2014年重庆理工大学高等代数考研真题A卷_第1页
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1、2014年重庆理工大学高等代数考研真题A卷一 、填空题（每空3分，共18分）1. 若多项式有重根，则 。2. 设行列式 ，则 ，其中、分别表示元素的余子式和代数余子式。3. 线性方程组的 基础解系由 个解向量组成。4. 设线性变换关于3维空间的基的矩阵为，向量，则关于的坐标为 。5. 设为4阶方阵且，则 。6. 若矩阵的全部特征值为、1、2，则全部特征值为 。二 、单项选择题（每题3分，共18分）1. 设是实数域上的3次多项式，则（ ）一定有三个实根； 至少有一个有理根；一定有一组非实共轭复根；至少有一个实根.2. 设为3阶方阵且（其中表示的秩），则（ ）； ； .3. 下列集合中，是的子空间

2、的是（ ）； ； .4. 设，是欧式空间的相互正交的向量，则下列等式正确的是（ ）； ； .5. 当满足（ ）时，二次型 是正定的。； ； .6. 设阶方阵与有相同的特征值，则（ ）与合同； ；与相似； .3、 （10分）设，（1） 判别在上是否可约，若不可约请证明之。（2） 若是的四个根，试求的值（其中 ）。四、（10分）计算阶行列式 五、（12分）设阶方阵满足方程，其中为阶 单位矩阵。（1） 求的所有可能的特征值；（6分）（2） 证明可逆并求其逆矩阵。（6分）六、（10分）设为维欧氏空间，为的子空间，证明：（1）;（5分）（2）。（5分）7、 （12分）讨论当为何值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷解？并在方程组有无穷解时，求出其结构式通解。8、 （20分）令表示数域上的四维列空间，取 设为的线性变换，使得。（1）证明是的一个基，并求关于这个基的矩阵；（12分）（2）求的核与像的维数。（8分）9、 （20分）给定二次型已知二次型的三个特征根之积为28，且。（1） 求；（6分）（2） 用正交变换将该二次型化为标准型，并写出所做的变换；（10分）（3） 判断 为何种二次曲面。（4分）十、（20分）设为3阶实对称矩阵，3阶正交矩阵使 且已知的第三列为 。（1） 求矩阵；

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