到平面abc的距离为_（答：12）28、球的体积和表面积公式：v。如（1）在球内有相距9cm的两个平行截面

52、，面积分别为49cm2、400cm2，则球的表面积为_（答：）；（2）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥p-abc内接于球o，求球o的表面积与体积。（答：表面积，体积）；（3）已知直平行六面体的各条棱长均为3，长为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，则的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积为为_（答：）；29、立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：（1）求空间角、距离，归到三角形中求解；（2）对于球的内接外切问题，作适当的截面既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系。如（1）甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱

53、都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为_（答：123）；（2）若正四面体的棱长为，则此正四面体的外接球的表面积为_（答：）；（3）已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是_（答：）；（3）求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离。如已知正方体的棱长为1，是的中点，是上的一点，则的最小值是_（答：）； 30、你熟悉下列结论吗？三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条交线交于一点，那么第三条交线也经过这一点；从一点o出发的三条射线oa、ob、oc，若aob=aoc，则点a在平面boc上的射影在bo

54、c的平分线上；ab和平面所成的角是，ac在平面内，ac和ab的射影成，设bac=,则coscos=cos；如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线也垂直于第三个平面；若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2+cos2+cos2=1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则cos2+cos2+cos2=2。如（1）长方体中若一条对角线与过同一顶点的三个面中的二个面所成的角为30°、45°，则与第三个面所成的角为_（答：30°）；（2）若一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则的关系为_。（答：）若正棱锥的侧面与

55、底面所成的角为，则。如若正三棱锥的一个侧面的面积与底面面积之比为，则这个三棱锥的侧面和底面所成的二面角等于_（答：）在三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内顶点在底上射影为底面内心.提醒：若顶点在底面上的射影在底面三角形外，则顶点在底上射影为底面的旁心。正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；正四面体的外接球半径r与内切球半径r之比为r：r3：1。高考数学概念方法题型易误点技巧总结（十）排列、组合和二项式定理1.排列数中、组合数中.(1)排列数公式 ；。如（1）1！+2！+3！+n！（）的个位数字为 （答：3）；（2）满足的 （答：8）(2)组合数公式；规定，.如已知，求 n，m的值（答：mn2）(3)排列数、组合数的性质：；.acbd2.解排列组合问题的